REPASO PRIMER PARCIALx - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
Repaso 
 
 
 
PROBLEMA 01 Si L es una recta contenida en el plano P, determinando dos semiplanos S1 y S2, 
entonces: 
I. S1  S2 = L 
II. L, S1 y S2 determinan una partición de P, de tres elementos. 
III. Si una recta r está contenida en S1, entonces r // L. 
IV. A  P y B  P. Si AB  L = , entonces AB // L. 
V. Una recta contenida en P y secante a L, queda particionada en dos elementos 
por la recta L. 
Son verdaderas: 
Clave: D 
I. FALSO. S1 S2 =  
II. VERDADERO. 
III. VERDADERO. 
IV. FALSO. 
 No necesariamente. 
V. FALSO. 
 Pueden ser tres elementos: dos semirrectas 
 y el punto de intersección con L. 
 
S1 S2 
L 
P 
r 
A 
B 
A) I, II y III 
B) II, III y I 
C) I, III y V 
D) II y III 
E) Todas 
 
I. (F) 
 
 
 
II. (V) Por teorema, la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto 
 convexo. 
 
 
 
III. (V) La unión del conjunto de puntos AB− O y el punto O es un conjunto 
 convexo. 
 
 
 
 
PROBLEMA 02 Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones 
I. La unión de dos semirrectas colineales es un conjunto no convexo. 
II. La intersección de un rayo y una semirrecta es un conjunto convexo. 
III. Alguna unión de un conjunto convexo y un conjunto no convexo es un conjunto 
convexo. 
A B 
A B O 
Clave: C 
A) VVV 
B) VFV 
C) FVV 
D) FFV 
E) VFF 
En un triángulo oblicuángulo se traza la ceviana interior BD tal que mDBC = mBCD = 30, BC 
= 16 y AB toma su mínimo entero par. Calcule mABD. 
A) 80 B) 83 C) 97 D) 67 E) 92 
A 
B 
x 
D H 
C 
30 60 
8 16/ 3 
16/ 3 
10 16 
Piden: x 
Se observa: 
BD = CD = 16/ 3 
8/ 3 
HD = 8/ 3 
BHD es notable de 30-60 
y BH = 8 
ABmin = 10 
DBHA es notable de 37-53 
37 
30 
x = 67 
Clave: D 
PROBLEMA 03 
En un triángulo ABC, se traza la altura BH (H en AC), AH = 2, mBCA = 2(mBAC) = 2, halle  
sabiendo que BH es entero. 
A) 30 B) 60 C) 37 D) 53 E) 53/2 
A 
B 
2 H 
C 
2  
1 
Piden:  
Se observa que: 
2 < 90 
  < 45 
y BH < 2 
Como BH es entero 
BH = 1 
 = 53/2 
Clave: E 
PROBLEMA 04 
En un triángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM, luego la mediana BP en el triángulo 
BCM y la ceviana MN en el triángulo ABM tal que mAMN = mPBM y BP = 12. Calcule MN. 
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 
A 
B 
2a M 
C 
12 
P 
N 
Q 
a a 
x 
 
  
 
Piden: MN = x 
2a 
Por teorema 
AM = BM = CM = 2a 
 MP = PC = a 
Sean; mBAC = mABM =  
 mBNM = mABP =  +  
+ 
Sea: MQ mediana del MBC 
 G es baricentro del MBC 
G 
BG = 8 y GP = 4 
8 
4 
NMGB: Trapecio isósceles 
 x = 8 
2a 
b 
b 
Clave: D 
PROBLEMA 05 
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, las distancias de un punto de BC a la hipotenusa y la 
mediana relativa a la hipotenusa miden 3 y 5 respectivamente. Calcule la distancia del punto 
medio de la bisectriz interior BF del ángulo recto a la altura relativa a la hipotenusa mBAF = 75. 
A) 2 3 B) 4 3 C) 8 3 D) 
4
3
3 E) 
8
3
3 
A 
B 
M 
C 
x 
3 
5 
F H 
75 
8 
8
3
3 
15 
15 
30 
30 
15 
Piden: x 
Por teorema en BMC 
BH = 3 + 5 = 8 
BHF: notable de 30 y 60 
HF = 
8
3
3 
Por teorema 
x = 
4
3
3 
Clave: D 
PROBLEMA 06 
En un triángulo acutángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y la ceviana exterior BE, luego 
se traza la mediatriz de BC que pasa por D e intersecta a BE en P, la distancia de Q a AE es 5, 
mBAC – mBCA = 40, Q es punto medio de PE y mDPE = 100. Calcule BP. 
A) 5 B) 10 C) 5 2 D) 10 2 E) 15 2 
A C 
B 
D E 
Q 
P 
H 
 40+ 
  
