PLANO - Rubén Rodríguez

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El Plano 
 
 
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Contenido 
EL PLANO ................................................................................................................................. 3 
1.- Definición del plano como lugar geométrico .................................................................... 3 
2.- Ecuaciones del plano referidas a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales .... 3 
2.1. Ecuación general del plano. ......................................................................................... 4 
2.2. Significado de los coeficientes de la ecuación general del plano ................................ 5 
2.3. Casos particulares de la ecuación cartesiana de un plano ........................................... 6 
3.- Trazas de un plano: ......................................................................................................... 10 
3.1. Intersecciones del plano con los ejes coordenados .................................................... 11 
4.- Forma segmentaria de la ecuación del plano: ................................................................. 12 
5.- Angulo que forman entre sí dos planos ........................................................................... 14 
5.1. Condición de perpendicularidad entre planos ........................................................... 16 
5.2. Condición de paralelismo entre planos ...................................................................... 16 
5.3. Planos coincidentes: .................................................................................................. 17 
6.- Distancia de un punto a un plano: ................................................................................... 18 
6.1. Distancia entre dos planos paralelos .......................................................................... 20 
7.- Ecuación del plano que contiene a tres puntos dados: .................................................... 21 
8.- Intersección de tres planos .............................................................................................. 24 
Ejercicios: ................................................................................................................................. 29 
Soluciones de los ejercicios ...................................................................................................... 32 
Autoevaluación ......................................................................................................................... 35 
Soluciones de la autoevaluación: .............................................................................................. 36 
 
 
 
 
 El Plano 
 
 
3 
EL PLANO 
 
1.- Definición del plano como lugar geométrico 
Dados un vector 0n 
 
 nPPP  1/ (1) 
 
es un plano que contiene al punto P 1 y es normal al vector n . Queda entonces 
descripto el plano  como conjunto de puntos P del espacio, tales que son 
extremos de los vectores PP1 normales al vector n dado. 
 
2.- Ecuaciones del plano referidas a un sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonales 
 
Consideraremos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el 
espacio. Sean n
 111 ,, zyx . 
 
 
El lugar geométrico (1) se puede expresar así: 
 nPPzyxP  1/),,( 
 
 El Plano 
 
 
4 
Ó bien recordando que 011  nxPPnPP , o podemos escribir: 
  0/),,( 1  nxPPzyxP 
 
La ecuación: 01 nxPP (2) 
 
que deben satisfacer todos los puntos del plano y sólo ellos, es la ecuación 
vectorial del plano , que contiene al punto P1 y es normal al vector n . 
 
2.1. Ecuación general del plano. 
Sea P (x , y , z) un punto cualquiera del plano. Entonces ),,( 1111 zzyyxxPP  
y la ecuación ( 2 ) puede expresarse: 
 
0),,(),,( 1111  zzyyxxxcbaPPxn 
 
Recordando que el producto escalar es igual a la suma de los productos de las 
componentes homólogas, tenemos: 
 
0)()()( 111  zzcyybxxa (3) 
 
esta es la ecuación del plano que contiene al punto ),,( 1111 zyxP y es normal al 
vector n . 
Operando algebraicamente en la ecuación (3) resulta: 
 
ax + by + cz – (ax 1 + by 1 + cz 1 ) = 0 
 
Si llamamos con d = - ( ax 1 + by 1 + cz 1 ), se obtiene: 
 
 
ax + by + cz + d = 0 (4) 
 
 
llamada ecuación general o cartesiana del plano vemos que es una ecuación 
lineal en las variables x , y , z. 
 
Esto permite afirmar que: 
Cada plano del espacio puede ser representado mediante una ecuación cartesiana 
de la forma (4). 
 
 
 El Plano 
 
 
5 
La afirmación recíproca también vale: 
Cada ecuación lineal del tipo (4), o sea lineal en las variables x, y , z, es la 
ecuación de un plano en el espacio. 
 
Ejemplo nº 1: 
 
Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto P 1 ( 0 , 2 , 2) y es 
perpendicular al vector n = (3 , 4 , 2). 
 
