Ecuacion vectorial de una superficie - Cesar Garcia (1)

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ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE 
 
SEA ( ,F u v ) UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL DADA POR: 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , ,F u v f u v i f u v j f u v k
∧ ∧ ∧
= + + 
 
DONDE SON FUNCIONES ESCALARES DE LAS VARIABLES 1 2 3, ,f f f u y v . 
ENTONCES, PARA CADA VALOR DE Y DE EXISTE UN VECTOR DE POSICIÓN u v
 
r x i y j z k
∧ ∧ ∧
= + + 
 
QUE ESPECIFICA UN PUNTO DEL ESPACIO . CUANDO 
VARÍAN, EL PUNTO SE MUEVE Y FORMA UNA SUPERFICIE , DE TAL FORMA 
QUE: 
" "P 3 u y v
" "P " "S
 
( ) ( ) ( )1 2, ; , ; ,3x f u v y f u v z f u v= = = 
 
ESTAS ECUACIONES SE DENOMINAN “ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA SUPERFICIE 
 EN Y CONSTITUYEN LA FUNCIÓN " "S 3 ( ),F u v CON PARÁMETROS 
 . u y v
 
SI SE FIJA (CONSTANTE), ENTONCES LAS EXPRESIONES ANTERIORES TENDRÁN 
UN SOLO PARÁMETRO Y DESCRIBIRÁN UNA CURVA EN EL ESPACIO A LO LARGO DE LA 
CUAL VARÍA . A ESTA CURVA SE LE DESIGNA CON 
v c=
" "u v c= . ASÍ, PARA CADA 
VALOR DE , EXISTE UNA CURVA EN EL ESPACIO. " "v
 
DE MODO SIMILAR, VARÍA A LO LARGO DE LA CURVA " "v u k= . 
EL LUGAR GEOMÉTRICO DE TODAS LAS CURVAS v c y u k= = CONSTITUYE 
UNA SUPERFICIE, COMO SE OBSERVA EN LA SIGUIENTE GRÁFICA. 
1 
 
u cte=z 
2 
 
 
LOS PARÁMETROS u y v SE CONOCEN COMO “COORDENADAS CURVILÍNEAS” 
DEL PUNTO SOBRE LA SUPERFICIE Y LAS CURVAS " "P u c y v k= = SE 
DENOMINAN “CURVAS PARAMÉTRICAS”. 
 
SI EL PUNTO TERMINAL DEL VECTOR DE POSICIÓN r GENERA LA SUPERFICIE , 
ENTONCES SU ECUACIÓN VECTORIAL SE PUEDE ESCRIBIR COMO: 
" "S
 
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j x u v k
∧ ∧ ∧
= + + 
 
EJEMPLO. TRAZAR LA GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE ECUACIÓN 
 
( ) ( )2 2, ;r u v u i v j u v k u v
∧ ∧ ∧
= + + + ∈ ∈; 
 
E IDENTIFICARLA. DETERMINAR SU ECUACIÓN CARTESIANA. 
 
SOLUCIÓN. 
 
v cte= 
r
v
∂
∂ 
r
u
∂
∂ 
y 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO. TRAZAR LA GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DEFINIDA POR LA ECUACIÓN 
SIGUIENTE E IDENTIFICARLA: 
 
( ), cos cos ; 0 2 ; 0
2
r u v a usenv i asenusenv j a v k u v ππ
∧ ∧ ∧
= + + ≤ ≤ ≤ ≤
 
 
OBTENER SU ECUACIÓN CARTESIANA. 
 
SOLUCIÓN. SI SE FIJA COMO CONSTANTE, ESTO ES, v 0v v= , ENTONCES 
 
1 2; cossenv c v c= = 
Y r REPRESENTA A LA CURVA: 
 
3 
 
 
( )0 1 1, cosr u v ac u i ac senu j ac k2
∧ ∧ ∧
= + + 
 
QUE ES UNA CIRCUNFERENCIA HORIZONTAL SITUADA EN EL PLANO CON 
RADIO A Y CON CENTRO SOBRE EL EJE . 
2z ac=
1r ac= " "z
 
ADEMÁS, COMO SE CUMPLE QUE 
2 2z r a2+ = , ES DECIR, QUE 
, EL RADIO DE ESTAS CIRCUNFERENCIAS HORIZONTALES VARÍA AL 
VARIAR LA DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA 
VERTICAL DE RADIO CON CENTRO EN 
2 2 2 2 2
2 1a c a c a+ =
" "z
" "a 0z = . POR LO QUE LA SUPERFICIE 
QUE SE GENERA ES UNA ESFERA CENTRADA EN EL ORIGEN Y LAS CURVAS 0v v= 
SON LOS CÍRCULOS LLAMADOS PARALELOS. 
 
