Copia de Pre 201-225 RM en la Circunferencia y Ptolomeo Semana 7a Resolución - Patricia Torres

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7a
RELACIONES MÉTRICAS EN 
LA CIRCUNFERENCIA
2021-2
Problemas del 201 al 215
MATERIAL DE 
ESTUDIO
En un paralelogramo ABCD, de diagonales AC = 10 𝑢 y BD = 8 𝑢
la circunferencia circunscrita al triángulo ABD es secante a BC y
tangente a CD en D, entonces la longitud (en u) de CD es:
A) 3 2
B) 4 2
C) 5 2
D) 6 2
E) 7 2
PROBLEMA 201
RESOLUCIÓN 201
AB
DC
Q
L
4 5
4
AQ = QC = 5
BQ = QD = 4
Teorema de las cuerdas
(LQ)(5) = (4)(4) LQ =
16
5
∴ CL = 5 −
16
5 CL =
9
5
⟹
⟹
Teorema de la tangente
𝑥2 = 10 .
9
5
𝑥 = 3 2
5
En un paralelogramo ABCD, de diagonales AC = 10 u y BD = 8 u
la circunferencia circunscrita al triángulo ABD es secante a BC y
tangente a CD en D, entonces la longitud (en u) de CD es
𝑥
Clave: A 
En un triángulo ABC, de circuncentro O; M es punto medio de BC, L ϵ AC
y ML ⊥ OC ; Si AL = 5 u y LC = 4 u, entonces la longitud (en u) de BC es
A) 2 2
B) 8 2
C) 4 2
D) 6 2
E) 9
PROBLEMA 202
RESOLUCIÓN 202
B
CLA
O
5 4
x
x
M
θ
θ
θ
θ
Sea m∠LMC = θ
m∠OMC = 90Trazamos OM
m∠MOC = θ
OB = OC ⟹ m∠BOM = m∠MOC = θ
Por teorema m∠BAC = θ
El cuadrilátero ABML es inscriptible,
aplicamos teorema de secantes
2x. x = 9 . 4
x = 3 2
∴ BC = 6 2
⟹
Por lo tanto:
En un triángulo ABC, de circuncentro O; M es punto medio de BC, L 
ϵ AC y ML ⊥ OC ; Si AL = 5 𝑢 y LC = 4 𝑢, entonces la longitud (en 
𝑢) de 𝐵𝐶 es
Clave: D 
Con centro en el interior de un cuadrante AOB cuyo radio mide 8 𝑢. Se traza
una circunferencia de radio r, la cuál es tangente a los radios OA y OB e
intersecta al arco ෢AB en M y N. Si MN ∩ OB = 𝐶 y BC = 2 𝑢, entonces r
(en 𝑢) es:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
PROBLEMA 203
RESOLUCIÓN 203
BD
A
E
O
8 8
r 8 - r
r
M
N
OE = OF = r ⟹ FB = 8 − r
T. Tangente: FC2 = (CM)(CN)
(10 − 𝑟)2= CM. CN
Completamos la semicircunferencia 
de diámetro CD: DO = 8⟹
T. Secantes:
(CM)(CN) = (18)(2)
(2) En (1)
r = 4
F
r
C
…………(1)
.…….…(2)
Con centro en el interior de un cuadrante AOB cuyo radio mide
8 u. Se traza una circunferencia de radio r, la cuál es tangente a
los radios OA y OB e intersecta al arco ෢AB en M y N. Si MN ∩
OB = C y BC = 2 u, entonces r (en u) es
2
Clave: C 
En un paralelogramo ABCD la circunferencia circunscrita al triángulo ABD 
interseca a la diagonal AC en F. Si AD es diámetro, AF = 17 𝑢 y FC = 9 𝑢 , 
entonces la longitud (en 𝑢) de FD es:
A) 3 2
B) 4 2
C) 6
D) 8
E) 9
PROBLEMA 204
RESOLUCIÓN 204
l
l
C
A
B
D
E
F
17
9
Prolongamos CD hasta que
interseque a la circunferencia en
E, formando el rectángulo ABDE.