Solución: 
Sustituyendo en la ecuación (3) 
a = 3 b = 4 c = 2 x1 = 0 y1 = 2 y z1 = 2 
obtenemos: 
 3 (x – 0) + 4 ( y – 2) + 2 (z – 2) = 0 o sea 
3x + 4y + 2z - 12 = 0 
 
(*) Observación: 
 
Otra forma de resolver el problema anterior es la siguiente: 
Sustituímos en la ecuación (4) 
a = 3 b = 4 c = 2 obtenemos: 
 
3x + 4y + 2z + d = 0 
 
Como el punto (0 , 2 , 2) pertenece al plano sus coordenadas van a satisfacer la 
ecuación anterior, 
 
3 . 0 + 4 . 2 + 2 . 2 + d = 0  d = -12 
 
resulta entonces que la ecuación del plano buscado es: 
 
3x + 4y + 2z - 12 = 0 
 
2.2. Significado de los coeficientes de la ecuación general del plano 
Los coeficientes de las incógnitas, son las componentes de un vector n = (a , b ,c) 
que es normal al plano, pues así fue elegido n . En cuanto al coeficiente d (término 
independiente), resulta ser, en valor absoluto, proporcional a la distancia del origen 
de coordenadas al plano. 
En efecto, en el párrafo 6 demostraremos que la distancia  del origen de 
coordenadas al plano es: 
 
 El Plano 
 
 
6 
n
d
 ( 5 ) 
 
de donde nd  
 
es decir que efectivamente d es proporcional a  .Si 1n , entonces será: 
 
d 
 
 
Ejemplo nº 2: 
 
Encontrar la distancia del origen al plano obtenido en el ejemplo 1. 
 
Solución: 
En el mencionado ejemplo habíamos obtenido la ecuación: 
 3x + 4y + 2x - 12 = 0, donde n = (3,4,2 ). Como 29243 222 n 
será: 
29
12

n
d
 la distancia buscada. 
 
 
Actividad nº 1: 
 
a) Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto ( -1 , 3 , 5) y es 
perpendicular al vector ( 2 , -1 , 3) 
b) Calcular la distancia del origen al plano encontrado en el item a). 
 
 
 
2.3. Casos particulares de la ecuación cartesiana de un plano 
 
Sea  un plano de ecuación ax + by + cz + d = 0. 
A continuación estudiaremos situaciones particulares en cuanto a la posición de 
 , respecto a los ejes y planos coordenados, analizándose los casos en que sean 
nulos algunos de los coeficientes de la ecuación y teniendo presente que no cabe 
la posibilidad, a = b = c = 0, puesto que 0n .- 
 
 
 El Plano 
 
 
7 
 i )d = 0 
el punto (0 , 0 , 0) satisface la ecuación del plano ax +by +cz = 0 
O sea que  contiene al origen de coordenadas. 
Recíprocamente si el origen de coordenadas pertenece al plano, entonces el 
término independiente d , de la ecuación general es nulo. En efecto, sea la 
ecuación ax + by + cz = d , si el punto (0 , 0 , 0) pertenece al plano, sus 
coordenadas verifican la ecuación, esto es: 
 
a . 0 + b . 0 + c . 0 = d  d = 0 
 
Resumiendo entonces: 
 
Un plano  tendrá por ecuación ax + by + cz = 0  el origen de coordenadas 
pertenece a dicho plano. 
 
ii) a = 0 ; b  0 ; c  0 ; d  0. 
el vector normal n = (0 , b , c) es perpendicular al eje X, pues in  , al ser 
0)0,0,1(),,0(  xcbixn por lo tanto n es paralelo al plano coordenado YZ 
Esto implica que: 
 
Un plano de ecuación: by+ cz + d = 0 , v x 
es perpendicular al plano coordenado YZ (paralelo al eje X) y recibe el nombre 
de plano proyectante sobre el YZ. 
 
 
 
Si ocurre además que d = 0 
Tenemos que la ecuación resulta: 
 
 El Plano 
 
 
8 
 
by + cz = 0 , v x 
 
 
 
 
En este caso el plano proyectante sobre el plano coordenado YZ contiene al 
origen de coordenadas y por lo tanto (recordemos que era paralelo al eje x) 
contiene al eje X. 
 
 
Actividad nº 2: 
En forma análoga analizar los siguientes casos 
 
 b = 0 ; a  0 ; c  0 ; d  0 
 b = 0 y d = 0 ; a  0 ; c  0 
 c = 0 , a  0 ; b  0 ; d  0 
 c = 0 y d = 0 , a  0 ; b  0 
Escribir en cada uno de ellos las ecuaciones de los planos proyectantes 
obtenidos, indicando sus respectivas posiciones. 
 
iii) a = b = 0 ; c  0 ; d  0 
 
 
 
 
 
 El Plano 
 
 
9 
el vector normal n = (0 , 0 , c) es paralelo al eje Z, pues )1,0,0(ckcn  ,por 
lo que: 
 
Un plano  de ecuación : 
cz + d = 0 , v x ; v y ó bien 
c
dz  ; v x ; v y 
resulta ser perpendicular al eje Z ó lo que es lo mismo paralelo al plano 
coordenado XY. 
 