100 
45 
5 
10 
x 
x 
Piden: BP = x 
Por teorema de la mediatriz 
BD = DC  mDBC =  
(40° + ) + (2) +  = 180 
  = 35 
Se observa que: 
mCBE = 10 
Como BP = PC 
 mPCB = 10 
y mPCD = 45 
Por teorema 
PH = 10 
 PC = 10 2 
Clave: D 
PROBLEMA 07 
A 
B 
C 
M 
N 
P 


D 
En el exterior del triángulo ABC, recto en B, se ubica el punto D, tal que el ángulo ADC es 
recto. Los puntos B y D pertenecen a semiplanos distintos determinados por la recta AC. Las 
longitudes de las perpendiculares BM y DN trazadas a AC son a y b (a < b), y la diferencia de 
las medidas de los ángulos BAC y ACD es igual a 45. Calcule la longitud de MN . 
A) b – a B) 2a – b C) 2b – a D) a + b E) 
a + b
2
 
MN = x = ? 
 -  = 45 
mBCA = 90 -   mBCD = 45
Sea P, punto medio de AC
BMP  PND (ALA)
a 
b 
90 - 
45
 AP = PC = BP = DP
mBPD = 90
 BM = NP = a
 MP = ND = b
x 
a 
x + a = b
 x = b - a
Por teorema
Clave: A 
PROBLEMA 08 
En un triángulo ABC, se ubica en los lados AB y BC los puntos M y R respectivamente y en la 
región triangular interior se ubica el punto P, tal que mAPM = 90, mMAP = mPAC = 53/2, 
MB = 2, BR = RC y AC – AM = 10. Halle PR. 
A) 2 B) 5 2 C) 4 2 D) 4 11 E) 5 
A C 
M 
H 
53 
2 
B 
R 
P a 
a 10 
N 
53/2 
10 + a 
T 
x 
1 
5 
4 3 
Piden: PR = x 
Al prolongar MP 
MP = PH y AM = AH = a 
 HC = 10 
Sea N punto medio de MC 
 PN = 5 y NR = 1 
PTN: notable de 37 y 53 
 PT = 4 y TN = 3 
 x = 4 2 
Clave: C 
PROBLEMA 09 
En un romboide ABCD donde mBCD = 60, se traza la bisectriz interior AP, la altura BH del 
romboide es igual a la mitad de BC. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los 
puntos medios de AB y PD, CD = k (P en BC). 
A) 
k( 3 + 1)
2
 B) 
k( 3 − 1)
2
 C) k( 3 + 1) D) k( 3 − 1) E) 2k( 3 − 1) 
A 
H 
k 
30 
C B 
D 
P 
k 
k 
30 
60 
M N 
k 3 
k 3 
k
2
3 
x 
Piden: MN = x 
30 
Se observa que: 
AB = CD = k 
mBPA = 30 
 AB = BP = k 
k
2
 