AB = CD = DE = l
T. Secantes:
2l.l = (26)(9) l2 = 117
⊿CFD: FD2 = l2 − 92
∴ FD = 6
⟹
l
En un paralelogramo ABCD la circunferencia circunscrita al triángulo 
ABD interseca a la diagonal AC en F. Si AD es diámetro, AF = 17 𝑢 y 
FC = 9 𝑢 , entonces la longitud (en 𝑢) de FD es
Clave: C 
En una circunferencia de centro O y diámetro AC cuya longitud es 12 cm,
la cuerda MF corta a AO en E. Si AE = 1 cm y m෢MC = 3m෢AF, entonces la
longitud (en cm) de EM es:
A) 1,1
B) 1,8
C) 2,2
D) 2,4
E) 3,2
PROBLEMA 205:
En una circunferencia de centro O y diámetro AC cuya longitud es 12 cm,
la cuerda MF corta a AO en E. Si AE = 1 cm y m෢MC = 3m෢AF, entonces la
longitud (en cm) de EM es
RESOLUCIÓN 205
M
C
F
A E O1
5
θ
θ
2θ 5 6
3θ
𝑚∠MEC = 2θ
Trazamos el radio OF
m∠AOF = m∠EFO = θ
∆FEO: FE = EO = 5
T. Cuerdas:
5 (EM) = (1)(11)
∴ EM = 2,2
θ
Clave: C 
12
ABCD es un rectángulo inscrito en una circunferencia, la cuerda DQ
interseca a BC en P. Si BP = 3 m, PC = 4 m y PQ = 2 m, entonces la
longitud ( en m) de AB es
PROBLEMA 206
A) 3 B) 4 C) 2 2 D) 2 5 E) 2 3
13
RESOLUCIÓN 206
A
B
D
C
Q
P
2
43 • Teorema de las cuerdas:
6x x
(PD)(2) = 3(4) → PD = 6
• ∆PCD : teorema de Pitágoras
x2 + 42 = 62
x = 2 5
Clave: D 
ABCD es un rectángulo inscrito en una circunferencia, la
cuerda DQ interseca a BC en P. Si BP = 3 m, PC = 4 m y PQ =
2 m, entonces la longitud ( en m) de AB es
14
En un triángulo ABC, una circunferencia que contiene a B y C es
secante a los lados AB y AC en M y N respectivamente. Por A se
traza la recta tangente a dicha circunferencia en el punto T. Si
mBM = 2m∠BAC, BC = 6 m y AT = 8 m, entonces la longitud (en m)
de AB es
PROBLEMA 207
A) 9 B) 12 C) 8 D) 10 E) 2 5
15
RESOLUCIÓN 207
M
A C
B
N
T
2α
α
α
6
8
a
b
• AB = a + b
• Teorema de la tangente:
82 = (a + b) a … (1)
• ∆ABC ~ ∆CBM:
62 = (a + b) b … (2)
• (1) + (2):
(a + b)2 = 62 + 82
a + b = 10
Clave: D 
En un triángulo ABC, una circunferencia que contiene a B y C es
secante a los lados AB y AC en M y N respectivamente. Por A
se traza la recta tangente a dicha circunferencia en el punto T.
Si mBM = 2m∠BAC, BC = 6 m y AT = 8 m, entonces la longitud
(en m) de AB es
16
Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes en A y D, TL es una recta
tangente común exterior a dichas circunferencias ( D cerca a dicha
recta, T en C1 y L en C2), TL es paralela a la cuerda DB de C2, AL y DB
se intersecan en N. Si AN = 3NL y TL = 4 cm, halle (en cm) AD.
PROBLEMA 208
A) 2 B) 3 C) 2 2 D) 2 3 E) 4
17
RESOLUCIÓN 208
Sean C1 y C2 dos circunferencias secantes en A y D, TL es una recta
tangente común exterior a dichas circunferencias ( D cerca a dicha recta, T
en C1 y L en C2), TL es paralela a la cuerda DB de C2, AL y DB se
intersecan en N. Si AN = 3NL y TL = 4 cm, halle (en cm) AD.