 
Si además es d = 0 , la ecuación del plano  es: 
 
z = 0 ; v x v y 
 
La cual caracteriza al plano coordenado XY como es fácil deducir. 
 
Actividad nº 3: 
En forma análoga analizar los siguientes casos: 
 a = c = 0 ; b  0 
 a = c = d = 0 ; b  0 
 b = c = 0 ; a  0 
 b = c = d = 0 ; a  0 
 
 
 
 
 El Plano 
 
 
10 
Escribir en cada uno de ellos, las ecuaciones de los planos obtenidos, indicando 
sus respectivas posiciones. 
 
 
3.- Trazas de un plano: 
Llamamos trazas de un plano  de ecuación ax + by +cz + d = 0 a las rectas de 
intersección de él con cada uno de los planos coordenados. 
 
 
 
La traza t 1 se obtiene como intersección del plano  con el plano coordenado 
XY y se indica 
 
t1 ) ax + by + cz + d = 0 
z = 0; v x , v y 
 
ó en forma equivalente 
 
t 1 ) ax + by + d = 0 ecuaciones de la traza t 1 
 z = 0 ; v x , v y 
 
Observación: En el espacio las rectas se indican por intersección de dos planos. 
 
 
Actividad nº 4: 
Expresar las ecuaciones de las trazas t 2 y t 3 
 El Plano 
 
 
11 
3.1. Intersecciones del plano con los ejes coordenados 
Para representar un plano conviene determinar los puntos K, H y L que son los 
puntos de intersección del mismo con los ejes coordenados. 
 
El punto K tendrá coordenadas (k,0,0). El valor de k se obtiene reemplazando las 
coordenadas del punto K, en la ecuación del plano es decir: 
 
ak + b0 + c0 + d = 0 de donde k = 
a
d
 ; a  0 
En forma análoga se obtienen: 
 
H (0,h,0) en donde h = - 
b
d ; b  0 
 
L (0,0,l) en donde l = 
c
d
 ; c  0 
Ejemplo nº 3: 
Representar el plano 3x + 2y + z - 6 = 0 
 
Solución : 
Los puntos de intersección con los ejes son: 
 
Con el eje X K(2,0,0) 
Con el eje Y H(0,3,0) 
Con el eje Z L(0,0,6) 
 
Uniendo esos puntos se determinan las trazas. 
 
 El Plano 
 
 
12 
 
4.- Forma segmentaria de la ecuación del plano: 
Sea  un plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 con d ≠ 0. Dividiendo 
ambos miembros por –d resulta 
 
1





z
d
cy
d
bx
d
a 
 
Teniendo en cuenta los valores de k, h y l obtenidos en el párrafo anterior 
resulta: 
 
1
l
z
h
y
k
x (6) 
 
Llamada forma segmentaria de la ecuación del plano. 
 
 
 
 
Ejemplo nº 4 
Representar el plano de ecuación 
6x + 4y - 3z - 12 = 0 , o sea: 1
432



zyx 
 
 
 El Plano 
 
 
13 
 
Solución: 
 
Ejemplo nº 5 
Representar el plano de ecuación: 
 
 2x + 3y - 6 = 0 ; v z , es decir 1
23

yx ; v z 
Solución: 
 
Recordemos que se trata de un plano proyectante sobre el XY, o sea 
perpendicular al plano XY. 
 
 El Plano 
 
 
14 
 
Actividad nº 5: 
 
a) Escribir las ecuaciones de las trazas del ejemplo nº 5. 
b) Representar el plano obtenido en el ejemplo nº 1. 
 
5.- Angulo que forman entre sí dos planos 
 
 Sean )1 01111  dzcybxa 
)2 02222  dzcybxa , dos planos que se intersecan. 
 
 
De la geometría elemental, sabemos que se llama ángulo entre los mismos, al 
ángulo de la sección normal del diedro determinado por ambos planos. Dicha 
sección normal se la obtiene interceptando ambos planos con otro  normal a 
ellos. 
 
 
 
Llamamos con 1r y 2r a las intersecciones de  con 1 y 2 respectivamente. 
Las rectas 1r y 2r determinan los ángulos 1 y 2 . Estos ángulos son los que 
forman entre sí 1 y 2 y son suplementarios, por lo tanto 1 + 2 = 180º 
Consideremos la situación sobre el plano  y llamemos con α al ángulo que 
determinan 1n y 2n ( los vectores normales a 1 y 2 respectivamente). 
 
