Álgebra Lineal Eduardo Espinoza Ramos

Vista previa del material en texto

Eduardo Espinoza Ramos 
G r a d u a d o y T i t u l a d o e n M a t e m á t i c a P u r a .
C a t e d r á t i c o d e l a s p r i n c i p a l e s 
U n i v e r s i d a d e s d e ¡ a C a p i t a l
RAS PUBLICADAS
X ..—X x „ —x.
\ w .=
Eduardo E/pinozci Romo/
limo - Perú
ALGEBRA 
LINEAL
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PERU
IMPRESO EN EL PERU 
25 - 08 - 2006
2da. Edición
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún 
método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas 
de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin 
expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
RUC : N ° 10070440607
Ley del libro : N° 28086
Ley de Derecho del Autor : N ° 13714
Registro Comercial : N ° 10716
Escritura Pública : N° 4484
p r ó l o g o
El estudio del A lgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado 
nada más a los estudiantes de M atem ática y Física, aquellos que necesitaban 
conocim ientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística 
multivariada.
En el A lgebra Lineal se estudia ahora en m uchas disciplinas debido a la 
invención de las com putadoras de alta velocidad y el aum ento general de las 
aplicaciones de la m atem ática en áreas que por tradición no son técnicas.
En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los 
planos en R * , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto 
Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios 
Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a 
Transform aciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, D im ensión, 
Operaciones, M atriz Asociada a una Transform ación y en los Capítulos V y VI, se trata 
del producto interno, el proceso de GRAM - SCHM ITD y las Form as Bilineales.
La Lectura del presente trabajo requiere del conocim iento de un curso de 
m atem ática básica así com o el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en 
esta obra esta con la m ayor claridad posible.
Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas 
sugerencias.
♦ Lic. Juan Bem uy Barros ♦ D octor Pedro Contreras Chamorro.
♦ Lic. A ntonio Calderón. ♦ Lic. Guillerm o M ás Azahuanche.
Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis 
publicaciones
ED U A R D O E SP IN O Z A R A M O S
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos.
R O N A L D , JO R G E y D IA N A
Q ue Dios ilum ine sus cam inos para que puedan ser G uías de sus Prójimo
INDICE
CAPÍTULO I
1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL ____________ _________
1.1 Sistem a de Coordenada Rectangular en el Espacio.
1.2 D istancia entre Dos Puntos.
1.3 División de un Segmento según una Razón dada.
1.4 Á ngulos D irectores, Cosenos Directores y N úm eros Directores.
1.5 Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determ inados 
por Dos de sus Puntos.
1.6 Relación entre los Cosenos D irectores de una Recta.
A. LA RECTA
1.7 La Recta en el Espacio Tridimensional.
1.8 Ecuación Vectorial de la Recta.
1.9 Ecuación Param étrica de la Recta en el Espacio.
1.10 Ecuación Simétrica de la Recta.
1.11 Rectas Paralelas y Ortogonales.
1.12 Á ngulo entre Dos Rectas.
1.13 D istancia M ínim a entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).
1.14 Teorema.
1.15 Teorema.
1.16 Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta.