T L
D
A
C1
C2
B
N
3a
a
4
M
x
• Teorema de Thales
AD = 3b y DM = b
b
3b=
• Teorema de la tangente
TM2 = (4b)b … (1)
ML2 = (4b)b … (2)
• (1) = (2): TM = ML = 2 … (3)
• (3) en (1): b = 1
x = 3b = 3
22
Clave: B 
18
En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O, M es el punto
medio de BC y Q un punto de AC . Si MQ y OC son perpendiculares,
MC = 6 m y QC = 4 m, entonces la longitud (en m) de AQ es
PROBLEMA 209
A)14 B) 12 C) 16 D) 10 E) 18
19
RESOLUCIÓN 209
En un triángulo acutángulo ABC, de circuncentro O, M es el punto
medio de BC y Q un punto de AC . Si MQ y OC son perpendiculares,
MC = 6 m y QC = 4 m, entonces la longitud (en m) de AQ es
A C
B
O•
M
QN a 4
6
6
a + 4
H
• ∆OMC:62 = (OC)HC … (1)
• OHQN: inscriptible,
teorema de las secantes
• ∆ABC: O circuncentro
AN = NC= a + 4
(a+ 4) 4= (OC)HC … (2)
• (1) = (2): 62 = (a + 4) 4 
a = 5
• x = 2a + 4 = 14
y ON ⊥ AC
Clave: A 
20
En un triángulo acutángulo ABC, P es un punto de la prolongación del
lado CB y CT es una recta tangente a la circunferencia que contiene a P
y B ( T punto de tangencia). Si AB = PC , CT = 6 m y la distancia de B a
AC es 4 m, entonces la longitud (en m) del circunradio del triángulo ABC
es
PROBLEMA 210
A)4,5 B) 5,4 C) 5,6 D) 4,8 E) 7,2 
21
RESOLUCIÓN 210
En un triángulo acutángulo ABC, P es un punto de la prolongación del
lado CB y CT es una recta tangente a la circunferencia que contiene a
P y B ( T punto de tangencia). Si AB = PC , CT = 6 m y la distancia de
B a AC es 4 m, entonces la longitud (en m) del circunradio del
triángulo ABC es
A C
B
P
Tb
a
6
4
R
• Teorema de la tangente
62 = (a + b)a … (1)
• ∆ABC: (a + b)a = 4(2R) … (2)
• (1) = (2): 62 = 4(2R) 
R = 4,5
Clave: A 
PROBLEMA 211
En la figura, ABCD es un cuadrado y 2AS=SN, entonces la longitud de ON 
es
A) (r√2)/4 
B) B) (r√2)/2 
C) C) (r√2)/6 
D) D) (r√2)/8 
E) E) (r√2)/10 A
B C
D
S N
L
O
RESOLUCIÓN 211 En la figura, ABCD es un cuadrado y 2AS=SN, entonces la longitud de 
ON es:
Clave: B 
Piden ON = x, se trazan OS y OL.
Del dato: SN = 2AS
Sea: AS = n y SN = 2n
SOL: T. Stewart
x2=r(r)-(SN)(NL)….(1)
En la circunferencia teorema de 
la tangente:
(r)2 = 2r(n) => n = r/2 y NL= 2r - 3n = r/2
Reemplazando en (1):
 x=
r√2
2
(x)2=(r)2 - (r/2)(r) = r2/2
A
B C
D
S N
L
O
r
PROBLEMA 212
Desdeun punto P exterior a una circunferencia se trazan los rayos
tangentes PA y PC (A y C son puntos de tangencia) y la secante PBD,
tal que BD y AC se intersecan en el punto M. Si 9(CM) = 4(AM),
entonces CD/AD es
A) 1/3 B) 5/3 C) 2/3 D) 7/3 E) 4/3
Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan los rayos
tangentes PA y PC (A y C son puntos de tangencia) y la secante PBD, tal
que BD y AC se intersecan en el punto M. Si 9(CM) = 4(AM), entonces
CD/AD es
RESOLUCIÓN 212
Clave: C 
B
t
4h
Teorema del triángulo inscrito:
x.t = 4h.2R
x.t = 8h.R
x
y
.
t
L
=
4
9
Teorema del cuadrilátero inscrito: x.L= y.t

y.L = 9h.2R
y.L = 18h.R
x
y
=
t
L
x
y
2
=
4
9
CD
AD
=
2
3

L
A
C
P
9h
x
y
M
D
CM
AM
=
4
9
,
,
R
PROBLEMA 213 
En la siguiente figura O1 y O2 son los centros, tales que: BE=25 m y 
ED =11 m. Calcule BC.