 El Plano 
 
 
15 
 
 
 
 
 
Puede verificarse sin dificultad que dicho ángulo α es igual a uno de los ángulos 
que forman entre sí los planos. 
En efecto, observando la figura y recordando que la suma de los ángulos 
interiores de un cuadrilátero es 360º. Tenemos. 
 
  + 1 + 90º + 90º = 360º es decir 
  + 1 = 180º , pero como 
 1 + 2 = 180º , será 
 α = 2 
 
Si uno de los vectores normales estuviera orientado en distinto sentido que el 
indicado en el dibujo, resultaría α = 1 como es fácil comprobar. 
 
Resumiendo entonces, el ángulo formado por los planos 1 y 2 viene dado el 
ángulo α de sus vectores normales. 
 
Recordando que el ángulo α puede calcularse con: 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21cos
cbacba
ccbbaa
nn
nxn


 
 
 
 El Plano 
 
 
16 
 
 
5.1. Condición de perpendicularidad entre planos 
Al ser perpendiculares ambos planos 21  y , será 221
  por lo tanto 
2
  
lo que implica cos α = 0, y de la expresión anterior se tiene: 
 
 
 021 nxn ó bien 
 a1 a 2 + b1 b 2 + c 1 c 2 = 0 (7) 
 
 
Siendo esta la condición de perpendicularidad entre los planos 1 y 2 . 
 
Ejemplo nº 6 
 
Dados los planos de ecuaciones 
2x + 3y - z = -2 
-x + 2y + k z = 1 
 
Calcular k de modo que resulten perpendiculares 
 
Solución: 
Aplicamos la condición (7) 
 
2 (-1) + 3 . 2 - k = 0 de donde k = 4 
 
5.2. Condición de paralelismo entre planos 
Si lo planos: 
 
1 ) a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 
2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 son paralelos, sus vectores normales 
 
 
 1n = ( a1 , b1 , c 1 ) 
 
 n 2 = (a 2 , b 2 , c 2 ) serán paralelos 
 
Recordando que los vectores 1n y 2n ,son paralelos, sí y solo sí existe un número 
real k  0, tal que 2n = k 1n , o sea: 
 El Plano 
 
 
17 
 
 
a 2 = ka1 ; b 2 = kb1 ; c 2 = kc1 
 
En el caso en que los coeficientes a 1 ,b1 y c1 son no nulos, estas condiciones son 
equivalentes a: 
 
1
2
1
2
1
2
c
c
b
b
a
a
 (8) 
 
Las expresiones recuadradas son las condiciones de paralelismo buscadas. 
 
 
5.3. Planos coincidentes: 
 
Si para los planos 1 y 2 del párrafo 5.2. se cumple que: 
 
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
 
 
Los planos son coincidentes. 
Esto es, ambas ecuaciones representan el mismo plano, pues toda solución de la 
primer ecuación es también solución de la segunda y recíprocamente. 
 
 
Ejemplo nº 7: 
Encontrar la ecuación del plano  que contiene al punto ( 1 , -2 , 0 ) y es 
paralelo al plano 3x – y + 2z – 4 = 0 
 
 
Solución: 
El plano buscado tiene un vector normal n paralelo al vector ( 3 , -1 , 2 ). En 
particular su ecuación será 3x – y + 2z + d = 0 Debemos determinar el valor de 
d de modo que el punto ( 1 , -2 , 0 ) pertenezca al plano . Resulta entonces 
3 . 1 – (-2) + d = 0  d = -5 Por lo tanto la ecuación de  será: 
 
3x – y + 2z –5 = 0 
 
 
 
 El Plano 
 
 
18 
 
 
Actividad nº 6: 
 
i) Determinar para qué valores de α y β, si existen, los siguientes planos 
son paralelos. 
 
)1 2x + α y + 3z –5 = 0 
 
 )2 β x + 6y – 6z + 2 = 0 
 
ii) Determinar para qué valor de k los siguientes planos son 
perpendiculares 
 
)1 3x – y + 2z – 4 = 0 
 )2 x + ky – 2z + 3 = 0 
 
 
 
6.- Distancia de un punto a un plano: 
Dados un punto P1 ( x1 , y1 , z 1 ) y un plano  por su ecuación 
 
 ) ax + by + cz + d = 0 
 
Se desea deducir una fórmula sencilla que proporcione la distancia entre P 1 y  
en términos de los coeficientes a , b , c y d y las coordenadas de P 1 . 
 