1.17 Ejercicios Desarrollados
1
2
3
5
7
8
8
9
9
10
11
12
14
16
16
18
19
21
22
I» EL PLANO 38
I.IS Definición. 38
1.19 Ecuación Vectorial del Plano. 38
1.20 Ecuaciones Param étricas del Plano. 40
1.21 Ecuación General del Plano. 40
1.22 Planos Paralelos y Ortogonales. 41
1.23 Intersección de Planos. 43
1.24 Ecuación B iplanar de la Recta. 43
1.25 Intersección entre Recta y Plano. 45
1.26 Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta. 46
1.27 Familia de Planos. 48
1.28 Ecuaciones Incom pletas del Plano. 49
1.29 Distancia de un Punto a un Plano 5 1
1.30 Ángulo entre Recta y P lano 53
1.31 Proyección O rtogonal de un Punto sobre un Plano, 54
3.32 Proyección O rtogonal de una Recta sobre un Plano, 55
1.33 D istancia M ínim a entre un Plano y una Recta que no está contenida
en el Plano, 58
1.34 Á ngulo entre dos Planos, 59
1.35 Ejercicios Desarrollados. 59
1.36 Ejercicios Propuestos. 75
CAPÍTULO II
104 
104
2.2. Propiedades de dos Conjuntos 104
2.3. Relación Binaria 104
2. CONCEPTOS BÁSICOS
2.1. Producto de dos Conjuntos
2.4. A plicación de X en Y 104
2.5. Clases de Funciones 105
2 .6 . Conjunto Imagen y Conjunto Im agen Inversa 105
2.7. Com posición de Funciones 106
2 .8 . Leyes de Com posición Interna y Extem a 107
2.9. Cam po o Cuerpo 107
CAPÍTULO III
3. ESPACIOS VECTORIALES 111
3.1. Definición 111
3.2. E jem plos de Espacios Vectoriales 113
3.3. Propiedades de los Espacios Vectoriales 117
3.4. Espacio Vectorial de Funciones 119
3.5. Espacio Vectorial de las M atrices mxn 121
3.6. Ejercicios Propuestos 127
3.7. Sub - espacios Vectoriales 130
3.8. O peraciones con Funciones 153
3.9. C om binaciones Lineales 168
3.10. Conjunto de Com binaciones Lineales 171
3.11. Sub - espacio Generado 173
3.12. Independencia y D ependencia Lineal 178
3.13. Sistem a de Generadores 184
3.14. Base de un Espacio Vectorial 186
3.15. Dim ensión de un Espacio Vectorial 191
3.16. D im ensión de la sum a 195
3.17. Dim ensión de la suma Directa 199
3.18. Teorem a 208
3.19. Ejercicios Propuestos 213
i CAPÍTU LO IV
TRANSFORMACIONES LINEALES 229
4. i . Definición 229
4.2. Interpretación G eom étrica 230
4.3. Teorem a 230
4.4. Proposición 237
4.5. Clasificación de las Transform aciones Lineales 239
4.6. Proposición 242
4.7. Núcleo o Im agen de una Transform ación Lineal 247
4.8. Teorema 252
4.9. D im ensiones del Núcleo y de la Im agen 255
4.10. Teorem a Fundam ental de las Transform aciones Lineales 260
4.11. Coordenadas o Com ponentes de un V ector 266
4.12. M atriz A sociada a una Transform aciones Lineales 268
4.13. A lgebra de las Transform aciones Lineales 275
4.14. Com posición de las Transform aciones Lineales 278
4.15. Transform aciones Lineales Inversibles 282
4.16. Teorem a 287
4.17. Isom orfism o Inducido por una Transform ación Lineal 289
4.18. Cambio de Base y Semejanza de M atrices 296
4.19. Ejercicios Propuestos 303
CAPITULO V
5. PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD 321
5.1. Definición 321
5.2. Definición 323
5.3. Teorem a 327
5.4. O rtogonalidad - Conjunto O rtogonal - Conjunto O rtonorm al 329
3335.5. Teorem a
333
5.6. Corolario
5.7. Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT 335
5.8. Corolario
5.9. Definición
5.10. Teorem a
5.11. Ejercicios Propuestos
6.
CAPÍTULO VI
6.1. D efinición
6.2. V alores y V ectores Propios de una Matriz
6.3. Definición
6.4. Teorem a
6.5. Polinomio Característico de una M atriz
6.6. M atrices Semejantes y Diagonalización
6.7. Teorem a
6.8. M atriz Diagonable
6.9. Teorem a
6.10. Teorem a de Cayley - Hamilton
6.11. Ejercicios Propuestos
6.12. Form as Bilineales
6.13 M atriz Bilineal Sim étrica
6.14. Form a Bilineal Simétrica
6.15. Formas Cuadraticas
6.16. Ejercicios Propuestos
BIBLIOGRAFÍA
338
339 
339 
342
VALORES Y VECTORES PROPIOs] 343
343
344
345 
350 
353
355
356 
356 
358 
364 
369
379
380
381 
383 
385 
387
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional !
CAPÍTULO!
1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 
TRIDIMENSIONAL___________________________
P R E -R E Q U IS IT O S .- Para la com prensión adecuada de este tem a de rectas y 
planos en R3, se requiere de los conocim ientos previos 
de:
Sistema de coordenadas en el plano.
Solución de sistem as de ecuaciones.
Elem entos de geom etría del espacio.
O B JE T IV O S .- Establecer los fundam entos necesarios para el trazado de 
planos y rectas en el espacio, respecto a un sistem a de 
coordenadas. Al term inar este capítulo el alumno debe ser capaz de:
Describir el sistema coordenado en el espacio.
Situar puntos en el sistem a coordenado del espacio.
R ecordar las distintas formas de la ecuación general de un plano.
Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geom étricam ente.
Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geom étricas.
Recordar que dos ecuaciones lineales sim ultáneas representan una recta 
en el espacio. (Sistem a Com patible).
Representar gráficam ente una recta en el espacio.
Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones 
geom étricas dadas.
2 Eduardo Espinoza Ramos
1.1. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL 
_____ ESPACIO.-
Considerem os tres planos m utuam ente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se 
cortan en un mismo punto O. En la figura identificam os los siguientes 
elem entos geom étricos.
I k u
Pyz
a) E JE S C O O R D E N A D O S .- Los ejes generalm ente son identificados por
las letras X, Y, Z y se habla 
frecuentem ente del eje X , del eje Y y del 
eje Z, donde:
El eje X es la recta determ inada por la 
intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje
Y es la recta determ inada por la
intersección de los planos Pxy y Pyz y el 
eje Z es la recta determ inada por la
intersección de los plano Pxz y Pyz.
La dirección positiva se indica por m edio de una flecha. Los ejes
coordenados tom ados de dos en dos determ inan tres planos, llamados
planos coordenados.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 3
b) PLA N O S C O O R D E N A D O S .- 
Z
/
I 
I
L
_qo,oJz)_
/ i
El plano coordenado XY que denotarem os 
por Pxy, es determ inado por las rectas: eje 
X y el eje Y.
|P(x,y,4) 
I I
------ 1------- 7
Y A(x,0 ,0 )
El Plano coordenado XZ que denotarem os 
por Pxz, es determ inado por las rectas: eje 
X y el eje Z.
/ B(0>y'0) ^ e i plano coordenado YZ que denotarem os
por Pyz, es determ inado por las rectas: eje
Y y el eje Z.
Los planos coordenados dividen al espacio tridim ensional en 8 sub- 
espacios llamados ociantes.
C onsiderem os un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridim ensional, 
a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a 
cada uno de los ejes coordenados.
Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, 
B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea 
C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.
1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
T E O R E M A .- La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xi ,y, ,z ,) y p2 
(x2 ,y2 ,z2) del espacio tridim ensional está dado por:
d ( P \ > P 2 ) - J ( x 2 _ * l ) ‘ + (^2 ~ y ¡ y + (z 2 - Z 1 ) '
D em ostración
Eduardo Espinoza Ramos
Sea a = p^p^ un vector de origen pi y extrem o 
P2, entonces:
—> ----->
a = P]Pl = p 2 ~ p¡ = (x2 - x , , y 2 ~ y , , z 2 - z ¡ )
—>
por lo tanto la longitud del vector a es:
d(P\ -Pi ) =11 a II =yj(x2 - *] f + (y2 ” J i f + (z2 - z,)2 
E jem plo .- H allar la distancia entre los puntos r>, (-1,-2,2) y p2 (2 ,4 ,-1)
Solución
Sea a = p¡p 2 = p 2 - p ¡ = (2 ,4 ,-1 ) - ( - 1 ,-2 ,2 ) = (3 ,6 ,-3 )
d ( P u P 2 ) = II a II = V 3 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 = \ /9 + 36 + 9 = >/54 
d ( p ], p 2) = 3y[6
E jem plo .- D em ostrar que los puntos p, (-2,4,-3), p2 (4,-3,-2) y p3 (-3,-2,4 ) 
son los vértices de un triángulo equilátero.
