S07 s2 - Distancia y angulo entre 2 planos

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PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante aplica el
Paralelismo y Ortogonalidad
entre planos para resolver
problemas de aplicación en
Ingeniería, así como
determina la intersección
entre Planos y el ángulo
Diedro.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
ESPACIO VECTORIAL EN 𝑅𝟑
UTILIDAD
https://www.arqdiseno.com/vtour/Urbano/
Se utiliza en la elaboración de
planos en 3D, en la distribución
de comportamientos de una
residencial.
https://www.arqdiseno.com/vtour/Urbano/
Datos/Observaciones
DISTANCIA 
ENTRE 
PLANOS 
ÁNGULO 
ENTRE 
PLANOS
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
Sea 𝑆 un punto del espacio y 𝑃 un plano. Si 𝑇 es cualquier punto sobre 𝑃, y 𝑛 es
un vector normal 𝑃, entonces la distancia que separa a 𝑆 de 𝑃 es igual a la
componente del vector Ԧ𝑣 = Ԧ𝑆 − 𝑇 sobre la normal 𝑛.
1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒏 𝒗 =
|(𝑺 − 𝑻) ∙ 𝒏|
||𝒏||
2 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
La distancia entre dos planos paralelos:
𝑃1: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷1 = 0
𝑃2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷2 = 0
Es:
𝒅 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 =
|𝑫𝟐 − 𝑫𝟏|
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐
𝒅𝑷𝟏−𝑷𝟐
Hallar la distancia del punto 𝑆(5, −2,3) al plano 𝑃 = { Τ2, −1,6 + 𝑡 1,0,3 + 𝑠 2, −2,3 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ}.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑛 = Ԧ𝑎 × 𝑏 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
1 0 3
2 −2 3
= (6,3, −2)
𝑑 𝑆, 𝑃 =
6, 3, −2 ∙ 3, −1, −3
36 + 9 + 4
=
21
7
𝑑 𝑆, 𝑃 = 3
Un punto sobre 𝑃 es 𝑇(2, −1,6) y dos vectores sobre 𝑃 son Ԧ𝑎 = (1,0,3) y 𝑏 = (2, −2,3).
Un vector que va de 𝑇 a 𝑆 es:
Ԧ𝑣 = 5, −2,3 − 2, −1,6 = (3, −1, −3)
El ángulo 𝜃 entre dichos planos es igual
al ángulo formado por los vectores
normales, es decir:
3 ÁNGULO ENTRE PLANOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝜷 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝒏𝟏. 𝒏𝟐
𝒏𝟏 . 𝒏𝟐
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜷
𝒏𝟐
𝒏𝟏
𝜃
𝜃
∝
𝜃
𝒏𝟏
𝒏𝟐
Si: 𝒏𝟐 tendría sentido opuesto, el
ángulo 𝜃 entre dichos planos es igual al
suplemento del ángulo formado por los
vectores normales entonces:
𝜃 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬
𝒏𝟏. 𝒏𝟐
𝒏𝟏 . 𝒏𝟐
La intersección de dos planos
NO PARALELOS en el
espacio, genera una recta en
el espacio.
OBSERVACIÓN:
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
Dados los planos 𝒫1: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 ; 𝒫2: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0 no 
paralelos que se intersecan en el espacio.
Ejemplo 2.
SOLUCIÓN:
a) Exprese la intersección (la recta resultante) entre los planos 
como un sistema de ecuaciones de ambos planos.
b) Determine el vector director de dicha recta.
c) Determine la ecuación paramétrica de dicha recta.