AHB: not. de 30 y 60 
 AH = 
k
2
 y AH = 
k
2
3 
BC = AD = k 3 
Por teorema 
x = 
 k 3 + k 
2
 
x = 
 k( 3 + 1)
2
 
Clave: A 
PROBLEMA 10 
En un cuadrado ABCD cuyo centro es O, su lado mide 28, se traza el segmento CQ (Q en AB), 
BC = 7(BQ), luego se traza la mediatriz de AO que interseca a la prolongación de CQ en P (O 
es centro del cuadrado). Calcule PQ. 
A) 6,25 3 B) 6,25 2 C) 12 3 D) 12 2 E) 6,25 
A 
C B 
D 
Q 
28 
P 
O 
4 
8 
37 
53 
10 
14 
45 
45 
x 
M 
Piden: PQ = x 
Se observa: mBCQ = 8 
 mQCO = 37 y mCPM = 53 
Por teorema: AM = MB = 14 
 MQ = 10 
mPMQ = 45 
Por teorema de senos en PQM 
x
sen45
 = 
10
sen53
 
x = 6,25 2 
Clave: B 
PROBLEMA 11 
En un pentágono ABCDE, mA = mC = mE = 90. Se traza la perpendicular CH a AE (H en 
AE), AH = 2, HE = 6, mBHD = 90 y mCDH = 60. Halle CH. 
A) 2 3 B) 4 3 C) 6 3 D) 4 E) 2 
A 
H E 
C 
B 
D 
60 
120 
30 
30 
30 
2 
6 
2 4 
4 
4 
x 
M 
N 
Piden: CH = x 
Sea M punto medio de BD 
y mHCM = mCHM = 30 
 BM = MD = CM = HM 
mCMH = 120 
Sea: MN  AE 
 AN = NE = 4 
También: mHMN = 30 
y HN = 2 
 MH = CM = 4 
 x = 4 3 
Clave: B 
PROBLEMA 12 
En un hexágono regular ABCDEF, la bisectriz del ACD con la mediatriz de DE se intersecan en 
M. Calcule la distancia de M a FE, MC = 24. 
A) 12 2 B) 14 2 C) 16 2 D) 18 3 E) 14 3 
A 
E 
C B 
D 
F 
M 
24 
d 24 
45 
45 
30 
30 
15 
15 
Piden: d 
Se observa que: 
mBCA = 30  mACD = 90 
Como CM es bisectriz 
 mACM = mMCD = 45 
CDEF: Trapecio isósceles 
L 
N 
 mFCD = mCFE = 60 
y FN = NC 
También: mFCM = mCFM = 15 
 mMCE = 45 
Por teorema de la mediatriz 
FM = CM = 24 
 d = 12 2 
Clave: A 
PROBLEMA 13 
En dos polígonos regulares, la suma de las medidas de sus respectivos ángulos interiores es 
2340, la diferencia del número de diagonales de ambos polígonos es 21. Calcule la medida de 
un ángulo interior del polígono de menor número de lados. 
A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7 
Piden: medida del ángulo interior del 
polígono de menor número de lados 
Sean m y n los números de lados de 
ambos poligonos tal que m > n 
 180(m - 2) + 180(n - 2) = 2340 
También: 
m(m – 3)
2
 - 
n(n – 3)
2
 = 21 
m + n = 17 
m² – 3m – n² + 3n = 42 
(m²– n²) – 3(m – n) = 42 
(m + n)(m – n) – 3(m – n) = 42 
17(m – n) – 3(m – n) = 42 
14(m – n) = 42 
m – n = 3 
. . . (I) 
. . . (II) 
De I y II 
m = 10 
n = 7 
in = 
180(n − 2)
n
 
in = 
900
7
 
Clave: E 
PROBLEMA 14 
En un cuadrado ABCD, se traza interiormente una semicircunferencia tomando como diámetro 
AD, sobre dicha semicircunferencia se ubica el punto P tal que PD = 4, AB = 4 3. Calcule la 
mCPD. 
A) 90 B) 100 C) 170 D) 112,5 E) 127 
A 
C B 
D 
4 3 
4 
4 3 
P 
4 
4 2 
4 2 
4 2 
45 
45 
45 
x 
67,5 
Q 
Piden: mCPD = x 
Sea Q exterior al cuadrado 
Tal que APD  CQD 
y DQ = 4  CQ = 4 2 
mADP = mCDQ =  
 