 
 
Recordemos que la distancia del punto P 1 al plano  , es la longitud  ; del 
segmento determinado por P1 y el pie de la perpendicular trazada desde el punto 
al plano. Evidentemente si P1  es 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 1 
 El Plano 
 
 
19 
 
 
 
 
Observando la figura se deduce que si P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto arbitrario 
del plano  , la distancia δ entre P 1 y el plano  resulta igual al módulo de la 
proyección de 10PP sobre n , es decir 
 
δ = 
n
cbaxzzyyxx
n
nxPP
nxPPPPoyn
),,,(),,(
Pr 0101011001010 
 
n
zzcyybxxa )()()( 010101  = 
 
n
czbyaxczbyax )( 000111  
 
 
Como P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto perteneciente al plano  sus coordenadas 
satisfacen su ecuación, por lo que se verifica 
 
 El Plano 
 
 
20 
 ax 0 + by 0 + cz 0 = -d 
 
reemplazando esta expresión en la ecuación anterior, resulta finalmente 
 
 
δ = 
222
111111
cba
dczbyax
n
dczbyax



 (9) 
 
Si se desea obtener la distancia del origen de coordenadas al plano ,entonces P1
0 por lo que: 
 x1 = 0 ; y1 = 0 ; z1 = 0 ; quedando 
 
 
δ = 
n
d
cba
d
cba
d



 222222
 
 
que coincide con el valor anticipado en (5) en el párrafo 2.2. 
 
 
Ejemplo nº 8: 
 
Dado el plano  ) 2x - y + z = 3, hallar la distancia del punto P 1 (-1 , 2 , 3) al 
mismo. 
 
Solución: 
n = (2,-1,1) ; n = 114  = 6 
 
 = 
6
4
6
4
6
33
6
12
6
)1()1(
6
2




 
 
6.1. Distancia entre dos planos paralelos 
Con el resultado obtenido en el punto anterior queda resuelto el problema de 
hallar la distancia entre dos planos paralelos. Bastará calcular la distancia de un 
punto, perteneciente a uno de ellos, al otro plano. 
 
Ejemplo nº 9: 
Sean dos planos 
 1 ) 2x - y + 3z = -1 
 El Plano 
 
 
21 
 2 ) 4x - 2y + 6z = 5 Si son paralelos, calcular la distancia
entre ellos. 
 
Solución: 
Se verifica que 1 // 2 pues 6
3
2
1
4
2



 
 
Consideremos ahora un punto arbitrario de 1 , para ello, fijamos arbitrariamente 
dos coordenadas y calculamos la tercera de modo que satisfaga la ecuación de 1
: P 1 ( 0 , 0 , z 1 ). Reemplazando en la ecuación de 1 resulta 3z1 = -1 de 
donde z1 = 3
1
 . 
Calculamos ahora la distancia de P1 ( 0 , 0 , - ⅓ ) al plano 2 y obtenemos: 
 
142
7
36416
52



 
 
Actividad nº 7: 
 
 Determinar la distancia del punto P1 ( -1 , 2 , 3) al plano 
) x – y + 3z + 2 = 0 
 Encontrar la distancia entre los planos paralelos 
1 ) x – 2y + 3z – 2 = 0 
2 ) –2x + 4y – 6z – 1 = 0 
 
7.- Ecuación del plano que contiene a tres puntos dados: 
 
Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) y P 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) tres puntos no 
alineados. Se quiere encontrar la ecuación del plano  que los contiene. La 
misma será de la forma: 
 
 ) ax + by + cz + d = 0 
 
 
 
 
Necesitamos determinar un vector normal al plano: n = ( a , b , c ). Por ello 
pensemos que n será perpendicular a todo vector contenido en el plano, en 
particular será por ejemplo, 21PPn  y 31PPn  . 
 El Plano 
 
 
22 
 
 
El problema planteado, puede resolverse con el auxilio del producto escalar 
entre vectores. 
 
Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores se puede plantear: 
 
 n x 21PP = 0 
n x 31PP = 0 ; es decir: (10) 
 
 
a ( x 2 - x1 ) + b ( y 2 - y1 ) + c ( z 2 - z1 ) = 0 
 
a ( x 3 - x1 ) + b ( y 3 - y1 ) + c ( z 3 - z1 ) = 0 
 
sistema en donde las incógnitas son a , b y c 
Dando un valor cualquiera a una de ellas, no nulo, se obtienen las otras dos. 
El cálculo de d, es fácil pues conocemos tres puntos que pertenecen al plano. 
 