d) Calcular el ángulo que forman dichos planos al intersectarse
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 1
𝑦 − 4𝑧 = −1
𝑦 = 4𝑧 − 1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 =0
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0a)
ി𝐋:
b) ി𝐋:
∧ 𝑥 − (4𝑧 − 1) − 𝑧 = 0
𝑥 = 5𝑧 − 1
𝑧 = 𝑧
𝒗 = 5, 4, 1
Otra forma de calcular Ԧ𝑣:
𝒏𝟏= 1, −1, −1
𝒏𝟐 = 1, −2, 3
= −5 Ƹ𝒊 − 4 Ƹ𝒋 − 1෡𝒌
𝒏𝟏𝒙 𝒏𝟐 =
Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 ෡𝒌
1 −1 −1
𝟏 −2 3
=
−1 −1
−2 3
Ƹ𝒊 −
1 −1
𝟏 3
Ƹ𝒋 +
1 −1
𝟏 −2
෡𝒌
+ − +
= (−5 , −4,−1)
c)
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =(−1, −1,0) + 𝑡( 5, 4, 1)
ി𝐋:
𝑥 = −1 + 5t 
y = −1 + 4t 
z = td)
𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1
(1, −1, −1). (1, −2, 3)
3. 14
𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1
0
2 21
𝜃 = 90°
𝑃1 y 𝑃2 son ortogonales
Hallar el ángulo diedro que forman los planos:
𝑃1: 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 + 3 = 0 y 𝑃2: 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 5 = 0
Ejemplo 3. 
SOLUCIÓN:
𝑛2 = 2, −1,3
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
4,2, −6 ∙ (2, −1,3)
16 + 4 + 36 4 + 1 + 9
RPTA: 𝜽 = 𝟏𝟏𝟓. 𝟑𝟖°
𝑛1 = 4,2, −6
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
−3
7
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
¿Son Paralelos? Y si son Paralelos ¿coinciden o no?
Ejemplo 4. Dados los Planos∶ 𝒫1: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟏, 𝟐, 𝟏 + 𝒕 𝟑, 𝟑, 𝟏 + 𝒓(𝟑, 𝟐, 𝟐) y 𝒫2: 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟒
Se reconoce la normal de 𝒫2 = 4, −3, −3 luego: las normales son Paralelas, entonces los planos 
son paralelos.
Hallando la normal de𝒫1 𝒏𝟏= 𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐 =
𝒊 𝒋 𝒌
3 3 1
3 2 2
=
4(1) − 3(2) − 3(1) = 4
−5 ≠ 4
Al no pertenecer el punto (1,2,1) al Plano 𝒫2 , 
entonces los Planos no son coincidentes o se 
superponen
Serán coincidentes si el punto (1,2,1) del Plano 𝒫1 pertenece al Plano 𝒫2
4𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 4
SOLUCIÓN:
4𝒊 − 3𝒋 − 3𝒌 = (4, −3, −3)
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sean las rectas
Hallar la ecuación general de un plano que pasa por 𝐴 (−1, −1,0) y es paralelo a las dos rectas.
SOLUCIÓN:
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
= (−14, −35,18)
𝑦 = −4𝑥 ⟹ 𝑥 + 2( −4𝑥) − 𝑧 = 0
−14𝑥 − 14 − 35𝑦 − 35 + 18𝑧 = 0
𝒫: 14𝑥+ 35𝑦− 18𝑧+ 49 = 0RPTA:
𝑳𝟏:
𝑥 −3
−5
=
𝑦 −1
2
, 𝑧 = 3 𝑳𝟐:
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 =0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
4 𝑥 + 𝑦 = 0
𝑳𝟐:
𝑧 = −7𝑥
𝑥 = t
y = −4t 𝑳𝟐:
z = −7 t
𝒗𝟏= −5, 2, 0
𝒗𝟐 = 1, −4, −7
𝒏 = −14 Ƹ𝒊−35 Ƹ𝒋 + 18෡𝒌
𝒏 =
Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 ෡𝒌
−5 2 0
1 −4 −7
=
2 0
−4 −7
Ƹ𝒊 −
−5 0
1 −7
Ƹ𝒋 +
−5 2
1 −4
෡𝒌
+ − +
𝑛 ∙ (𝑃 − 𝑃0) = 0
(−14, −35,18)∙(𝑥 + 1, 𝑦 + 1, 𝑧) = 0
𝒏
𝑳𝟏
𝑳𝟐
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Encuentre la ecuación general del plano que pasa por la intersección de los planos
𝒫1: 𝑥 − 𝑧 = 1 ; 𝒫2: 𝑦 + 2𝑧 = 3 y es perpendicular al plano 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
SOLUCIÓN:
= (3, 3, 3)
𝑦 = 5 −2𝑥 ⟹ (5 −2𝑥) + 2𝑧 = 3
𝒫: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧 − 4 = 0RPTA:
𝑥 − 𝑧 = 1
𝑦 + 2𝑧 = 3
2 𝑥 + 𝑦 = 5
ി𝑳:
𝑧 =𝑥 −1
𝑥 = t
y = 5 −2t𝑳 :
z = −1 + t
𝒗𝟏= 1, −2, 1
𝒏𝟐 = 1, 1, −2
𝒏 = 3 Ƹ𝒊 + 3 Ƹ𝒋 + 3෡𝒌
𝒏 =
Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 ෡𝒌
1 −𝟐 1
1 1 −2
=
−𝟐 1
1 −2
Ƹ𝒊 −
1 1
1 −𝟐
Ƹ𝒋 +
1 −2
1 1
෡𝒌
+ − +
𝑛 ∙ (𝑃 − 𝑃0) = 0
(3, 3, 3)∙(𝑥, 𝑦 − 5, 𝑧 + 1) = 0
2𝑥 − 2𝑧 = 2
𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑷𝟎 = 0, 5, −1
3𝑥 + 3𝑦 − 15 + 3𝑧 + 3 = 0
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 − 12 = 0
𝒏𝟐
ി𝑳
𝒏𝒗𝟏
4. Dadas las rectas: r:
𝑥−1
1
=
𝑦−2
1
=
𝑧−1
2
y s:
𝑥−3
−2
=
𝑦−3
−1
=
𝑧+1
2
P0Q0 = Q0 − P0 = 3, 3, −1 − 1, 2, 1 = 2, 1, −2
𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 2
−2 −1 2
= 4𝑖 − 6𝑗 + 𝑘
P0Q0 . ( Ԧ𝑣1𝑥 Ԧ𝑣2) =
2 1 −2
1 1 2
−2 −1 2
= 0
¿Son Paralelas? Si no los son ¿se cruzan o intersectan? Y si se intersectan, hallar las coordenadas 
del punto de corte.
Como: Ԧ𝑣1𝑥 Ԧ𝑣2 ≠ (0,0,0) los vectores no son paralelos
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN:
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏Vectorial
𝑟: 𝑃 = 1, 2, 1 + 𝑡 1, 1, 2
𝑠: 𝑄 = 3, 3, −1 + 𝑡(−2, −1,2)
Q0 = 3, 3, −1 𝒗𝟐 = −2, −1,2
P0 = 1, 2, 1 𝒗𝟏 = 1, 1, 2
RECTAS Y PLANOS EN R3
Entonces: Las rectas se 
intersectan
Si el Det = 0, las rectas se intersectan
Si el Det ≠ 0, las rectas se cruzan
RECTAS Y PLANOS EN R3
¿Cómo hallamos el punto de intersección de dos rectas que se intersectan?
Dadas las rectas: r:
𝒙−𝟏
𝟏
=
𝒚−𝟐
𝟏
=
𝒛−𝟏
𝟐
y s:
𝒙−𝟑
−𝟐
=
𝒚−𝟑
−𝟏
=
𝒛+𝟏
𝟐
Expresamos la recta s de forma paramétrica:
Para determinar el punto de intersección una ecuación debe estar en Simétrica y la otra
en Paramétrica.
𝟑 − 𝟐𝒕 − 𝟏
𝟏
=
𝟑 − 𝒕 − 𝟐
𝟏
=
−𝟏 + 𝟐𝒕 − 𝟏
𝟐
𝑠: 𝑄 = 3, 3, −1 + 𝑡(−2, −1,2) ⇒ 𝑦 = 3 − 𝑡
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡
Reemplazamos estas variables en la otra recta
𝒕 = 𝟏
Al reemplazar este valor en la ecuación Paramétrica
𝟐 − 𝟐𝒕 = 𝟏 − 𝒕
⇒ 𝑦 = 3 − 1 = 2
𝑥 = 3 − 2 1 = 1
𝑧 = −1 + 2 1 = 1
RPTA: El punto de intersección será: 𝟏, 𝟐, 𝟏
5. Dadas las rectas de ecuación: 𝑟:
𝑥
2
=
𝑦−1
1
=
𝑧−2
2
y 𝑠: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2, 0, 1 + 𝑡(1, 1, −2)
a) ¿Son Paralelas u Ortogonales?