 
 mPDQ = 90 
y PQ = 4 2 
mQPD = 45 
mCPQ = 67,5 
 X = 112,5 
Clave: D 
PROBLEMA 15 
En un cuadrante AB cuyo centro es O se ubica el punto P y en BO el punto Q, mPAB = 
mBAQ y QB = 2(OQ). Halle mPQB. 
A) 53 B) 75 C) 60 D) 71,5 E) 75 
A 
B 
O 
P 
Q a 2a 
3a 
37
2
 
53
2
 
53
2
 
53 
53 
37 
x 
Piden: x 
Se observa que mOAQ = 37/2 
 mBAQ = mPAB = 53/2 
También: mPB
 
 = 53 
Por ángulo central: m POB = 53 
OAPQ: Inscriptible 
37 
 mAOP = mAQP = 37 
x + 37 = 90 + 37/2 
x = 71,5 
Clave: D 
PROBLEMA 16 
En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos M y N (A, M, N, B en ese 
orden). Desde M se traza la perpendicular MH al diámetro (H en AB), HB = BN y mBN
 
 = 
2m(AM
 
). Calcule mHBN. 
A) 53/2 B) 53 C) 37 D) 60,5 E) 36 
A 
M 
N 
B 
H O 
T 
Q 
x 
 
 
 
  
 
m 
m 
m 
R 
R 
R 
2m 
53/2 
Piden: mHBN = x 
Sea OQ  BN 
mAM
 
 = mNQ
 
 = mQB
 
 =  
MHO  BTO (ALA) 
MH = NT = TB = m 
y HB = 2m 
mMBO = 53/2 
 = 53  mNB
 
 = 106 
mAN
 
 = 74 
 x = 37 
Clave: C 
PROBLEMA 17 
En un triángulo ABC, se trazan las medianas BE, AF y CG de longitudes 3 m, 3 3 m y 6 m 
respectivamente, M es el baricentro de la región triangular. Calcule la mGMB. 
A) 60 B) 40 C) 30 D) 90 E) 45 
A 
B 
C 
x 
Piden: mGMB = x 
Prolongando MF, hasta H 
 mHMC = 30 
 x = 60 
Clave: A 
F 
E 
G 
M 
2 
1 
2 
4 
3 
2 3 
3 
2 
H 
30 
tal que MF = FH = 3 
 HC = 2 
MHC: notable de 30 y 60 
y mMHC = 90 
BE // HC  mBMF = 90 
PROBLEMA 18 
Clave: A 
En una circunferencia C de diámetro AB, se traza la circunferencia C1 tangente al arco AB en el 
punto P y tangente al diámetro AB en el punto Q, se traza otra circunferencia C2 tangente al arco 
AB en el punto R y tangente al diámetro en el punto S. Las circunferencias C1 y C2 son 
exteriores y la suma de las medidas de los arcos menores PQ y RS es 200. Calcule la medida 
del ángulo agudo que determinan las rectas PB y AR al intersecarse. 
A) 10 B) 15 C) 15 D) 20 E) 25 
C 
A B 
P 
R 
Q S 
x 
O 
α 
θ 
θ 
α 
2m 2n m n 
C 1 
C 2 
x = ? 
Por dato: α + θ = 200 
Se trazan los radios OP y OR 
Por ángulo central: 
 mPO1Q = α, mRO2S = θ 
O1 
O2 
Por teorema: 
α = 90 + 2n 
200 = 180 + 2m + 2n 
∴ x = 10 
θ = 90 + 2m 
2m + 2n = 20 
PROBLEMA 19 
Clave: C 
Dos circunferencias C1 y C2 son secantes en los puntos A y B, además de ser tangentes a una 
recta L en los puntos P y Q, respectivamente. El punto A es interior al triángulo PBQ, las 
cuerdas QB y PB intersecan a la circunferencia C1 y la circunferencia C2 en los puntos F y E, 
respectivamente. Si la medida del ángulo PBQ es 40, entonces la medida del ángulo EAF es 
A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100 
P Q 
 