Solución
Los puntos pi , p2 y p3 son los vértices de un triángulo equilátero si: 
d(pi,p2) = d(p],p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias:
^ (P , > P ,) = V ( 4 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ) ) 2 = V 3 6 + 4 9 + 1 = / 8 6 
^ ( p , , p 3 ) = V ( - 3 - ( - 2 ) ) 2 i+ ( - 2 - 4 ) 2 + ( 4 - ( - 3 ) ) 2 = V I+ 3 6 + 4 9 = V s6
Rectas Planos en el Espacio Tridimensional 5
¿ ( P 2 >P3) = -\/(—3 ~ 4 ) 2 + (—2 — (—3) ) 2 + ( 4 - ( - 2 ) ) 2 * V49 + l + 36 = >/86
Com o las distancias son iguales, entonces los puntos p, , p2 y p 3 son los 
vértices de un triángulo equilátero.
1.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN 
DADA- _____________________________________________
T E O R E M A .- Si los puntos p, (x, ,y, ,z ,) y p2 (x2 ,y2 ,z2) son los extrem os 
de un segm ento dirigido p ,p 2 ; las coordenadas de un
punto p(x,y,z) que divide al segmento p tp 2 en la Razón r = p jp + PP2 es:
jfj + rx2 z l + rz2y 1 + r y 2
* = — -------- > y = ~~, ’ z =
1 + r 1 + r________ 1 + r
, r * - \
Demostración
Del gráfico se tiene: p ,p / / p p , = > 3 r e R
P 2^ 2 ’^ 2 ’Z 2 ) tal que: P |P = r p P 2 ’ de donde
p - p t = r ( p 2 - p ) al despejar p se tiene:
P ( x ,y ,z ) + r p , ) , ahora reem plazam os por
1 + r
sus coordenadas respectivas:
(x , y , z ) = y ^ r ( ( * i <yi >z i ) + r (x 2 ’y 2 ’z 2))
( x , y , z ) = ( ^ Y por igualdad se tiene: 
1+ r 1+ r 1+ r
x i+ rx2 y x+ry2
x = --------, y = — r r — - z =1+ r 1+ r 1 + r
r & — 1
Eduardo Espinoza Ramos
E jem plo.- H allar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento 
cuyos extrem os son (5,-1,7) y (-3,3,1)
Solución
P i<5 --1’7 ) P ,(-3 3,1)
-------------- 1--------— ------------»----------------- --------- -------------- -
A B
Calculando las coordenadas del punto A se tiene:
p,A P |A l
r “ - — - T----- = ~ entonces r = 'A. por lo tanto se tiene:
A p: 2p ,A 2
7 - ' 4 I3) 1 , 5 7 , 15
— ■‘ i - * - — * * ? ? 7 >
2 2 2
Ahora calculem os las coordenadas del punto B donde: r = = = • = — = 2
B p2 B p2
entonces r = 2
_ 5 + 2 (-3 ) 1 -1 + 2(3) 5 7 + 2 m Q 1 5 9
C O R O L A R IO .- Si p(x,y,z) es el punto medio del segm ento p , p , ,
P¡P
entonces r - ■=■ = 1. Luego las coordenadas del punto 
PP2
medio son:
.V, + .V2 r*
+
i _ z | + z 2
2
> y -
2
, z —
2
E jem plo .- Los puntos extrem os de un segm ento son p, (-2 ,1 ,4) y p3 (3,2,-1).