b) De no ser paralelas ¿se cruzan o interceptan?
c) Si se cruzan halle la distancia entre rectas
𝒗𝟏. 𝒗𝟐 = 2,1,2 1,1, −2 = −1 Si: Ԧ𝑣1 . Ԧ𝑣2 = 0, los vectores son ortogonales
RECTAS Y PLANOS EN R3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN:
𝐏𝟎𝐐𝟎 = 𝐐𝟎 − 𝐏𝟎 = 2,0,1 − 0,1,2 =(2, − 1, −1)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏
Vectorial
𝑟: 𝑃 = 0, 1, 2 + 𝑡 2, 1, 2
𝑠: 𝑄 = 2, 0, 1 + 𝑡(1, 1, −2) Q0 = 2, 0, 1 𝒗𝟐 = 1, 1, −2
P0 = 0, 1, 2 𝒗𝟏 = 2, 1, 2
𝐏𝟎𝐐𝟎 , 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 =
Luego las rectas se Cruzan
Si el Det = 0, las rectas se intersectan
Luego los vectores no son ortogonales
Si el Det ≠ 0, las rectas se cruzan
𝑑 𝑳𝟏 ,𝑳𝟐 =
𝐏𝟎𝐐𝟎 , 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐
𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐
Los vectores Ԧ𝑣1 y Ԧ𝑣2no son paralelos ya que no cumplen que: Ԧ𝑣1 = 𝜆 Ԧ𝑣2
𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐 =
𝒊 𝒋 𝒌
2 1 2
1 1 −2
= −4𝒊 + 6𝒋 + 𝒌
𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐 = −4, 6, 1
𝒗𝟏𝒙 𝒗𝟐 = (−4)
2+62 + 12
𝑑 𝑳𝟏 ,𝑳𝟐 =
−15
53
Entonces: 𝑑 𝑳𝟏 ,𝑳𝟐 =
𝟏𝟓 𝟓𝟑
𝟓𝟑
2 −1 −1
2 1 2
1 1 −2
=−15
= 53
LISTO PARA MI EJERCICIOS RETOS
Experiencia Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIO RETO
1. Hallar la distancia del punto 𝑆(4, −1,5) al plano 𝑃{ 1, −3,1 + 𝑡 2,1, −2 + 𝑠(1,3,4)}.
2. Hallar la distancia entre los planos paralelos dados
𝑃1: 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 9 = 0, 𝑃2: 4𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 21 = 0
3. Dos caras de un cubo están en los planos 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 y 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 5 = 0. Hallar 
el volumen de este cubo.
4. Obtener la ecuación vectorial de la recta de intersección de los pares de los planos cuyas 
ecuaciones son: 𝑃1: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0, 𝑃2: 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0.
5. Obtener el ángulo formado por planos cuyas ecuaciones son: 𝑃1: 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0, 𝑃2: 4𝑥
− 2𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0.
Tiempo : 10 min
CIERRE
Mencione la ecuación matemática para calcular el 
ángulo entre dos planos
Mencione la ecuación matemática para calcular la 
distancia entre dos planos paralelos 
Sera cierto o falsedad: La recta que se forma al 
interceptar dos planos tiene como vector director 
al producto vectorial de los vectores normales de 
los planos
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. El ángulo que forman dos planos es el mismo ángulo 
que forman sus vectores normales.
2. La distancia entre dos planos es el mismo que la 
distancia entre un punto del plano hacia el otro.
3. La recta que se forma al interceptar dos planos tiene 
como vector director al producto vectorial de los 
vectores normales de los planos
Datos/Observaciones
PLANOS PARALELOS Y 
PERPENDICULARES
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Planos paralelos.
𝑃1 ∕∕ 𝑃2 ⟹ 𝑛1 = 𝜆𝑛2
2. Planos perpendiculares:
𝑆𝑖 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⟹ 𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0
3. Ángulo entre planos:
𝛽 = cos−1
𝑛1 ∙𝑛2
𝑛1 𝑛2
𝜃 = 180 − 𝛽
Excelente tu
participación
Las dificultades me
hacen más fuerte.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARATI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.