 
 
 
 
E 
F 
A 
B 
α θ 
θ α 
T 
x 
40 
40 
x = ? 
Por dato: m∠PBQ = 40 
 α + θ = 40 
PBFA: cuadrilátero inscrito 
 m∠FAT = 40 
EBQA: cuadrilátero inscrito 
 m∠QAE = 140 
 80 + x = 140 
 x = 60 
C 1 
C 2 
PROBLEMA 20 
En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares AC y BD, AB = 6, halle BH, H es el 
ortocentro del triángulo BCD. 
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
A 
B 
C 
Piden: BH = x 
Por teorema 
6 
Por teorema 
 x = 6 
Clave: C 
mEBH = mHCF =  
mAD
 
 = 2 
ABH: Isósceles 
D 
H E 
F 
  
 
x 
2 
 mABE =  
PROBLEMA 21 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C se traza la bisectriz interior CD, r es el inradio de 
dicho triángulo, calcule 
r
AB
, 
AC
AD
 = 
3
2
. 
A) 0,45 B) 10,1 C) 0,25 D) 0,5 E) 0,15 
A 
C 
B 
Piden: 
r
AB
 
Sea AC = 3k 
Teorema de la bisectriz 
Sea: CB = 3a 
Clave: C 
D 
3k 
AC
CB
 = 
AD
DB
 
Teorema de Poncelet 
45 
3k + 3a = 2k + 2a + 2r 
2k 
3a 
2a 
45 
r 
 AD = 2k 
 
3k
CB
 = 
2k
DB
  
CB
DB
 = 
3
2
 
 DB = 2a 
k + a = 2r 
 
r
2 a+k
 = 
1
4
 
= 
r
2 a+k
 
PROBLEMA 22 
En la figura BC // AD, BD = 4(BA), AE = 8 cm. Halle ED, P y Q son puntos de tangencia. 
A) 4 cm B) 6 cm C) 5 cm D) 2 cm E) 3 cm 
Piden: ED = x 
Se observa: 
AC = BD = 4a 
 CE, es bisectriz interior 
 x = 2 
Clave: D 
Por teorema 
Por teorema de la bisectriz interior 
 
 
A 
B C 
M 
Q 
D 
P 
E 
a 
4a 4a 
a 
8 
x 
4a
a
 = 
8
x
 
2 2 
mAM
 
 = mMD
 
 = 2 
PROBLEMA 23 
En un triángulo acutángulo ABC, H es ortocentro, G es baricentro HG // AC y AH = 2 cm, AM ⊥ 
BC (M ∈ BC), BM = 
BC
6
. Calcule HM. 
A) 4 cm B) 5 cm C) 1 cm D) 3 cm E) 6 cm 
A 
B 
C 
x 
Piden: HM = x 
Sea BT una mediana 
 MN = 3a 
 x = 3 
Clave: D 
M 
T 
H 
a 
2 
BN = 4a y NC = 2a 
G N 
5a 
3a 
2a 
 
BG
GT
 = 
2
1
 
Corolario de Thales en TBC 
BG
GT
 = 
BN
NC
 = 
2
1
 
Corolario de Thales en AMC 
x
2
 = 
3a
2a
 
PROBLEMA 24 
Sea AD la bisectriz interior del ángulo A de un triángulo ABC, se ubica el Excentro E relativo a 
BC, calcule ED/EA, AB = c, BC = a y AC = b. 
A) 
b
a + c
 B) 
c
a + b
 C) 
a
b + c
 D) 
a
a + b + c
 E) 
b + c
a + b + c
 
