Pre 31-45 Congruencia de Triángulos Semana 2a Resolución - Jared Sánchez

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MATERIAL DE ESTUDIO
2a
Problemas del 31 al 45
2021-2
CONGRUENCIA 
DE TRIÁNGULOS
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
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PROBLEMA 31
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones
I. Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
II. Si dos triángulos son congruentes a un tercer triángulo,
entonces dichos triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos son equiláteros, entonces los triángulos
son congruentes
A) VFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
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RESOLUCIÓN 31 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
II. Si dos triángulos son congruentes a un tercer triángulo, entonces
dichos triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos son equiláteros, entonces los triángulos son
congruentes
Clave: C
I. (V) Por definición
II. (V) Por correspondencia
III. (F) No necesariamente, solo si los lados son congruentes.
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PROBLEMA 32
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones
I. Si dos triángulos tienen congruentes dos ángulos y un
lado, entonces los triángulos son congruentes.
II. Si dos triángulos tienen congruentes dos lados y un
ángulo, entonces los triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos obtusángulos tienen dos lados
congruentes y el ángulo opuesto al mayor lado, entonces
los triángulos son congruentes.
A) FFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
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RESOLUCIÓN 32 
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si dos triángulos tienen congruentes dos ángulos y un lado,
entonces los triángulos son congruentes.
II. Si dos triángulos tienen congruentes dos lados y un ángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos obtusángulos tienen dos lados congruentes y el
ángulo opuesto al mayor lado, entonces los triángulos son
congruentes.
Clave: A
A C
B
D F
E
 
A C
B
D
F
E


III. (V) 
b b
I. (F) Sólo si el lado congruente
está comprendido entre los
dos ángulos congruentes.
II. (F) Sólo si el ángulo congruente 
es determinado por los dos 
lados congruentes.
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PROBLEMA 33
En el interior de un triángulo equilátero ABC se ubica el punto
I, se trazan los triángulos equiláteros API y CQI tal que ഥPI y QI
intersecan a AB y BC. Si el ángulo AIC mide , entonces la
medida del ángulo PBQ es
A) 90 +  B) 90 + 2 C) 120− 2
D) 180− 2 E) 240 − 
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RESOLUCIÓN 33 
En el interior de un triangulo equilátero ABC , se ubica un punto interior
P, talque: m∠ABP=3α , m∠BCP=2α y m∠PAC=α. Calcule la m∠BPC.
Clave: E
Sea  la medida del ángulo PBQ.
Por postulado: 
Por postulado:
Por teorema: 
Por postulado: 
De (1) y (2), se tiene: 
A C
B

P
I
Q

a a
a
b
b
b c
c
c
b
b


 b
60°
ΔBAP ≅ ΔCAI
⇒ m∠PBA = m∠ICA = γ
ΔBCQ ≅ ΔACI
⇒ m∠QBC = m∠IAC = β
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180 … 1
θ = 𝛾 + 60 + 𝛽 … 2
𝛼 + θ = 240
∴ θ = 240 - 𝛼
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PROBLEMA 34
Dado un triángulo equilátero ABC, en el exterior y relativo al
lado se ubica el punto P. Si AP+PB es mínimo entonces la
medida del ángulo APC es
A) 30 B) 30 C) 45
D) 60 E) 90
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RESOLUCIÓN 34 
Dado un triángulo equilátero ABC, en el exterior y relativo al lado se
ubica el punto P. Si AP+PB es mínimo entonces la medida del ángulo
APC es
Clave: D
Sea  la medida del ángulo APC.
Por postulado:
AQP: Equilátero
Como AP + PB es mínimo, entonces 
B− P − Q.
Por postulado: 
A

b
B
C
P
Q
b
b
a
a
a
60°60°
60°
60°

∃ ! AQ / m∠PAQ = 60
∃ ! PQ / m∠APQ = 60
ΔCAP ≅ ΔBAQ
∴ α = 60
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PROBLEMA 35
En un triángulo ABC, recto en B, en el lado BC se ubica el
punto D tal que mDAC = 2mBAD. Si AC = AD + 2 BD ,
entonces la medida del ángulo BAD es
A) 15 B) 18 C) 20
D) 22,5 E) 26,5
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RESOLUCIÓN 35 
En un triángulo ABC, recto en B, en el lado BC se ubica el punto D tal que
mDAC = 2mBAD . Si AC = AD+ 2 BD , entonces la medida del
ángulo BAD es
Clave: B
Sea  la medida del ángulo BAD
Por postulado: 
EAD: Isósceles
Por teorema: 
Sea P ∈ AC tal que AP = a
Por postulado: 
DPC: Isósceles
Finalmente, A