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
A B
C
D
E
F
O2
O1
En la siguiente figura O1 y O2 son los centros, tales que: BE=25 m y 
ED=11 m. Calcule BC.RESOLUCIÓN 213
Clave: C 
Se traza AD.
mADB=90
En el ACB: x2=AB.FB
Por el teorema de las secantes en el 
circulo O2:
AB.FB=BD.BE
 BC=30
x2=36.25
A B
C
D
E
F
O2
O1
x=30
Como ADEF es un cuadrilátero inscriptible:
Se tiene dos circunferencias tangentes interiores en el punto B, la
circunferencia menor pasa por el centro de la circunferencia mayor, y
la cuerda AC de la circunferencia mayor es tangente a la
circunferencia menor en el punto M. Si AM =16 u y MC = 4 u, entonces
la longitud (en u) de la cuerda BM es:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
PROBLEMA 214 
Se tiene dos circunferencias tangentes interiores en el punto B, la
circunferencia menor pasa por el centro de la circunferencia mayor, y la
cuerda AC de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia
menor en el punto M. Si AM=16u y MC=4u, entonces la longitud (en u) de
la cuerda BM es:
RESOLUCIÓN 214
Clave: D 
16
Teorema de las cuerdas:
Piden MB=x
Se observa mO1MB=90
Luego O1M ⊥ PB
Finalmente:
(x)(x)=16.4
x=8
 BM=8
M
x
P
B
A C
x
4
O2
O1
Desde un punto exterior P a una circunferencia C se trazan las rayos
tangentes PA y PB (A y B en C), en el arco mayor AB se ubica el punto F
tal que PF interseca al arco menor AB y a la cuerda AB en los puntos C y
D, si PC=a y CD=b, entonces la longitud de DF es:
A) D)
B) E)
C)
PROBLEMA 215 
𝑏(𝑎 + 𝑏)
𝑎 − 𝑏
𝑎(𝑎 + 𝑏)
𝑎 − 𝑏
𝑎(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏
𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
2
Desde un punto exterior P a una circunferencia C se trazan las rayos
tangentes PA y PB (A y B en C ), en el arco mayor AB se ubica el punto F
tal que PF interseca al arco menor AB y a la cuerda AB en los puntos C y
D, si PC = a y CD = b, entonces la longitud de DF es:
RESOLUCIÓN 215
Clave: E 
Teorema de la tangente: (PA)2 = a(a + b + x)
∆APB (T. Stewart)
(PA)2(m + n) = (m + n)[(a + b)2 + m.n]
(PA)2 = (a + b)2 + m.n
a(a + b + x) = a2 + b2 + 2a.b + m.n
a2 + a.b + a.x = a2 + b2 + 2a.b + m.n
a.x = a.b + b2 + b.x
Los puntos F, D, C y P son puntos armónicos.
C
A
B
Px
DF
b a
m
n
x(a - b) = b(a + b)
 x = DF =
b(a + b)
a − b

7a
TEOREMAS DE PTOLOMEO 
Y VIETTE
2021-2
Problemas del 216 al 225
MATERIAL DE 
ESTUDIO
PROBLEMA 216
En un cuadrado ABCD, se ubica el punto P en AC y en AD se ubica el
punto Q. Si el ángulo BPQ mide 90 y AQ + AD = 3 2 u, entonces la
longitud (en u) del AP es.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 2 2
RESOLUCIÓN 216
En un cuadrado ABCD, se ubica el punto P en AC y en AD se ubica el
punto Q. Si el ángulo BPQ mide 90 y AQ + AD = 3 2 u, entonces la
longitud (en u) del AP es.
Clave: C 
De (1) y (2): x = 3
A
B C
D
P
Qa
b
Dato: a + b = 3 2 . . . (1)
Calcule AP = x
x
4545
45
ABPQ es cuadrilátero inscriptible
△BPQ, es notable de 45
En ABPQ, teorema de Ptolomeo
n 2
n
n
b
x(n 2) = na + nb ⇒ x 2 = a + b . . . (2)
PROBLEMA 217
En un trapecio isósceles, el producto de las longitudes de las bases
es 75 u2 y la longitud de cada lado no paralelo es 8 u. Calcule (en u)
la longitud de una diagonal.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 139
RESOLUCIÓN 217
En un trapecio isósceles, el producto de las longitudes de las bases
es 75 u2 y la longitud de cada lado no paralelo es 8 u. Calcule (en u)
la longitud de una diagonal.
