S07 s1 - Material - Plano

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EL PLANO VECTORIAL
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
¿Cuál es la utilidad de los Planos en ℝ𝟑?
Sirve para determinar, representar y calcular las ecuaciones de los planos en tres
dimensiones.
Se encuentran en el estudio del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, análisis
matemático, calculo, etc.
Se utiliza para hacer estructuras 
paralelas y perpendiculares en el 
espacio.
RECTAS Y PLANOS EN R3
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante genera conceptualmente un plano 
basado en conceptos vectoriales, reconoce el vector normal a un plano y 
determina las posiciones relativas entre rectas que no son paralelas.
Datos/Observaciones
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
RECTAS PLANOS 
EL PLANO
RECTAS Y PLANOS EN R3
• 3 puntos no colineales en el espacio 
generan un plano.
Geométricamente
• 2 vectores no paralelos en el espacio 
generan un plano.
Vectorialmente
1 ECUACIÓN VECTORIAL
Aquella que pasa por un punto 𝑃0 y 2 vectores 
no paralelos 𝑢 y Ԧ𝑣.
2 ECUACION PARAMÉTRICA
A partir del desarrollo de la ecuación vectorial:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡 𝑢1, 𝑢1, 𝑢1 + 𝑟 𝑣1, 𝑣1, 𝑣1
𝑡 ∈ ℝRECTAS Y PLANOS EN R3
3 ECUACIÓN NORMAL
Aquella que pasa por un punto 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
y que tiene como vector normal 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 .
4 ECUACION GENERAL
A partir del desarrollo de la ecuación vectorial:
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0
𝑡 ∈ ℝRECTAS Y PLANOS EN R3
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
Ejemplo. 
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
5 PLANOS PARALELOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛1
𝑛2Τ𝑃1 ∕ 𝑃2 ⟺ 𝑛1 ∕∕ 𝑛2 ⟺ 𝑛1 = 𝜆𝑛2
Τ𝑃1 ∕ 𝑃2 ⟺ Τ𝑛1 ∕ 𝑛2 ⟺ 𝑛1 × 𝑛2 = 0
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales 
son ortogonales.
6 PLANOS PERPENDICULARES
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛1
𝑛2𝑃1 ⊥ 𝑃2⟺ 𝑛1 ⊥ 𝑛2
𝑛1 ⋅ 𝑛2 = 0
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES 
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
LISTO PARA MI EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝑃 = 1,−3, 2 y 𝑄 0, 1, 1 y es 
paralelo a la recta:
𝐿:
𝑥−3
−5
=
𝑦−1
2
= 2 − 𝑧.
2. Dados los puntos 𝑀(3,−1,2) y 𝑅(4,−2,−1), Hallar la ecuación del plano que pasa por 𝑀
y es perpendicular al vector 𝑀𝑅.
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑆(3,4, −5) y es paralelo a los vectores 
Ԧ𝑎 = (3,1, −1) y 𝑏 = (1,−2, −1).
4. Las ecuaciones de las intersecciones del plano 𝑃 con el plano 𝑋𝑌 son 𝑥 − 4𝑦 =
12, 𝑧 = 0; 2𝑦 + 5𝑧 = −6, 𝑥 = 0, respectivamente. Hallar la ecuación de plano 𝑃.
5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑆(2, −1,1) y es perpendicular a los 
plano 𝑃1: 2𝑥 − 𝑧 + 1 = 0 y 𝑃2: 𝑦 = 0.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. La ecuación del plano se puede obtener de:
a. Un punto y el vector normal.
b. Dos vectores directores y un punto.
c. Tres puntos del plano.
2. Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son 
perpendiculares.
3. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son 
paralelos.
Datos/Observaciones
EL PLANO VECTORIAL
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Desaprende tus limitaciones y 
estate listo para aprender.

Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.