A 
B 
C 
Piden: 
ED
EA
 = 
x
y
 
Clave: C 
E 
D c 
 
 
 
a 
a 
b 
 Teorema de la bisectriz exterior 
c
BD
 = 
y
x
 ; 
b
DC
 = 
y
x
 
y
x
 = 
b
DC
 = 
c
BD
 = 
b + c
BD + DC
 
 
x
y
 = 
a
b + c
 
x 
y 
PROBLEMA 25 
En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro O, la prolongación de BO interseca a la 
circunferencia circunscrita en el punto F, luego al prolongar FA interseca a CO en D, AF = 2 cm, 
AD = 5 cm, DO = 6 cm. Calcule OC. 
A) 4 cm B) 3 cm C) 5 cm D) 2 cm E) 8 cm 
Piden: OC = x 
Por teorema 
Teorema de la bisectriz interior 
mOCA = mFCA =  
 x = 4 
Clave: A 
A 
B 
C 
D 
O 
 
 
F 
5 x 
2 
6 
x 
CA: Bisectriz interior del DCF 
6 + x
x
 = 
5
2
 
 OC = FC = x 
PROBLEMA 26 
En el gráfico, AB = 3 cm, BC = 2 cm y P es punto de tangencia. Calcule CD. 
A) 15 cm B) 5 cm C) 9 cm D) 10 cm E) 6 cm 
Piden: CD = x 
Por teorema 
mMT
 
 = mTN
 
 = 2 
Por teorema 
(3)(x) = (5 + x)(2) 
 x = 10 
Clave: D 
mTAM = mTDN =  
 PD // AM 
Por cuaterna armónica 
A 
P 
M 
 
 
H 
B T 
D 
N 
 
 
 
 3 2 
2 
2 
C mAP
 
 = mPM
 
  AP = PM 
PD: Bisectriz exterior del APC 
 
PB: Bisectriz interior del APC 
2 
PROBLEMA 27 
x 
  
Un triángulo MNP está inscrito en una circunferencia; se traza la cuerda NA paralela a MP, (A en 
MN), la cuerda AB corta en C a MN y en Q a NP, mAN = mBN y NC = 2 u; MC = 5 u y NQ = 3 u. 
Calcule AQ 
A) 
21 10
10
 B) 
3 14
2
 C) 
10 10
3 
 D) 3 14 E) 
4 14
3
 
A 
B 
Piden: AC = x 
Se observa que: 
mAMN = mNAB =  
 x = 
3 14
2
 
Clave: B 
C 
M 
2 
5 
Teorema de antiparalelas en MAN 
(AN)² = (MN)(CN) = (7)(2) 
 
2 
ANQ ~ ACN 
N 
P 
3 2 
2 
2 
Q 
 
14 
x 
 AN = 14 
Sean, mMA
 
 = mNP
 
 = 2 
 mPB
 
 = 2 - 2 y mAQN =  
x
14
 = 
3
2
 
PROBLEMA 28 
En la figura mostrada AB = 6 cm, BC = 1 cm, P, Q, B y R son puntos de tangencia. Halle CD. 
A) 6/5 B) 4/5 C) 5/3 D) 5/6 E) 7/5 
A 
x 
Piden: CD = x 
Por teorema 
Por cuaterna armónica 
RB: bisectriz interior del CRA 
 x = 
7
5
 
Clave: E 
1 
También 
Por ángulo exinscrito 
 
 
(x)(6) = (x + 7)(1) 
Q 
C 
D 
P 
R 
M 
6 
 
 
2 
2 
B 
mCM
 
 = mMA
 
 = 2 
 mMRA =  
mDRC =  
RD: bisectriz exterior del CRA 
PROBLEMA 29 
En el triángulo escaleno ABC, BC = 4 u y AB + AC = 20 u; por el excentro E relativo al lado BC, 
se traza una paralela al lado BC, que interseca a las prolongaciones de AC y AB en P y Q 
respectivamente. Calcule PQ. 
A) 6 u B) 7 u C) 5 u D) 3 u E) 4 u 
Piden: PQ 
BE y CE son bisectrices exteriores 
 PQ = 5 
Clave: C 
 
 
 