Ejemplo nº 10: 
Determinar la ecuación del plano que contiene a los puntos. 
 
P1 ( 2 , -2 , 1 ) ; P 2 (-1 , 3 , 2 ) ; P 3 (3 , 1 , -1) 
 
Solución: 
La ecuación será del tipo ax + by + cz + d = 0 
 
Las componentes de 21PP y 31PP son: 
21PP = (-3,5,1) ; 31PP = (1,3,-2) 
 
 
 El Plano 
 
 
23 
Se obtiene el siguiente sistema reemplazando en (10). 
 
 -3a + 5b + c = 0 
 a + 3b - 2c = 0 
 
 
 
Dando un valora c ( no nulo), por ejemplo c = 1, tenemos: 
 
 -3a + 5b = -1 
 a + 3b = 2 
 
Resolviendo el sistema resulta: 
 
a = 
14
13 ; b = 
14
5 
 
Luego un vector normal a nuestro plano es , n = 




 1,
14
5,
14
13 o cualquier otro 
paralelo a él. Elegimos: 
 n = ( 13 , 5 , 14) 
 
 
El plano buscado entonces es: 
 13 x + 5 y + 14 z + d = 0 
 
Para calcular d, como P1 (2 , -2 , 1), pertenece al plano sus coordenadas deben 
satisfacer su ecuación. Luego debe ser 
 
13 . 2 + 5 (-2) + 14 . 1 + d = 0  d = -30 
 
 
y obtenemos la ecuación buscada 
 
13 x + 5y + 14 z – 30 = 0 
 
 
Actividad nº 8: 
Determinar la ecuación del plano  que contiene a los puntos 
 P1 ( 2 , -1 , 2) P 2 (0 , -1 , 2) P 3 (1 , 0 , 3) 
 
 El Plano 
 
 
24 
8.- Intersección de tres planos 
 
Dados los planos de ecuaciones: 
 
 1 ) a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 
2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 
3 ) a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0 
 
Encontrar la intersección de los mismos es, encontrar ( si existe ), el conjunto de 
valores ( x, y, z ) que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones del 
siguiente sistema: 
 a 1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 
 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (11) 
 a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0 
 
Si el sistema (11) tiene al menos una solución se dice compatible y si no tiene 
ninguna se dice incompatible. 
Si el sistema (11) es compatible pueden presentarse dos casos: 
 
I) El sistema tiene solución única vale decir que los tres planos tiene un único 
punto de intersección. 
P 0 es el punto de intersección de 321,  y . 
 
 
 El Plano 
 
 
25 
Actividad nº 9: 
Verificar que el punto de intersección de los siguientes planos es P 0 (-1,1,-1 ). 
1 ) x + y – z – 1 = 0 
2 ) x – y + 2 = 0 
3 ) y + z = 0 
 
Ejemplo Nº11: 
Hallar, si existe, el punto de intersección de los planos de ecuaciones: 
 
7x - y + z = 3 
 y + z = 0 
 z = 5 
 
Solución: 
De la última ecuación del sistema, se tiene z = 5. Reemplazamos en la segunda 
ecuación, obtenemos y = -5. Reemplazamos finalmente esos valores de y, z , en 
la primer ecuación, tenemos 7x – (-5) + 5 = 3, es decir x =-1. Luego el punto de 
intersección de los tres planos dados es el punto P 0 ( -1,-5, 5 ). 
En la Actividad Nº 9, el sistema planteado no está en la forma simple ( forma 
triángular ) que tiene el sistema del ejemplo Nº11. En la unidad correspondiente 
a Sistemas de Ecuaciones Lineales, veremos como se transforma un sistema en 
otro equivalente ( con las mismas soluciones ) de forma triangular. 
 
II) El sistema tiene infinitas solucionesa) La intersección de los tres planos es una recta. 
 
 
 El Plano 
 
 
26 
b) 
 
 
 
Similar al caso anterior pero en este hay dos planos coincidentes, que podemos 
individualizar en el sistema, recordando la condición de coincidencias entre los 
planos 1 y 2 . 
 
c) La intersección de los tres planos es un plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esto ocurre si los tres planos son coincidentes, situación que también podemos 
detectar directamente en el sistema, recordando la condición de coincidencias 
entre planos. 
 