Clave: E 
A
B C
Da
b
Dato: ab = 75
8 8x x
Calcule AC = x
El trapecio isósceles ABCD es inscriptible
Teorema de Ptolomeo
(x)(x) = ab + (8)(8) ⇒ x2 = 75 + 64
∴ x = 139
PROBLEMA 218
En un triángulo acutángulo ABC, exteriormente se trazan los
triángulos equiláteros APB y BQC respectivamente, AQ y CP se
intersecan en el punto F. Si BF = a y AF + FC = b, entonces FP + FQ
es.
A) a + b B) 2a + b C) a + 2b
D) 3a + b E) 2a + 3b
RESOLUCIÓN 218
En un triángulo acutángulo ABC, exteriormente se trazan los triángulos
equiláteros APB y BQC respectivamente, AQ y CP se intersecan en el
punto F. Si BF = a y AF + FC = b, entonces FP + FQ es.
Clave: B 
A
P
B
Q
C
F
n
a
Dato: m + n = b
m
Calcule FP + FQ = x + y 
y
x
c
c
c
d
d
d
△PBC ≅ △ABQ (L.A.L.)60
60
𝛿
α
α
θ
θ
APBF y CQBF son inscriptibles
Teorema de Ptolomeo
x(c) = ac + mc . . . (1)
y(d) = ad + nd . . . (2)
De (1) y (2): x + y = 2a + b
PROBLEMA 219
En un triángulo acutángulo ABC, I es el incentro. Si el perímetro es 2p,
BI = n y AC = m, entonces la longitud del circunradio del triángulo AIC
es.
A)
mn
2(p − m)
B)
mn
2(p + m)
C)
mn
p + m
D)
mn
2p + m
E)
2mn
p + m
RESOLUCIÓN 219
En un triángulo acutángulo ABC, I es el incentro. Si el perímetro es 2p, 
BI = n y AC = m, entonces la longitud del circunradio del triángulo AIC 
es
Clave: A 
De (1) y (2): x = 
mn
2(p− m)
A
B
C
D
I
n
m
Dato: 2p = a + c + m . . . (1)
𝜃
ac
Calcule el cIrcunradio x del △AIC
Teorema, D es circuncentro del △AIC
𝜃
x
x
x
ABCD es cuadrilátero inscrito
Teorema de Ptolomeo: m(x + n) = ax + cx
x(a + c - m) = mn . . . (2)
PROBLEMA 220
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, en los lados AB y
BC se ubican los puntos F y E respectivamente, EF // AC y los ángulos
BAC y BDE son congruentes. Si (BF)(BE) = 16 u y DF = 3 u, entonces la
longitud (en u) del BD es.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN 220
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, en los lados AB y
BC se ubican los puntos F y E respectivamente, EF // AC y los
ángulos BAC y BDE son congruentes. Si (BF)(BE) = 16 u y DF = 3 u,
entonces la longitud (en u) del BD es.
Clave: C 
Dato: (BF)(BE) = mn = 16
Calcule BD = x
A
B
D
F E
C
𝛼
𝛼𝛼
3
m n
x
𝛽
𝛽
𝛽
FBED es cuadrilátero inscriptible
Teorema de Ptolomeo: xb = 3m + 3n . . . (1)
Teorema de Viette: 
x
b
= 
mn + (3)(3)
3m + 3n
. . . (2)
𝛼
3
b
De (1) y (2): x = 5
PROBLEMA 221 
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia,
AC interseca a BD en el punto E, por el vértice D se traza una recta
tangente paralela a AC. Si AB + BC = 10 u, AC = 8 u y ED = 4 u,
calcule CD (en u).
A) 
80
7
B) 5 C) 
50
3
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN 221 
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia,
AC interseca a BD en el punto E, por el vértice D se traza una recta
tangente paralela a AC. Si AB + BC = 10 u, AC = 8 u y ED = 4 u,
calcule CD (en u).
