Copia de Geometría Plana Semana 20a Resolución 01-12 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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PRE
UNIVERSITARIO
20a
GEOMETRÍA PLANA
Problemas del 01 al 12
MATERIAL DE 
ESTUDIO
PROBLEMA 01 
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos P, Q y R; M y N son
puntos medios de los segmentos TQ y TR, respectivamente. Si QR = 9 u,
entonces la diferencia de las longitudes de los segmentos QR y MN es
A) 2 B) 2,8 C) 3,6
D) 3,9 E) 4,5
RESOLUCIÓN 01
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos T, Q y R; M y N son
puntos medios de los segmentos TQ y TR respectivamente. Si QR = 9 u,
entonces la diferencia de las longitudes de los segmentos MR y TN es
Dato:
Clave: E 
Calcule x – y 
x – y = (a + b) = 4,5
2a + 2b = 9
a + b = 4,5
x – y = (3a + 2b) – (2a + b ) = a + b
QT NM R
a ba
y
2a + b
x

QR = 9
A) 
α − 
2
B) 
α + 
4
C) α - 
D) 
α + 
2
E) 
α − 
4
PROBLEMA 02 
En la figura m//ിn, a + b = α y c + d = . Calcule x
a
b
c
d
x
m
n
RESOLUCIÓN 02 En la figura m//ിn, a + b = α y c + d = .Calcule x
Clave: C 
Por ángulos correspondientes:
Se trazan paralelas 
 α -  = x
a
b
c
d
xm
n
a
x
d+x
b + a = c + d + x
α =  + x
a
b
c
d
x
m
n
PROBLEMA 03
En un triángulo ABC la m∠BCA = 36, si se traza la ceviana BM , tal que 
BM = MC y AM = BC, hallar la m∠BAC
A) 18 B) 28 C) 36 D) 40 E) 42
En un triángulo ABC la m∠BC 36, si se traza la ceviana BM , tal que 
BM = MC y AM = BC, hallar la m∠BACRESOLUCIÓN 03
A
B
C36
M
a
a
Triángulo BMC isósceles , la m∠BCA = m∠CBM =36, 
36
72
Se traza la ceviana BQ , tal que BM = BQ, 
Q
El triángulo QBM isósceles
36
b
El triángulo QBA isósceles , BC = AQ = a. Si 
QM = b , AQ = MC =a –b 
a
△ ABQ ≅ △ BMC
△ ABQ isosceles ,
36
36
la m∠BAC = 36 
Clave: C 
PROBLEMA 04
En un triángulo ABC isósceles (AB = BC ) se trazan las cevianas AM y CN 
tal que la m∠BAM = m∠ABC = 20 y m∠BCN = 30, calcule la m∠MNC
A) 50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 80
En un triángulo ABC isósceles (AB = BC ) se trazan las cevianas AM
y CN tal que la m∠BAM = m∠ABC = 20 y m∠BCN = 30, calcule la
m∠MNC
Clave: E
RESOLUCIÓN 04
A
B
C
20
M
N
20
30
α
El triángulo ANC isósceles 
60
50
50
El triángulo ANP equilátero
P
10
60
40
20
El triángulo AMP isósceles
40
40
El triángulo NMP isósceles
α = 70 + 10 = 80
30
80
En un triángulo ABC, las alturas se intersecan en el punto
interior L, tal que AL = BC. Calcule la medida del ángulo BAC.
A) 15 B) 30 C) 37
D) 45 E) 60
PROBLEMA 05
En un triángulo ABC, las alturas se intersecan en el punto interior L, tal que
AL = BC. Calcule la medida del ángulo BAC.RESOLUCIÓN 05
Clave: D 
m∠BAC = x
A
B
C

H
Q
L



AHL  BHC (ALA)
AH = BH
AHB, isósceles: 
m∠BAC = 45
PROBLEMA 06
En un triángulo ABC, mABC = , hacia el mismo semiplano
determinado por el lado AC, en el que se ubica B, se trazan los
triángulos equiláteros AEB, AFC y BGC, respectivamente.
Calcule la medida del ángulo EFG.
A) 2 B) 2(180 - ) C) 90 + 
D) 120 -  E) 240 - 
En un triángulo ABC, mABC = , hacia el mismo semiplano 
determinado por el lado AC, en el que se ubica B, se trazan los 
triángulos equiláteros AEB, AFC y BGC, respectivamente. Calcule 
la medida del ángulo EFG.
RESOLUCIÓN 06
Clave: E 
Dato: 
Incógnita: mEFG = x
A
B
C

E
F G
x
Del gráfico: 
x = mEFA + mAFC + mCFG… (1) 
 