a
C
B
D
2
b
a+2b
E
b

∃ ! AE / m∠EAB = 

a
Pa 2b
2b
θ + θ + 2 = 180
⇒ PC = 2b
ΔPAD ≅ ΔDAE

2
2
⇒ m∠ADP=m∠ADE=θ y DP = DE = 2b
3α + 2α = 90
∴ α = 18
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PROBLEMA 36
En un triángulo QPC, en la prolongación de CQ y en el exterior
relativo a PQ se ubican los puntos A y B respectivamente tal
que AB=PC y AC=PQ. Si mQPC = mBAC y mBQP =
mPQC , entonces la medida del ángulo PQB es
A) 18 B) 36 C) 24
D) 45 E) 12
13
RESOLUCIÓN 36 
En un triángulo QPC, en la prolongación de CQ y en el exterior relativo a
PQ se ubican los puntos A y B respectivamente tal que AB=PC y AC=PQ.
Si mQPC = mBAC y mBQP = mPQC , entonces la medida del
ángulo PQB es
Clave: B
x
a
A
B
C
P
xβ
β
m
m
l
l a
2x
x
Q
Calcular: m  PQB=x
Datos: AB=PC y AC=PQ
=> ΔABC  ΔPCQ (LAL)
=> BC=CQ y
mBCA=m  PQC=x
ΔBQC: isósceles.
=> m  QBC=2x
ΔBQC: 2x+2x+x=180
x=36
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PROBLEMA 37
En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, en AB, AC y en el
exterior relativo a AC se ubican los puntos L, Q y F
respectivamente tal que el triángulo QFC es equilátero. Si
AQ = CL, mABC = 64 y mLCB = 30, entonces la medida
del ángulo FLC es
A) 30 B) 34 C) 36
D) 40 E) 45
15
RESOLUCIÓN 37 
En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, en AB, AC y en el exterior
relativo a AC se ubican los puntos L, Q y F respectivamente tal que el
triángulo QFC es equilátero. Si AQ = CL, mABC = 64 y mLCB = 30,
entonces la medida del ángulo FLC es
Clave: B
B L
C
60
64
30
A
x
x+26
Q
F
x
26
120
b
b
c
a
60
a
c
Datos: AQ = LC; mCBA = 64 
y mBCL = 30
ΔQFC: equilátero => CF=FQ
=> mLCF=mFQA=120
ΔLCF ΔAQF (LAL) => LF = FA
ΔLFA: isósceles. 
x=34
=> mFLA=mFAL=x+26
ΔBCL: medida de un ángulo exterior.
2x+26=64+30
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PROBLEMA 38
En un triángulo isósceles ABD de base AD, en el lado BD se
ubica el punto Q y en la prolongación de AQ se ubica el punto
E de manera que AD = DE y mBAE = mDBE = 2mBDE.
Calcule la medida del ángulo BDE.
A) 6 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15
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RESOLUCIÓN 38 
En un triángulo isósceles ABD de base AD, en el lado BD se ubica el
punto Q y en la prolongación de AQ se ubica el punto E de manera que
AD = DE y mBAE = mDBE = 2mBDE. Calcule la medida del ángulo
BDE.
Clave: C
A D
Q
60=θ+α
θ
2θ
a
Calcular: mBDE=θ
Datos: Δ ADE: isósceles => AD=DE
ΔABD: isósceles.
=> mBAD=mBDA=2θ+α
=> ΔADE: α+α+3θ+α=180
θ+α=60
Trazamos ΔBSD  ΔBED (LAL) (b-θ-a) 
θ=10
=> mSBD=2θ y mSDA=θ+α=60
ΔASD: equilátero => SA=a y mSBA=2θ
ABDS: 6θ=60
S
B
E
θ
2θ
α
aaa
2θ
α
b
b
2θ
θ θ
2θ+α
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PROBLEMA 39
En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica el punto P y en el
exterior el punto Q tal que BQ interseca a AC, mBAQ = 90,
mPQA = 50 y mACQ = mBCA = 2mBAC = 40 .
Calcule la medida del ángulo PBC.
A) 50 B) 40 C) 60
D) 30 E) 70
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RESOLUCIÓN 39 
En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica el punto P y en el exterior el
punto Q tal que BQ interseca a AC, mBAQ = 90, mPQA = 50 y
mACQ = mBCA = 2mBAC = 40. Calcule la medida del ángulo PBC.
Clave: E
C
70
50
20
A
20
B
b
a
a
b
Calcular: mPBC=x
y mPQC=20
=> AC=CQ
ΔABC ΔQPC (ALA)
=> BC=CP
ΔBCP: x+x+40=180 
x=70
P
Q
40
40
x
x
Se deduce que mCAQ=70
20
PROBLEMA 40
En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica el punto M y en el
exterior el punto N tal que AN interseca a BC, ABMN,
mBNM = 35 , AB = MC y mABC = mACN . Calcule la
medida del ángulo BAC.
A) 35 B) 55 C) 20
D) 45 E) 70
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RESOLUCIÓN 40 
En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica el punto M y en el exterior el
