Integrales Dobles sobre Regiones no Rectangulares

Vista previa del material en texto

INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Integrales Dobles sobre 
Regiones no Rectangulares 
 
Lo que hace complicadas las integrales dobles es encontrar las 
fronteras de regiones que no son rectangulares. Aquí 
revisaremos qué significa esto y haremos algunos ejemplos de 
práctica. 
Qué vamos a construir 
COMPESP N° 02 
Evalúa integrales dobles 
sobre regiones no 
rectangulares. 
ACTIVIDAD N° 02 
 
Estudie la siguiente información sobre 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
2 
 
EJEMPLO DE UNA REGIÓN QUE NO ES RECTANGULAR 
Si deseas integrar sobre una región en el plano xy , y que no 
sea rectangular, necesitas expresar cada uno de los límites de 
integración de la integral interior como una función de la 
variable exterior. 
( )
( )2 2
1 1
lg
[ ( , ) ]
evalúa a a una función de y
y x y
y x y
f x y dx dy  
o de forma alternativa, 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
3 
( )
( )2 2
1 1
lg
[ ( , ) ]
evalúa a a una funcióndex
x y x
x y x
f x y dy dx  
El problema con las regiones que no son rectangulares 
Considera la función 
2( , )f x y xy= 
Así se ve 
2( , )f x y xy=[Video: Gráfica de ] 
 
https://www.youtube.com/embed/TTv4mwbHzS8?feature=oembed
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
4 
Encontraremos el volumen bajo una porción de esta gráfica. 
Este volumen no se encuentra sobre una región rectangular 
del plano xy . En cambio, queremos el volumen cuya base es 
un triángulo. Para ser específicos, el triángulo que se muestra 
a continuación: 
 
Este es un triángulo rectángulo isósceles, donde uno de sus 
lados conecta los puntos ( )0,0 , ( )2,0 y ( )2,2 . El volumen sobre 
este triángulo y la gráfica de 
2( , )f x y xy= se ve así: 
 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
5 
2( , )f x y xy=[Video: Volumen bajo sobre el triángulo] 
 
Este problema es similar al que se mostró en el archivo 
anterior, donde se introdujo el concepto de integral doble, y, 
ciertamente, la forma de resolverlo es similar. 
➢ Encuentra una fórmula para las rebanadas usando una 
integral. 
➢ Utiliza una segunda integral para sumar ese infinito 
número de rebanadas hasta volverlas un volumen. 
https://www.youtube.com/embed/F3nUQUVn3U8?feature=oembed
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
6 
Lo complicado ahora son los límites de integración. Por 
ejemplo, considera las rebanadas de este volumen dadas por 
valores constantes de x . La animación siguiente muestra 
cómo se ven estas rebanadas, conforme el valor constante de 
x varía de 0 .a 2 y de regreso. 
[Video: Constantes x rebanadas del volumen bajo 
2( , )f x y xy= ] 
 
 
https://www.youtube.com/embed/aw4M-d4Ve_E?feature=oembed
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
7 
La altura de una de estas rebanadas cambia de acuerdo, a la 
altura de la gráfica de 
2( , )f x y xy= sobre su base. Pero la 
longitud de la base de la rebanada también cambia. Por 
ejemplo, cuando 0.5x = , el valor de y en la base puede variar 
de 0 a 0.5 como la banda vertical roja que se muestra a 
continuación. 
 
De forma alternativa cuando 1,5x = , el valor de y varía de 0 
a 1,5 : 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
8 
Esto significa que cuando construimos una integral para 
encontrar el área de una de estas rebanadas de valor x 
constante, escribimos el límite superior en términos de x 
2
0 0
( , )
x x
f x y dy xy dy=  
En cuanto a nuestros cálculos concierne, es perfectamente 
adecuado tener uno de los límites escrito en términos de x . 
Después de todo, terminaremos con una expresión en x . 
Sigue adelante y resuelve tú mismo la integral: 
2
0
x
xy dy = 
[Explicación] 
Recuerda, a los ojos de la integral, x es una constante, pues 
esta es una integral con respecto a y (como lo indica el 
término " dy ") 
4
2 3
00
1
3 3
x x x
xy dy x y = =  
Hasta aquí no hay nada nuevo. Multiplica este valor por dx 
para añadir profundidad a la rebanada y tener un volumen 
infinitesimal. Ahora que integremos con respecto a x , los 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
9 
límites serán constantes, es decir, 0x = y 2x = , pues aquí es 
donde la base de nuestro triángulo descansa sobre el eje x . 
4
2
5 2
0
0
1 32
[ ]
3 15 15
x
dx x= = 
Por lo tanto, el volumen total es 
32
2,13
15
 . 
Integrar sobre un disco 
Ahora tratemos de hacer algo un poco más difícil: encontrar 
el volumen bajo la gráfica acotada por el disco unitario. El 
disco unitario en el plano xy , y comprende todos los puntos 
( ),x y tales que: 
2 2 1x y+  
Por ejemplo, el volumen bajo la gráfica 
( ) 2, 3f x y y x= + − 
acotado por el disco unitario se ve así: 
 
