Lectura15 - Yanet Santillan

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Chapter 11
Derivados Financieros (2):
Opciones Financieras
11.1 Definiciones
Definition 25 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorga
al tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente en
una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar los
siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de
la opción de compra, K.
Definition 26 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga al
tenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fecha
y precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientes
términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción
de venta, K.
Definition 27 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerse
en cualquier momento previo a su vencimiento.
Definition 28 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sólo
al momento de su vencimiento.
11.2 El Perfil de Riesgo de Las Opciones
El perÞl de riesgo de una opción es el ßujo de caja que genera al vencimiento
del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos para los tenedores de
95
96CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put).
t = 0 t = T
ST < K ST > K
Largo en "Call" −c 0 ST −K > 0
Largo en "Put" −p K − ST > 0 0
Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, de
otra forma perdería dinero y no la ejercería.
Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, de
otra forma perdería dinero y no la ejercería.
En resumen, al vencimiento los ßujos de tenedores de opciones son:
Call ⇐⇒ max (ST −K, 0) (11.1)
Put ⇐⇒ max (K − ST , 0) (11.2)
GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Largo en "Call"
11.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES 97
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Largo en "Put"
En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:
Call ⇐⇒ −max (ST −K, 0) (11.3)
Put ⇐⇒ −max (K − ST , 0) (11.4)
GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Corto en "Call"
98CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Corto en "Put"
11.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones
Financieras
� A pesar de que gráÞcamente parezca que estrategias como comprar
"calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se gana
cero), esto no es así. Para acceder a ese perÞl de riesgo es necesario
pagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.
� En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso)
el precio de las opciones en los gráÞcos de ßujos de caja de las op-
ciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consiste
en desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráÞcos aquí
presentados.
� Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejem-
plo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put"
sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en su
posición sobre el activo subyacente.
11.4 ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ESPECULATIVAS CON OPCIONES99
11.4 Estrategias de Inversión Especulativas
con Opciones
Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples op-
ciones Þnancieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más populares
estrategias especulativas con opciones.
11.5 Spreads
11.5.1 Bull Spread
Definition 29 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y vender
una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal que
K2 > K1.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2
Compra "Call" 0 ST −K1 ST −K1
Venta "Call" 0 0 − (ST −K2)
Flujo Neto 0 ST −K1 K2 −K1
GráÞcamente,
100CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opciones
de venta.
11.5.2 Bear Spread
Definition 30 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y vender
una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal que
K2 > K1.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2
Compra "Call" 0 0 ST −K2
Venta "Call" 0 − (ST −K1) − (ST −K1)
Flujo Neto 0 − (ST −K1) K1 −K2
GráÞcamente,
11.5 SPREADS 101
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones
de venta.
11.5.3 Butterfly Spread
Definition 31 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejer-
cicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2, tal que
K1 < K2 < K3. Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 K2 < ST < K3 ST > K3
Compra Call 1 0 ST −K1 ST −K1 ST −K1
Compra Call 3 0 0 0 ST −K3
Venta 2 Puts 0 0 −2 (ST −K2) −2 (ST −K2)
Flujo Neto 0 ST −K1 2K2 −K1 − ST| {z }
=K1−ST si K2=0.5(K1+K3)
2K2 −K1 −K3| {z }
=0 si K2=0.5(K1+K3)
GráÞcamente,
102CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1 K3
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones
de venta.
11.6 Combinaciones
Definition 32 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una
"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 33 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos
"puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 34 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una
"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 35 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" con
precio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo al
vencimiento, tal que K1 < K2.
11.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES103
11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplica-
ciones
Las opciones Þnancieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es par-
ticularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valor
de las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación del
valor de otros activos que sí observamos.
El ßujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una
parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este ßujo de caja es
(hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintos
estados de la naturaleza que se maniÞesten. El precio o valor de un activo
es cuanto valgan (hoy) los ßujos prometidos.
Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en Þnanzas:
1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos ßujos
de caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo
evento y no en valor esperado.
2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo A
es mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces de
manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo
B.
11.8 La Paridad Put-Call
Suponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put con
mismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El ßujo de caja
obtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo sub-
yacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1. Aplicando la ley
de un sólo precio, podemos determinar que si los ßujos de caja al vencimiento
son iguales, los precios también deben serlos.
Flujos: CT − PT = ST −K (11.5)
implica que
Precios : C − P = S − V P (K) (11.6)
Paridad Put-Call : C − P = S − K
R
(11.7)
1Recuerde simplementelas tablas y gráÞcos de ßujos al vencimiento vistos en clases.
104CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
La paridad put-call es importante por 2 razones:
1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antes
de su vencimiento.
2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoce
el precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call)
basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica la
paridad put-call2.
11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Op-
ciones antes del Vencimiento
Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio de
una call?
1. C ≥ 0. El precio de un ßujo de caja igual a cero debe ser cero. Como
el ßujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precio
es siempre no negativo.
2. C ≤ S. El ßujo de una call al vencimiento es siempre menor al valor
del activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una call
antes del vencimiento es siempre menor al valor del activo.
3. C ≥ S−V P (D)−V P (K), dondeD = dividendo pagado. El ßujo de la
call al vencimiento es CT = max (ST −K, 0) ≥ ST −K = ST +D−D−
K. Como el precio de ST +D es S, si aplicamos el operador de precios
sobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S−V P (D)−V P (K).
Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráÞco:
2En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan divi-
dendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.