punto N tal que AN interseca a BC, ABMN, mBNM = 35 , AB = MC y
mABC = mACN. Calcule la medida del ángulo BAC.
Clave: E
θ
35
A
x
b
a
a b
Calcular: mBAC=x
Datos AB=MC; AB//MN y
mABC=mBCN=α
=> mBAC=mNMC=x
=> ΔABC ΔCMN (ALA)
=> BC=NC
ΔBCN: isósceles. 
x=70M
α
C
N
B
θ
35+θ
α
x
=> mCBN=mCNB=35+θ
En los triángulos opuestos por el 
vértice BNMC
x+θ=35+θ+35
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PROBLEMA 41
En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y AQ, en AQ se
ubica el punto T tal que HT⊥AQ . Si HT=a , BQ=b y BH≅AC,
entonces la longitud de AQ es
A) a+b B) a+2b C) 3a+b
D) 2a+b E) b-a
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RESOLUCIÓN 41 
En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y AQ, en AQ se ubica el
punto T tal que HT⊥AQ . Si HT=a , BQ=b y BH≅AC, entonces la longitud
de AQ es
Clave: A
H
Q
C
B
A
T
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
N
b
a
Se traza HN⊥BC
a
AQC ≅ HNB (ALA)
HT=NQ=a
AQ=BN
AQ=a+b
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PROBLEMA 42
En el interior de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto
P tal que mABP=3 , mBCP=2 y mPAC=. Calcule la
medida el ángulo BPC.
A) 110 B) 135 C) 140
D) 120 E) 105
25
RESOLUCIÓN 42 
En el interior de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P tal que
mABP=3, mBCP=2 y mPAC=. Calcule la medida el ángulo
BPC.
Clave: B
3𝛼
𝛼
2𝛼
B
A
P
C
120 + 𝛼
120 + 𝛼
a
a a
60 − 3𝛼
60 − 2𝛼
b
m∠PBC=60−3α
m∠PCA=60−2α
m∠BPC=120+α
m∠APC=120+α
APC ≅ BPC (LLAm)
2α=60−2α
α=15
m∠BPC=135
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PROBLEMA 43
En un triángulo ABC, se traza la altura BH y en HC se ubica el
punto P, en la prolongación del lado BC se ubica el punto Q
tal que BC≅CQ, AB≅PQ y HC=10. Calcule la longitud de AP.
A) 10 B) 15 C) 40
D) 20 E) 25
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RESOLUCIÓN 43 
En un triángulo ABC, se traza la altura BH y en HC se ubica el
punto P, en la prolongación del lado BC se ubica el punto Q tal
que BC≅CQ, AB≅PQ y HC=10. Calcule la longitud de AP.
Clave: D
H P
C
B
A
Q
T
a b
10
a+2b
m
m
Se prolonga HC hasta T
BHC ≅ QTC
(LLA)
a+b=10
c
x
c
BH=QT=h
h
h
AHB ≅ QTP
(ALA)
AH=PT=a+2b
a+b
x=2a+2b
x=20
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PROBLEMA 44
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH, en
las prolongaciones de los catetos AB y BC se ubican los
puntos F y E tal que la prolongación de HB interseca a EF en
el punto M. Si BC ≅ BF, AB ≅ BE y MF = 3 u, entonces la
longitud (en u) de EM es
A) 6 B) 3 C) 4
D) 1,5 E) 2
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RESOLUCIÓN 44 
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH, en las 
prolongaciones de los catetos AB y BC se ubican los puntos F y 
E tal que la prolongación de HB interseca a EF en el punto M. Si 
BC ≅ BF, AB ≅ BE y MF = 3 u, entonces la longitud (en u) de EM
es
Clave: B
P
M
E
F
H
C
B
A
x
3
T
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
h
a
a
c
c
h
h
𝛼 𝜃
𝜃
𝛼
Se prolonga HM hasta P
BHC ≅ BPF
AHB ≅ BTE
ETM≅ FPM
(ALA)
BH=PF=h
(ALA)
BH=ET=h
(ALA)
EM=MF
x=3
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PROBLEMA 45
En un triángulo ABC, en el lado AC y en el exterior relativo al
lado AC se ubica el punto P tal que mADP=42 ,
mPDC=mBAC=24, mACB=48 y mBAD=90. Calcule la
medida del ángulo ABP.
A) 24 B) 36 C) 42
D) 32 E) 21
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RESOLUCIÓN 45 
En un triángulo ABC, en el lado AC y en el exterior relativo al lado
AC se ubica el punto P tal que mADP=42, mPDC=mBAC=24,
mACB=48 y mBAD=90. Calcule la medida del ángulo ABP.
Clave: C
P
D
C
B
A
42
24
24
48
x
APB ≅ DPC (ALA)
BC = PC
BCP isósceles
m∠BPC = m∠PBC = 66
66
66
48
x + 24 = 66
66
isóscelesACD
AC=CD
x = 42