( ) 2, 3f x y y x= + −[Video: Volumen entre y el disco 
 unitario] 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
10 
 
De nuevo, considera rebanadas de este volumen que 
correspondan a valores constantes de x . 
2( , )f x y xy=[Video: Rebanadas de área entre y el 
disco unitario] 
 
https://www.youtube.com/embed/iln5wDqIqfc?feature=oembed
https://www.youtube.com/embed/apc2g8TqWKc?feature=oembed
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
11 
Piensa en cómo se ve la base de cada rebanada en el plano xy
Cada una corresponde a una banda vertical en el disco 
unitario. 
 
Por medio del teorema de Pitágoras, podemos encontrar los 
valores de y que determinan los puntos inferior y superior de 
las rebanadas como función del valor x que las describe. 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
12 
Ahora podemos encontrar el área de una de estas rebanadas 
de valor x constante al integrar ( ),f x y con respecto a y . De 
nuevo, la diferencia entre este y el caso rectangular es que 
ambos límites son funciones de x . 
 
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes 
integrales representa el área de una rebanada con valor 
constante x del volumen que buscamos? 
( )
2 2
2 2
2
2
1
3
2 2 2 2
2
0
(3 )
x y
x y
y x
I y x dy
I x y x y dx
+
− +
+ −
= + −
 = + − − +
  


 
 
[Explicación] 
La primera opción es correcta: 
2 2
2 2
2
1 (3 )
x y
x y
I y x dy
+
− +
= + − 
En esta integral, debemos pensar que x es constante. 
La altura de la rebanada en cada punto (como función de y ) 
es ( )
2, 3f x y y x= + − . Los límites para el valor de y de la 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
13 
base de la rebanada son los que acabamos de encontrar 
geométricamente: 
21y x= − − 
y 
21y x= − 
Resuelve el problema: este es un cálculo más complicado 
que los de los ejemplos previos, pero si te crees capaz, calcula 
esta integral para obtener una fórmula del área de una 
rebanada de valor constante x como función de x . 
El área de una rebanada de valor x constante, es: 
[Explicación] 
2
2
22
1
2 2 2 1
1 11
2 2 2
1
(3 ) [3 ]
2
1
[3 1 ( 1 )
2
x
y x
y xx
I y x dy y y x y
x x
−
= −
=− −− −
= + − = + −
= − + −

2 2
2 2 2
1 ]
1
[ 3 1 ( 1 )
2
x x
x x
− −
− − − + − −
( )
2 2
2 2
1 ]
6 2 1
x x
x x
+−
= − −
 
Los valores de x en el disco unitario varían de 1x = − a 1x = , 
por lo que, para encontrar el volumen que estamos buscando, 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
14 
integramos la expresión que acabas de encontrar con respecto 
a x , de 1− a 1. Como antes, puedes imaginar que sumas 
infinitos volúmenes, cada uno tan delgado como el papel. 
Esta resulta ser una integral difícil, pero, por el bien del 
pragmatismo, podemos resolverla usando cualquier 
computadora o herramienta de integración numérica, como 
Wolfram Alpha. 
Volumen total: ( )
1
2 2
1
6 2 1 8,6394x x dx
−
− −  
Rebanada en otra dirección: región de 
aleta de tiburón 
A veces es más fácil considerar rebanadas de valor y
constantes, que consisten en cortar nuestra región en bandas 
horizontales en el plano xy . Por ejemplo, considera la región 
del plano xy , y que satisface las siguientes propiedades: 
➢ 
2x y 
➢ 2x y + 
➢ 0y  
Esta región como que parece la aleta dorsal de un tiburón: 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
15 
 
La esquina superior derecha de la región está en el punto de 
intersección entre la curva 
2x y y la recta 2x y + , es 
decir, el punto ( )4,2 . 
Encontremos el volumen de un sólido que tiene esta región 
como base, y cuya altura está dada por una función 
multivariable relativamente simple: 
( ), 2f x y x y= + 
Así es como se ve el volumen: 
( ), 2f x y x y= +[Video: Volumen de sobre aleta de tiburón] 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
16 
 
Esta vez, imagina hacer rebanadas de valor y constante. Este 
proceso nos dará el área sobre bandas horizontales de nuestra 
región de aleta de tiburón, tal como la que a continuación se 
muestra en rojo. 
https://www.youtube.com/embed/a0V4qL6WZks?feature=oembed
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
17 
 
 
Verificación de conceptos: si una de estas bandas 
horizontales corresponde a un valor y , ¿cuáles son los límites 
en el valor de x para esta banda? Es decir, ¿cuáles son las 
coordenadas x de los extremos izquierdo y derecho como 
funciones de y ? 
Límite inferior: ?x = 
Límite superior: ?x = 
[Explicación] 
Límite inferior: 
2x y= 
Límite superior: 2x y= + 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
18 
Estos resultan directamente de la definición de la región dada 
anteriormente. 
 