Hallar la coordenadas del punto medio del segm ento P|P->
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 1
Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces:
x ¡ + x 2 - 2 + 3 1 y i + y 2 _ 1 + 2 _ 3
2 ~ 2 ~ l ' y 2 2 2 2 2 2
1 3 3 
entonces p( — )
2 2 2
1.4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y 
NÚMEROS DIRECTORES.- ___________________________
—>
Considerem os el vector a = ( a , , a 2 , a 3) en el espacio tridim ensional y los 
ángulos a , P y y form ados por los ejes coordenadas positivos y el vector 
-» -> -> -* -* -* ~*n r
a = ( a , ,a 2,<J3) ; es decir: a = ¿ ( i , a ) , p = ¿ ( j , a ) , y = ¿ ( k , a ) . Si a I I L 
—►
(recta) donde a = ( a , , a 2 , a 3) direm os que:
i) ai, a2, a3 son los núm eros directores de la recta L.
ii) Los ángulos a , P y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son 
formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta, 
respectivamente.
8 Eduardo Espinoza Ramos
Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: 
0 o < a , p, y < 180°
iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a , 
eos p, eos y, se denom inan cosenos directores.
1.5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE 
UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS 
PUNTOS.-
puntos pi (x y, ,z,) y p 2 (x2 ,y2 .z2).
s í d (p ,, p 2> =!! P 1P 2 II y a ’ P y y son los
ángulos directores de la recta L, entonces se
• » x 2 ~ x ¡ tiene: c o s a = — ---------
¿(P i ,p2) 
eos p = -7^— — , eos y - —
¿(Pl>P2) ¿ (P 1.P2 )
1.6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE 
UNA RECTA.-
T E O R E M A .- La sum a de los cuadrados de los cosenos directores de una 
recta L es igual a 1, es decir: eos2 a + eos2 p + eos2 y = 1
D em ostración
Aplicando la parte 2.5. se tiene:
x-y x 1 y'y y 1 ^2 ~
c o s a = — — , e o sp ------- :— , e o s / = — -— , de donde
Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 9
d = - x x)2 + {y 2 - j , ) 2 + ( z 2 - z , ) 2 , por lo tanto:
cos a + eos" p + eos y =
(jc2- x , ) 2 ( y 2- y \ Y ( z 2- z l y d 2
cos a + eos P + eos y = l
O B S E R V A C IÓ N .- Si a = (a,, a2, a3) es un vector dirección de la recta L,
donde || a || = -y/a2 + a j + a] ,entonces:
c o s a =
1 . a a1
P = /C( j , a ) => c o sP =
-> —>
Il a II l | a | |
-> -¥
, j - * a 2
-¥ -¥
Il a II l | a | |
—► —►
k . a . fl3
—►
Il a II l | a | |
a, = a c o s a
a 2 = || a II cos P
a} =|l a I le o s /
a = (|| a | |c o s a , || a ||c o s /? , || a | |c o s y )= || a || (eos a , eos/?, eos y ) .
A . L A R E C T A .-
1.7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.-
Dado un punto p 0(x0 , y 0 , z 0 ) y un vector a = ( a , , a 2,a3) no nulo, 
llamaremos recta que pasa por p 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) paralela al vector 
—>
a = ( a | , a 2, a 3) al conjunto.
L = { p e R i / p = p 0 +t a, t e R\
IO Eduardo Espinoza Ramos
t .8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.-
Z '
\ l
Sea L la recta que pasa por el punto 
Po(x o<yo’zo) paralelo al vector 
—►
a = >^2,a 3)
sP(x.y.z) Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualquiera de la 
ka = | a x)a 2, a 3) recta ^ entonces el vector p Qp es paralelo al
L = (P = p 0 + 1 a /t e R }
f o = (xo-yo'zo) vector a , es decir: p 0p / l a o 3 t e R tal
— —► —►
que: poP = t a > de donde p - p 0 = t a
entonces p = f o + 1 a , por lo tanto la recta L 
es dado por:
ecuación vectorial de la recta L. 
E jem plo .- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto
—►
(4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3)
Solución
—>
Como la ecuación vectorial de la recta es: L - { p 0 +t a/1 s R }
reem plazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + f ( l , - l ,3 ) / / e R\
O B S E R V A C IÓ N .- Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo
una recta que pasa por ellos.