A 
Q 
E 
c 
B 
C P 
a 
b 
 
 
 
m 
m 
n 
n 
BQE: isósceles 
CPE: isósceles 
ABC ~ AQP 
a
PQ
 = 
a + b + c
(b + n) + (c + m) + (m + n) 
 
PQ = m + n; b + c = 20 y a = 4 
4
PQ
 = 
24
2(PQ) + 20
 
PROBLEMA 30 
 
En un triángulo ABC, cuyo incentro I se traza la bisectriz interior AQ, AI = 5 cm, QI = 3 cm. Halle 
r
ra
, sabiendo que r es la longitud del inradio y ra es la longitud del exradio relativo a BC. 
A) 2/3 B) 1/4 C) 3/5 D) 1/3 E) 1/2 
A 
B 
C 
12 
Piden: 
r
ra
 
 QE = 12 
Clave: B 
M 
Q 
3 
5 
Por cuaterna armónica 
(5)(QE) = (8 + QE)(3) 
 
 
 
I 
E 
r 
ra 
N 
BI : bisectriz interior del ABQ 
BE: bisectriz exterior del ABQ 
AMI ~ ANE 
r
ra
 = 
5
20
 
r
ra
 = 
1
4
 
PROBLEMA 31 
En un paralelogramo ABCD sobre CD se ubica el punto M y sobre BM el punto F, MD = 2(CM), 
3(FM) = BF, AF interseca a BD en T. Calcule AT, si TF = 1 cm. 
A) 7 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 5 cm E) 6 cm 
Piden: AF = x 
Prolongando BM y AD hasta N 
Corolario de Thales 
Teorema de Menelao en NAF 
 x = 2 
Clave: B 
A 
B C 
x 
N 
3b 
1 M 
D 
T 
F 
b 
a 
2a 
8b 
CM
MD
 = 
BM
MN
  
a
2a
 = 
4b
MN
  MN = 8b 
También 
BM
MN
 = 
AD
DN
 = 
4b
8b
 = 
1
2
 
2c c 
(2c)(x)(3b) = (c)(1)(12b) 
PROBLEMA 32 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD y la ceviana interior 
AE que se intersecan en O, mACB = 53/2 y (BE)(CD) = (AD)(EC). Calcule mDOC. 
A) 56 B) 53 C) 59 D) 60 E) 49 
A 
B C 
x 
Piden: mDOC = x 
Por dato 
(BE)(CD) = (AD)(EC) 
 BC = 4a 
 x = 59 
Clave: C 
E 
O 
D 
Si AD = b  DC = 2b 
53/2 
Teorema de Ceva 
M 
45 
45 
b 
2b 
2a 
4a 
Sea AB = 2a 
Teorema de la bisectriz interior 
(BE)(2b) = (b)(EC) 
 2(BE) = EC = 2c 
c 2c 
(BM)(b)(2c) = (AM)(2b)(c) 
 AM = BM = a 
MBC: notable de 14 y 76 
mMCB = 14 
a 
a 
14 
PROBLEMA 33 
En un cuadrante AB, O en su centro (AO = OB = 3 2 cm), la prolongación de AK, interseca en C 
a la prolongación del arco AB, halle la distancia del punto C a AO, K es centro de la 
circunferencia inscrita en el sector circular AOB. 
A) 4 cm B) 3 2 cm C) 2 3 cm D) 3 cm E) 5 cm 
Piden: x 
Sea KT = r 
Sea OM  AC 
 x = 4 
Clave: A 
AHC ~ ATK 
A 
B 
O 
K 
C 
x 
r 
r 2 
r 3 
3 2 
M 
T 
 AT = r 2 y AK = r 3 
H 
CH
KT
 = 
AC
AK
 ; 
x
r
 = 
AC
r 3 
  AC = x 3 
 AM = MC = 
x 3
2
 x 3
2
 
x 3
2
 
ATK ~ AMO 
 
AM
AT
 = 
AO
AK
 ; 
x 3
2
 
r 2
 = 
3 2 
r 3 
 
PROBLEMA 34