 
AEF  ABC (LAL)  mEFA = 
FGC  ABC (LAL)  mCFG = 
En (1): 
x =  + 60 + 
x = 180 –  + 60
x = 240 – 
PROBLEMA 07
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM y la
altura BH, Q ∈ BM, se trazan QP ꓕ BM y QR ꓕ MC. Si PQ = 6 + n y QR = 3 – n,
entonces la longitud de BH, es
A) 4 B) 5 C) 7
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN 07
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM
y la altura BH, Q ∈ BM, se trazan QP ꓕ BM y QR ꓕ MC. Si PQ = 6 + n y
QR = 3 – n, entonces la longitud de BH, es
Clave: E
A
B
H M R
C
P
Q
Calcule BH
6 + n
3 - n
En el △ABC, teorema de la menor mediana: 
AM = MC = BM 
BH = 9
El △BMC, es isósceles 
Teorema: BH = 6 + n + 3 - n 𝜃
𝜃
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
PROBLEMA 08
En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si la m∠ABM = 105 y
m∠MBC = 30, entonces la m∠BCM
A) 15 B) 25 C) 30
D) 45 E) 60
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
RESOLUCIÓN 08
En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si la m∠ABM = 105
y m∠MBC = 30, entonces la m∠BCM
Clave: A
Calcule m∠BCM = x
A
B
H
Q
C
M
105 30
△AHB es notable de 45
x
45
En el △ABC, se traza la altura AH
△HBM, es isósceles
2n
2n
b
b
△AHC, MQ es base media: MQ = n 
b
△AHC, HM es mediana: HM = b 
△BQM, notable de 30 y 60: BM = 2n 
n
2n
x
x
Teorema: x + x = 30 ⇒ x = 15
https://cutt.ly/8f81Sjf
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https://cutt.ly/Gf81Ah3
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PROBLEMA 09 
En un polígono equiángulo de n lados, la suma de las medidas de n
ángulos internos es a veces la medida de su ángulo externo. Si a admite
su menor valor entero, entonces el número de lados que tiene dicho
polígono es
A) 4 B) 5 C) 7
D) 9 E) 12
RESOLUCIÓN 09
En un polígono equiángulo de n lados, la suma de las medidas de n
ángulos internos es a veces la medida del ángulo externo. Si a
admite su menor valor entero, entonces el número de lados que
tiene dicho polígono es
Clave: A 
n: número de lados del polígono
n = a
n
(180(n−2))
n = a
360
n
n(n - 2) = 2a

n ≥ 3como
n = 3Si 3(3 - 2) = 2a
a = 1,5
Si n = 4  4(4 - 2) = 2a
a = 4
∴ n = 4
PROBLEMA 10: Cuadriláteros
En un trapecio ABCD los lados BC y AD son paralelos. Las
bisectrices de los ángulo A y B se intersecan en P y las bisectrices
de los ángulos C y D se intersecan en Q. Si AB = 6, BC= 3, CD = 9 y
AD = 10, la longitud del segmento PQ es
A) 0 B) 0.5 C) 0.75
D) 1.0 E) 1.25
En un trapecio ABCD los lados BC y AD son paralelos. Las bisectrices
de los ángulo A y B se intersecan en P y las bisectrices de los ángulos C
y D se intersecan en Q. Si AB = 6, BC= 3, CD = 9 y AD = 10, la longitud del
segmento PQ es
Clave: D 
RESOLUCIÓN 10
A
B C
D
PQ
NM



 



6
5
3
9
10
6
4
Se prolonga BP hasta N
 BAN isósceles AB = AN = 6
Además BP = PN
Se prolonga CQ hasta M
 MDC isósceles CD = DM = 9
MN = 5
Además MQ = QC
Trapecio MBCN
PQ =
5 − 3
2
= 1
PROBLEMA 11: Cuadriláteros
Desde un punto P exterior a un rectángulo ABCD relativo al lado BC, tal
que mBPC = 90. Se traza PM de modo que: M  AD y PM  BC = {Q},
BP = PM = 2(PC) = 2(PQ). BC – AM = 4. La distancia del vértice D a BM
es
A) 2 5 B) 2 2 C) 2 3
D) 3 3 E) 3 2
Desde un punto P exterior a un rectángulo ABCD relativo al lado BC, tal
que mBPC = 90. Se traza PM de modo que: M  AD y PM  BC = {Q},
BP = PM = 2(PC) = 2(PQ). BC – AM = 4. La distancia del vértice D a BM
es
Clave: D 
RESOLUCIÓN 11
A
B
P
C
D
M
Q
53/2
a2a a
a
b 4

45


+53/2
45
x
S
 BPC : m PBC = 53/2
90
  = 45
m ABM = 45 = m SMD
x = 2 2
m MBC =   m BMP =  + 53/2
 QPC : m PCQ =  = mPQC = mBQM = 
 BQM:  +  + 53/2 +  = 180
 DSM:
PROBLEMA 12: Cuadriláteros 
En un cuadrilátero ABCD la m BAD = 75, m ABC = 90 y
AB = BC. La mediatriz de BC interseca en M a AD, Si MC = 8.
la distancia de M a BC es
A) 2 3 B) 3 3 C) 4 3
D) 5 3 E) 6 3
En un cuadrilátero convexo ABCD la m BAD = 75, m ABC = 90 y
AB = BC. La mediatriz de BC interseca en M a AD, Si MC = 8. la
distancia de M a BC es
Clave: C 
RESOLUCIÓN 12
A
B
C
D
75
2a
2a
M
a
a
88
a
30
60
60
x
MB = MC = 8 MT ⊥ AB ; MT = a
 ABM: m ABM = 30
 BMC es equilátero
T
m ABM = 60
m BCM = 60
x = 4 3