E jem plo .- H allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P , ( l ,3 ,5 ) y P 2 (4,2,7).
Solución
La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x +t p ]p 2 /1 e R }, 
donde p {p 2 = (3,—1,2) ¿ = {(1,3,5)+ /(3 ,—1 , 2 ) / / e /?}
Rectas y P lanos en el Espa ció Tridimensional 11
O B S E R V A C IÓ N , Considerem os la recta L = { p 0 + t a / t e R }. Un punto 
P de R3 pertenece a la recta L si p = p 0 +t a para
algún t en R, es deci r:
P e L <=> P = Pp + 1 a para algún t real
1.9. ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL 
ESPACIO.-
Considerem os la ecuaci ón vectorial de lanecta L: L = {Pn + t a / t e R )
De la observación anteri o r se tiene: | P e l o P = P0 + t a , para algún t e R
de donde, al reem plazar j ror las coordenadas de P, P0 y de las com ponentes del 
—►
vector a se tiene: (x,y,;z) = (x0, y0, Zq) + 1 (a ,, a2, a3), es decir:
L :
\ x = x 0 +a¡t
>' = >’o + «2í . * e R
■z = z 0 + a 3t
Las cuales se conocen con el nom bre de ecuaciones param étricas de la recta L.
Ejemplo.- H allar las ecuaciones param étricas de la recta L que pasa por el 
punto (5,3,2), paralela a! vector a = (4,1,-1)
Solución
Las ecuaciones param étricas de la recta L son: L :
x = 5 + 4/
y = 3 + t , t e R 
2 = 2 - /
12 Eduardo Espinoza Ramos
O B S E R V A C IÓ N .- Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por 
el par de puntos P, (x, ,y , „ z ,) y P2(J:2>>'2’Z2) es(á 
dado por:
L :
JC = X1 + ( * 2 - X , )í
3' = > 'l+ (>’2 - > ' |V , t € R
2 = Z, + ( Z 2 - Z , ) /
E jem plo .- H allar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa 
por los puntos Pj (1,2,1) y P2 < 5 ,-l,l)
Solución
D e acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones param étricas de la 
recta L son:
L:
x = l + ( 5 - l )/
>' = 2 + ( - l - 2 ) / , t e R esd ec ir: L :
z = 1 + ( 1- 1)/
x = 1 + 4/
y = 2 - 3 / , t € R 
z = 1 + 0 /
1.10. ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA.-
Considerem os las ecuaciones param étricas de la recta L.
L :
x = x 0 + a ,f 
y = y 0 + a 2t , U R 
z = z 0 + a 3i
Suponiendo que a¡ * 0 , a2 * 0 , a%* 0 , despejando el parám etro t de cada
X - X Q y - y 0 z ~ z o 
ecuación tenem os: t = --------- = ---------- = --------- , de donde por igualdad
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional
13
Que se denom ina ecuación sim étrica de la recta L.
E jem p lo .- Encontrar las ecuaciones sim étricas de la recta paralela al
vector a = ( 4 , -3 ,2 ) q u e pasa por e l punto (2 ,5,-1)
Solución
x - 2 v — 5 z + 1
x - x o = se tie n e L , ------- = ^ — = —
com o L. - á - 3 2
a¡ a 2 a 3
O B S E R V AC IÓ N .-
© Si a3 = 0, la ecuación s i m é t r i c a de la recta L se escribe en la forma
x - x 0 y - y o ______
L: --------- = A o
© Si a, = 0 a a3 = 0 . La ecuación sim étrica de la recta L se escribe en la
forma:
L: x = x0 a z - z o
E jem plo .- H allar la ecuación sim étrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1)
paralela al vector a = ( 2 ,0 ,1)
Solución
x - x0 y - y 0 _ ecuación sim étrica de la recta L y como
com o L: - -
= 0 , la ecuación de esta recta es L.
x xl = 1 3 - A y = y Q , ahora 
a-.“ 3
X + l Z - 1 _ j
reem plazam os por los datos se tiene. L. |
14
Eduardo Espinoza Ramos
jygC TAS PARALELAS Y O R T O C O M i rv
Las relaciones de paralelism o y ortogonalidad entre dos rectas se da 
com parando sus vectores direccionales.