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes 
integrales representa la rebanada de área comprendida entre 
una de estas bandas y la gráfica de 2x y= + , como función 
de y ? 
2
2
1
2
2
0
( 2 )
( 2 )
y
y
I x y dx
I x y dy
+
= +
= +


 
 
 
[Explicación] 
La primera opción es correcta 
2
2
1 ( 2 )
y
y
I x y dx
+
= + 
La integración se hace de forma horizontal, como lo indica el 
término " "dx , y los límites de integración son los que 
encontramos en la pregunta anterior, lo que significa que 
permanecemos dentro de la región de aleta de tiburón. 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
19 
Verificación de conceptos: resuelve esta integral para 
encontrar el área de las rebanadas de valor y constante para 
nuestro volumen. 
El Área de una rebanada de valor y constante, es: 
 
[Explicación] 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
2 2
22 2 2
2 2 4 3
1 2
2 2 4 3
4 3 2
( 2 )
1
[ 2 ]
2
1 1
[ 2 2 2 ] [ 2 ]
2 2
1 1
4 4 2 4 2
2 2
1
( 4 4 4 8 4 )
2
1
( 4 5 12 4)
2
y
y
x y
x y
se factoriza
I x y dx
x yx
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y
+
= +
=
= +
= +
= + + + − +
= + + + + − −
= + + + + − −
= − − + + +

 
Verificación de conceptos: cuando integramos esta 
función de y para obtener el volumen total, ¿cuáles límites 
de integración debemos usar? 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
20 
4
1
0
2
2
0
...
...
I dy
I dy
=
=


 
[Explicación] 
Al observar la figura de nuestra región de aleta de tiburón, 
vemos que y varía de 0 a 2 . 
 
 
Por lo tanto, la segunda opción es correcta. La integral que 
representa nuestro volumen deseado se ve así: 
2
4 3 2
2
0
1
( 4 5 12 4)
2
I y y y y dy= − − + + + 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
21 
Termina el problema: resuelve esta integral para 
encontrar el volumen de la región definida en el comienzo de 
esta sección (usa una calculadora si así lo deseas). 
Volumen: 
2
4 3 2
2
0
1
( 4 5 12 4)
2
I y y y y dy= − − + + + 
 
[Explicación] 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 3 2
2
0
5 4 3 2 2
0
5 4 3 2
1
( 4 5 12 4)
2
1 1 5
[ 6 4 ]
2 5 3
1 1 5
[ 2 2 2 6 2 4 2 ] 0
2 5 3
1 1 5
[ 32 16 8 6 4 4 2 ]
2 5 3
1 32 40 172
[ 16 24 8]
2 5 3 15
I y y y y dy
y y y y y
= − − + + +
= − − + + +
= − − + + + −
= − − + + +
= − − + + + =

 
 
 
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
22 
Resumen 
Cuando necesitas evaluar una integral doble sobre una región 
que no es rectangular, sigue estos pasos: 
➢ Comienza por cortar tu región en rebanadas que 
correspondan a mantener constante una de las variables. 
Por ejemplo, mantener x constante resultará en una 
banda vertical de tu región. 
➢ Encuentra cómo expresar los límites de integración de 
estas bandas como funciones de la otra variable. Por 
ejemplo, los extremos superior e inferior de una banda 
vertical serían expresados como alguna función de x . 
➢ Cuando construyas la doble integral, la integral interior 
debe corresponder a integrar sobre una de estas bandas, 
y cada uno de sus límites debe ser una función de la 
variable exterior. Si la integral interior corresponde a 
valores constantes de x , la doble integral completa 
puede verse así: 
2 2
1 1
lg
( )
( )
( , )
evalúa a a una función de x
x y x
x y x
f x y dy dx  
INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
 
23 
Alternativamente, si comenzaste con rebanadas 
horizontales de valor y constante, la integral doble puede 
verse así: 
2 2
1 1
lg
( )
( )
( , )
evalúa a a una función de y
y x y
y x y
f x y dx dy 