 
 
Si el sistema (11) es incompatible pueden presentarse los siguientes casos: 
 
 
321   
 El Plano 
 
 
27 
a) Los tres planos son paralelos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Dos planos coincidentes y el tercero paralelo a ambos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Los planos se intersecan dos a dos 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2
 
3
 
21   
3
 
 El Plano 
 
 
28 
d) Dos planos son paralelos y el tercero los intercepta a ambos: 
 
 
 
Los casos a), b), d) se individualizan observando los coeficientes de las 
incógnitas, en las ecuaciones del sistema y teniendo en cuenta la condición de 
paralelismo entre planos. 
Las soluciones analíticas de todos estos casos se formalizarán al estudiar la 
Unidad correspondiente a Sistemas de Ecuaciones Lineales. 
 El Plano 
 
 
29 
EL PLANO 
 
Ejercicios: 
 
1.- Decir si los siguientes puntos: A (2 , 1 , 0 ) ; B (2 , -1 , 0 ) ; C (1 , 5 , 1), 
pertenecen o no al plano de ecuación. 
2x – y + 3z = 0. Explicar el resultado. 
 
2.- Escribir la ecuación del plano que contiene al punto P (2 , -1 , 4) y es normal 
al vector n = (-1 , 3 , 2). 
 
3.- 
a) Dado el plano de ecuación –x + 2y + 3z = 6, hallar sus intersecciones con los 
ejes coordenados. Escribir su ecuación en forma segmentaria. Explicar por que 
en este caso existe dicha forma segmentaria. 
 
b)Repetir, si es posible, el ejercicio para el plano de ecuación 2x + 3y – z = 0 
 
4.- Dado el plano del ejercicio 2 calcular la distancia del origen de coordenadas 
al mismo. 
 
5.- Dados los siguientes planos por sus ecuaciones, representar gráficamente 
indicando previamente si ocupan alguna posición particular con respecto al 
sistema de coordenadas. 
 
a) 1
132

zyx ; b) 2x + 3z = 1 y , c) x = 2y z ; d) y = 0 y z 
 
6.- Dados los siguientes pares de planos, decir si son mutuamente paralelos o 
perpendiculares. En caso de que no lo sean, calcular el ángulo que forman entre 
si. 
 
 - x + y + z = 0 2x + 3y – z = 3 
 -3x + 3y + 3z = 4 x – y – z = 0 
 
 
 x + y + z = 1 y + z = 2 
 -x + y + z = -2 -x + z = 1 
 
 
 
a) b) 
c) 
d) 
 El Plano 
 
 
30 
7.- Dado el plano de ecuación x – y + z = 2, hallar: 
a) la distancia del punto P1 (2 , -1 , 3) al mismo. 
b) la distancia al siguiente plano paralelo al dado, 
 2x – 2y + 2z = 1. 
c) la ecuación de un plano perpendicular a él que contenga al punto 
 A(1 , 2 , -2) ¿hay única solución? 
 
8.- Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos A (1 , -2 , 2) ; 
B (-3 , 1 , -2) y que sea perpendicular al plano de ecuación 2x + y – z + 6 = 0. 
 
9.- Hallar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos siguientes: 
 
 P1 (2 , -1 , 1) ; P 2 (4 , 1 , 5) ; P 3 ( 1 , -2 , 3) 
 
 
10.-Hallar el punto de intersección, si es posible, de las siguientes ternas de 
planos: 
 
a) 2x - 3y - 6z = 4 ; y +2z = -1 ; 2z = 4 
b) x + y - z = 0 ; 2x + 2 y -2z = 3 ; x +y = 5 
c) x + y – z = 2 ; 2x +2y - 2z = 4 ; 4x + 4y - 4z = 8 
 
Si no existe un único punto de intersección, explicar por qué. 
 
11.-Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a cada uno de los planos: 
7x – 3y + z – 5 = 0 ; 4x – y – z + 9 = 0, y que contiene además al punto A 
(3 , -2 , -4). 
 
12.- Hallar la ecuación de un plano sabiendo que el pié de la normal trazada 
desde el origen al mismo, es el punto: P 1 (2 , 3 , 1) 
 
13.- Escribir la ecuación de un plano paralelo al eje Y que además contiene a los 
puntos: 
 P1 (1 , 2 , -3) ; P 2 (-2 , 1 , 4) 
 
14.- Escribir la ecuación del plano que contenga el eje X y al punto 
A(4 , -3 , -1). 
 
 
 
 El Plano 
 
 
31 
15.- Escribir la ecuación del plano paralelo al plano coordenado xz y que 
contiene además al punto: P1 (3 , -2 , 1) 
 
16.- Dados los puntos P1 (2 , -1 , 3) ; P 2 (1 , 4 , 2) hallar el plano que contiene 
al punto medio de 21PP y que sea normal a esa dirección. 
 