DEL MISMO MODO, SI SE FIJA COMO CONSTANTE, ESTO ES, " "u 0u u= , 
ENTONCES 
 
1 2cos ;u k senu k= = 
 
POR LO QUE r REPRESENTA A LA CURVA 
 
( )0 1 2, cr u v ak senv i ak senv j a v kos
∧ ∧ ∧
= + + 
 
QUE TAMBIÉN SE PUEDE ESCRIBIR COMO 
 
( ) ( )0 1 2 0, cos , cosr u v a k i k j senv a v k r u v asenv e a v k
∧ ∧ ∧ ∧⎛ ⎞= + + ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∧
 
4 
 
 
EN ESTA EXPRESIÓN SE OBSERVA QUE 1 2e k i k j
∧ ∧
= + ES UN VECTOR UNITARIO 
HORIZONTAL. DE ESTA FORMA EXPRESADA ( )0,r u v , SE TRATA DE UNA 
CIORCUNFERENCIA DE RADIO SITUADA EN EL PLANO VERTICAL DEFINIDO POR " "a
e y k
∧ ∧
 , Y CON CENTRO EN EL ORIGEN. CUANDO VARÍA, EL VECTOR 0u e
∧
 
GIRA HORIZONTALMENTE PERO LA CURVA GENERADA SIGUE SIENDO UNA 
CIRCUNFERENCIA DE RADIO . DE ESTA FORMA SE GENERA NUEVAMENTE LA 
ESFERA DE RADIO CON CENTRO EN EL ORIGEN. 
" "a
" "a
 
COMO 0 2 0 2
u y v ππ≤ ≤ ≤ ≤ LA SUPERFICIE ES LA MITAD DE UNA ESFERA, 
COMO SE OBSERVA EN LA FIGURA: 
 
5 
 
 
 
PARA OBTENER LA ECUACIÓN CARTESIANA DE LA ESFERA, SE ELEVAN AL CUADRADO 
, ,x y z Y SE SUMAN, CON LO QUE SE LLEGA A: 
2 2 2 2 ; 0x y z a z+ + = ≥ 
z 
x
y 
 
 
 
PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES. SUPERFICIES SUAVES 
 
DEFINICIÓN. EL VECTOR 
r r
u
∂ ∂
×
∂ ∂v ES PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR 
ESTOS VECTORES; Y EL HECHO DE QUE ESTE PRODUCTO VECTORIAL SEA DIFERENTE DE 
CERO, ES DECIR, 0
r r
u v
∂ ∂
× ≠
∂ ∂ EN UN PUNTO DETERMINADO, ASEGURA LA 
EXISTENCIA DE UN PLANO TANGENTE EN DICHO PUNTO. 
 
 
DEFINICIÓN. A LOS PUNTOS EN DONDE EXISTE PLANO TANGENTE, ESTO ES, DONDE SE 
CUMPLE LA CONDICIÓN 0
r r
u v
∂ ∂
× ≠
∂ ∂ , SE LES CONOCE COMO PUNTOS 
ORDINARIOS. 
 
DEFINICIÓN. A LA SUPERFICIE FORMADA ÚNICAMENTE POR PUNTOS ORDINARIOS, SE 
LE CONOCE COMO SUPERFICIE SUAVE. 
 
DEFINICIÓN. A LOS PUNTOS DONDE SE CUMPLE QUE 0
r r
u v
∂ ∂
× =
∂ ∂ SE LES CONOCE 
COMO PUNTOS SINGULARES. 
 
EJEMPLO. OBTENER UNA ECUACIÓN PARA EL PLANO TANGENTE A LA SUPERFICIE 
DADA EN EL PUNTO ESPECIFICADO Y DETERMINAR SI SE TRATA DE UNA SUPERFICIE 
SUAVE 
( ) ( ) ( ), 2 cos cos 2 cosr u v v u i v senu j senv k
∧ ∧ ∧
= − + − + 
PARA ;u vπ π π− ≤ ≤ − ≤ ≤ π EN EL PUNTO DONDE 
0
2
u y vπ= = 
 
SOLUCIÓN. COMO SE SABE, 
r ry
u v
∂ ∂
∂ ∂ SON VECTORES TANGENTES A LA 
SUPERFICIE DADA, POR LO QUE UN VECTOR NORMAL A LA SUPERFICIE SE OBTIENE AL 
EFECTUAR EL PRODUCTO VECTORIAL DE DICHOS VECTORES. ASÍ, 
6 
 
 
( ) ( )2 cos 2 cos cos
cos cos
r v senu i v u j
u
r senv u i senvsenu j v k
v
∧ ∧
∧ ∧ ∧
∂
= − − + −
∂
∂
= + +
∂
 
( ) ( )2 cos 2 cos cos 0
cos cos
i j
r r v senu v u
u v
senv u senvsenu v
∧ ∧
∂ ∂
× = − − −
∂ ∂
k
∧
 
 
( )2 cos cos cos cosr r v u v i senu v j senv k
u v
∧ ∧ ∧∂ ∂ ⎛ ⎞× = − + −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ 
 
COMO SE OBSERVA, PARA NINGÚN VALOR DE EL PRODUCTO 
VECTORIAL ANTERIOR SE CANCELA, LO QUE DEMUESTRA QUE LA SUPERFICIE ES SUAVE. 
u y v
 
2
0
u r r j
u vv
π
∧= ∂ ∂
⇒ × =
∂ ∂=
 
Y EL PUNTO DONDE EL ANTERIOR VECTOR ES NORMAL ES: ( ), 0 0, 1, 02r
π⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
POR LO TANTO, LA ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE A LA SUPERFICIE DADA, EN EL 
PUNTO ESTÁ DADA POR (0,1, 0)
( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 0 0 1x y z y− + − + − = ∴ = 
 
 
EJEMPLO. CONSIDÉRESE LA ECUACIÓN VECTORIAL DEL CONO 
( ), cos ;r u v u v i usenv j u k u
∧ ∧ ∧
= + + 0≥ 
VERIFICAR QUE EL ORIGEN DE COORDENADAS ES UN PUNTO SINGULAR DE LA 
SUPERFICIE. 
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