11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P
S(T)
Pr
ec
io
 C
al
l
S-VP(D)-VP(K)
C=S
Precio "Call" debe estar en 
algun punto de esta area
La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si las
tasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opción
que no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existen
dividendos, la siguiente desigualdad es cierta
C ≥ S − V P (K) > S −K (11.8)
El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer la
call antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerza
antes de que venzan.
11.10 Valoración de Opciones por Método de
Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento
El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizan
las opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sin
dividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es:
CT = max (ST −K, 0) (11.9)
Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes del
vencimiento.
106CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estados
de la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S o
cae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores:
CT = Cu = max (u · S −K, 0) o CT = Cd = max (d · S −K, 0). El árbol de
estados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:
Conocemos u, d, S,K y queremos encontrar C.
Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de
bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S +B si la acción
sube y H · d · S +B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores de
H y B tales que los ßujos de caja de este portafolio sean iguales al ßujo de
caja de la call. Esto signiÞca que es necesario encontrar valores de H y B
tal que
H · u · S +B = Cu (11.10)
H · d · S +B = Cd (11.11)
2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones:
H =
Cu − Cd
u · S − d · S (11.12)
B =
u · S · Cd − d · S · Cu
u · S − d · S (11.13)
H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número de
acciones necesarias para replicar exactamente los ßujos al vencimiento de la
call. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el precio
del activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, el
valor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se graÞca el valor
de la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de tal
gráÞco debe ser H.
Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de
un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio.
C = HS +
B
R
(11.14)
11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P
Reemplazando por los valores de H y B
C =
Cu − Cd
u · S − d · SS +
uCd−dCu
u−d
R
(11.15)
C =
Cu − Cd
u− d +
uCd−dCu
u−d
R
(11.16)
Esta fórmula no es muy atrayente, así que deÞnamos
p =
R − d
u− d ⇔ 1− p =
u− R
u− d (11.17)
En términos de p, la formula de C se transforma en
C =
Cu
u− d −
Cd
u− d +
µ
uCd
u− d
¶
/R+
µ
dCu
u− d
¶
/R (11.18)
C =
µ
1
u− d
µ
1− d
R
¶¶
Cu +
µ
1
u− d
³ u
R
− 1
´¶
Cd (11.19)
C =
1
R
·µ
R − d
u− d
¶
Cu +
µ
u−R
u− d
¶
Cd
¸
(11.20)
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.21)
donde Cu = max (u · S −K, 0) y Cd = max (d · S −K, 0).
Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula:
1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte de
la fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene de
la ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidad
de arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS +B y vaya corto
en la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la información
acerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en su
precio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S se
ajusta automáticamente al alza.
2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en la
valorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todo
eso ya está incluído en el precio de S.
108CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que se
conoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentes
son neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p.
En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperado
descontado de los ßujos al vencimiento:
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.22)
=
1
R
E (CT ) (11.23)
Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo con
probabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan para
la valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesita
conocer acerca de los escenarios futuros de ST está capturado en el
precio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sin
conocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver a
pensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si se
conoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.
11.11 Método de Arboles Binomiales: 2 perío-
dos al vencimiento
Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cada
período. DeÞna Cu,u, Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento de
acuerdo al siguiente esquema:
11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 109
Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimiento
hacia atrás.
Cu =
1
R
[pCu,u + (1− p)Cu,d] (11.24)
Cd =
1
R
[pCu,d + (1− p)Cd,d] (11.25)
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.26)
Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos:
C =
1
R2
£
p2Cu,u + 2p (1− p)Cu,d + (1− p)2Cdd
¤
(11.27)
Hechos interesantes acerca de esta última fórmula:
1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precio
S, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R y
el número de períodos al vencimiento.
2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las prob-
abilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidades
al vencimiento subieron 1/8 (Cu,u), no cambiaron (Cu,d) o se redujeron
en un 1/8 (Cd,d). Aún más, con muchos más períodos, puede pasar
cualquier cosa con el precio.
11.12 La Formula de Black y Scholes
Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo bi-
nomial. Más aún, supongaque estos periodos son muy cortos (en el límite
convergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emerge
una famosa fórmula, la de Black y Scholes:
C = SN (d1)−Ke−rTN (d2) (11.28)
110CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
donde
d1 ≡
ln
¡
S
K
¢
+
³
r + σ
2
2
´
T
σ
√
T
(11.29)
d2 ≡ d1 − σ
√
T (11.30)
N (x) = área debajo de la distribución Normal hasta el punto x
r = tasa de interés continuamente compuesta
σ = desviación estándar de los retornos del activo subyacente
Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tiene
importantes implicancias:
1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio de
ejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S −Ke−rT .
2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio de
ejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0.
3. El precio de la opción es una función determinística del precio actual
de la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ,K.
4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es una
volatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que el
activo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dada
por la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícita
es el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios de
mercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar en
el mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícita
y no por su precio efectivo.
5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Black
y Scholes se descompone en 2 partes:
� SN (d1), el valor presente de la acción multiplicado por la proba-
bilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio.
� −Ke−rTN (d2), el valor presente del precio de ejercicio multipli-
cado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas
11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 111
probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las prob-
abilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula bi-
nomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmula
neutral al riesgo.
6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Por
lo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes.
H =
∂C
∂S
= N (d1) (11.31)
Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cam-
bia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razón
de cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real:
suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock de
acciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantener
para eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un período
plazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una acción
con una opción).