Clave: B 
B
A
C
x
E
D
4




+
x
8
 BD = 
x2
4
8(BD) = (AB)x + (BC)x
ΔBAD ~ ΔAED
BD
x
=
x
4
Por Teorema de Ptolomeo
8(BD) = x(AB + BC)
8
x2
4
= x(10)
x = 5
Dato: AB + BC = 10Calcule CD = x 
PROBLEMA 222 
En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el incentro P y su circuncentro
O. Si mAPO = 90, AC = 10 u, AP = 6 u y (AB)(BC) = 112,32 u2, entonces
la longitud (em u) de AB es
A) 10,2 B) 10,4 C) 10,6 D) 10,8 E) 11.2
RESOLUCIÓN 222 
En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el incentro P y su circuncentro
O. Si mAPO = 90, AC = 10 u, AP = 6 u y (AB)(BC) = 112,32 u2, entonces
la longitud (en u) de AB es
Clave: D
y
10
x
A
B
C
OP
6
6
6


 

2
2
L
6
Como OP ⊥ AL  AP = PL = 6
 BL = LC = 6
Por ángulo inscrito: m෢BL = m ෢LC = 2
Por Teorema de Ptolomeo
(12)(y) = (x)(6) + (6)(10)
Del dato y de (1):
 2y = x + 10 … (1)
Calcule AB = x
x =10,8
x(
x+10
2
) = 112.32  x2 + 10x = 224.64
Luego,
Dato: xy = 112,32
P incentro
PROBLEMA 223 
El cuadrado ABCD, está inscrito en una circunferencia y P pertenece al
arco menor AB. Si AP = 9 u y PB = 12 2 u, entonces la longitud del lado
del cuadrado es
A) 3 65 B) 23 2 C) 5 13
D) 3 2 E) 63
RESOLUCIÓN 223 
El cuadrado ABCD, está inscrito en una circunferencia y P pertenece
al arco menor AB. Si AP = 9 u y PB = 12 2 u, entonces la longitud
del lado del cuadrado es
Clave: A 
A
P
D C
B
L
12 2
9
L 2
L
PC = 33
Calcule L
Del gráfico: AC = L 2
Teorema de Ptolomeo
(PC)L = 9L + (12 2)(L 2) 
L
33
= 
(9)(L 2) + (12 2)(L)
(9)(12 2) + (L)(L 2)
Teorema de Viette
L = 3 65
El cuadrilátero APBC es inscriptible
PROBLEMA 224 
En un cuadrado ABCD, los puntos T y P pertenecen a AC y CD
respectivamente. Si mPTB = 90, PC = 2 u y CB = 6 u, entonces la
relación de TB y TC es
A) 3 2 B) 4 6 C) 6 - 2
D) 3 - 1 E) 8 3
RESOLUCIÓN 224
En un cuadrado ABCD, los puntos T y P pertenecen a AC y CD
respectivamente. Si mPTB = 90, PC = 2 u y CB = 6 u,
entonces la relación de TB y TC es
Clave: D CP
A
D
y
x
2
x 2
B
El cuadrilátero PTBC es inscriptible 
y(x 2) = x 2 + x 6
T
Calcule 
x
y
45
45
45
Teorema de Ptolomeo 
x
y = 1 + 3 …(2)
 x = 2 ……(1)
6
x 2 = 2 2
ΔBCD Notable (30 - 60)
x
y = 
2
(1 + 3)
De (1) y (2):
x
y = 3 - 1
PREGUNTA 225
En una circunferencia, se inscribe un triángulo ABC, la cuerda BP
interseca al lado AC en el punto Q, tal que PQ = 2(BQ). Si AP = PC;
AB = 9 u y BC = 3 u, entonces la longitud (en u) de AC es
A)
4 6
3
B)
6
3
C) 2 3
D) 4 3 E) 4 6
RESOLUCIÓN 225 
En una circunferencia, se inscribe un triángulo ABC, la cuerda BP
interseca al lado AC en el punto Q, tal que PQ = 2(BQ). Si AP = PC;
AB = 9 u y BC = 3 u, entonces la longitud (en u) de AC es
Clave: E 
Calcule AC = x
∆ ABP ~ ∆QAP:
a
3b
=
2b
a
A
B
C
P
39
x
Q
b
2b
a
a
2
2

x(3b) = a(5) + 11(a)
Teorema de Ptolomeo 


 a2 = 6b2
x = 4 6
 a = b 6