17.- Dado el plano de la ecuación 5x – y + z = -3 y el punto A (-2 , 5 , 1) 
obtener la ecuación del plano que contiene al punto A y sea paralelo al dado. 
 
 
 El Plano 
 
 
32 
Soluciones de los ejercicios 
 
1) A y B no, C si pues sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano. 
 
2) -x + 3y + 2z – 3 = 0 
 
3) Intersecciones con los ejes K (-6 , 0 ,0 ) H ( 0 , 3 , 0) L (0 , 0 ,2) 
a) Ecuación segmentaria 1
236


zyx se puede escribir de esta forma 
pues d ≠ 0 
 
b) El plano contiene al origen ( d = 0 ). No existe la ecuación segmentaria. 
 
 
4) δ = 
14
3 
 
5) 
 
 
Plano proyectante sobre el 
XZ. 
 El Plano 
 
 
33 
 
Plano proyectante sobre el XY, 
Que contiene al eje Z 
d) Plano XZ 
 El Plano 
 
 
34 
6) a) paralelos 
b) perpendiculares 
c) cos φ = 
3
1 ; 1110 433170 
d) cos φ = 
2
1 ; 060 
 
7) a) δ = 3
3
4
3
4
 
 
 b) δ = 
2
3
12
3
 
 
c) x – z – 3 = 0 no hay única solución 
 
8) x – 12 y – 10z – 5 = 0 
 
9) x – y – 3 = 0 
 
10) a) )2,5,
2
1(0 P ; b) el sistema es incompatible ( dos planos paralelos y al tercero 
los intercepta); c) Sistema compatible con infinitas soluciones ( los tres planos 
son coincidentes ). 
 
11) 4x + 11y + 5z + 30 = 0 
 
12) 2x + 3y + z – 14 = 0 
 
13) 7x + 3z + 2 = 0 ; v y 
 
14) y – 3z = 0 ; v x 
 
15) y = -2 ; v x ; v z 
 
16) 2x – 10y + 2z + 7 = 0 
 
17) 5x – y + z + 14 = 0 
 
 
 
 El Plano 
 
 
35 
Autoevaluación 
1) a) Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto (3 , 2 , 2) y su 
vector normal es n = (2 , 3 , -1) 
 
b) Calcular la distancia del origen al plano obtenido en a). 
 
2) Dibujar los siguientes planos 
 
a) 2x + 3y – 12 = 0 ; v z 
b) 3x + 4y + 2z – 12 = 0 
c) 2x + 3z – 6 = 0 ; v y 
 
3) Analizar si los siguientes pares de planos son paralelos o perpendiculares: 
 
a) 1 ) 2x – 6y + 3z – 2 = 0 2 ) –4x + 12y – 6z + 5 = 0 
b) 1 ) 5x + 3y – 2z + 1 = 0 2 ) –x + 3y + 2z = 0 
 
4) Determinar el valor de α para que el plano x + α y – 2z – 9 = 0 
a) contenga al punto P 0 (3 , 1 , -2) 
b) sea perpendicular al plano 
3x + y + 4z + 1 = 0 
 
5) Calcular la distancia del punto A (1 , 0 , 3) al plano de ecuación 
2x + 4y – 3z + 9 = 0 
 
6) Calcular la distancia entre los planos paralelos 
 3x + 6y – 3z – 4 = 0 
 -x + 2y + z – 1 = 0 
 
7) Encontrar la ecuación del plano que contiene a: 
P1 ( 1 , 1 , 0) P 2 (0 , -1 , 1) P 3 (2 , 1 , -3) 
8) Determinar, si existe, el punto P 0 de intersección de las siguientes ternas 
de planos 
 
a) 2x – y + 2z = 2 ; 2y – z = 4 ; 3z = -12 
b) 4x + 4y + 4z = 0 ; 4x + 4y + 4z = -2 ; 8x + 8y +8z = -4 
 
 El Plano 
 
 
36 
 
Soluciones de la autoevaluación: 
 
1) a) 2x + 3y – z = 10 b) 
14
10 
 
3) a) paralelos 
 b) perpendiculares 
 
4) a) α = 2 
 b) α = 5 
 
5) δ = 
29
2 
 
6) 
18
67 = 
54
7 
 
7) 3x –y + z – 2 = 0 
 
8) a) P 0 ( 5,0,-4 ) 
b) Incompatible. Los dos primeros planos son paralelos y el segundo y el 
tercero son coincidentes.