Considerem os las ecuaciones vectoriales de dos rectas.
—y
L\ = { p 0 + t í i / t e R } y l 2 = { q 0 + A b / Á e R }
U recia L, y la recta L , son paralelas (L, // L ,) s, y sólo si, sus vcctores 
direccionales son paralelo, es decir: I I IL, <=> a*H~b
O B S E R V A C IÓ N .-
® Si L, y L , son paralelas (L, // L2), entonces L, = L, ó L , n L 2 = <¡>.
© Si L, y L2 no son paralelas (L, K U ) , entonces L, n L2 = <¡> (las rectas 
se cruzan) ó L, n L, consta de un solo punto.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 15
E jem plo .- La recta L, = {(1,2,-1) + /(5 - 2 , - 3 ) / t e R\ es paralela a la recta 
L2 = {(1,-3,2) + Á ( - 10,4,6) / Á e R} puesto que el vector dirección
de L , , a = (5,-2,-3) es paralelo al vector b = (-10,4,6) que es el vector 
dirección de la recta L 2 ■
E jem plo .- H allar la ecuación de la recta L que intercepta en ángulo 
recto a la recta L, = {(1,2,3) + 1(2,1 ,-1 )/ t s R J y que pasa por el 
punto A (2 ,0 ,l).
Solución
1
(2t - 1, 2 + 1, 2 - 1 ) . (2,1,-1) = 0 r=> 4 t - 2 + 2 + t - 2 + t = 0 : = > / = -
-> 1 7 5 1
por lo tanto A P = (— —, —, —) = —(—1,7,5).
3 3 3 3
Luego L = {(2,0,1) + A.(-1,7,5) / k e R¡
16 Eduardo Espinoza Ramos
1.12. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.-
Considerem os las ecuaciones de dos rectas 
L \={ P o + ‘ a / t e R } y L2 = { q Q+ t b / 1 e R )
Un ángulo entre las rectas L, y L 2 se define com o el
—>
ángulo formado por sus vectores direccionales a y 
—> —> —> 
b , es decir: ¿ ( L , , L2) = a , b ) = # , y es dado pol­
la fórmula.
eo s# ■ — — — , 0 < 0 < k
E jem plo .- Encuéntrese un ángulo form ado por las rectas
£, = {(1,3,-2) + í( 3 ,- 6 ,9 ) / / e /?} y = {(2,1,7) + ¿ ( 1 , -3 ,4 ) / /l e /?} 
Solución
Como 6' = ¿ :(¿ ], ¿ 2) = ^ ( a - * ) donde a = ( 3 , - 6 ,9 ) , /? = (l,-3 ,4 ) entonces 
a . b (3, —6, 9).(1, —3,4) 3 + 18 + 36 57
eos tí = ------------— ---------- P=.............. = -------- ==--- = ---- = 7
¡ i r n n í i ¡ 6 V 5 T
eos 0 = 0.99587 de donde 0 = arccos (0.99587)
1.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS 
QUE SE CRUZAN).-_______________________
Si ={ p 0 + t a / t e R } y L2- { q 0 + A h / A e R } son dos rectas no paralelas 
(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas L¡ y L2 
denotarem os por d ( L }, L 2) y es definido como el segmento perpendicular- 
común a am bas rectas.
Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 17
Si las rectas L- y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que 
contienen a las rectas L| y L 2 respectivam ente.
Si d es la distancia entre los planos P, y P 2 donde N es la norm al al plano P 2; 
—> —> —> 
por lo tanto TV es ortogonal a los vectores a y b entonces N = a x b
—>
A hora considerem os el vector unitario en la dirección de la norm al N ; 
HN = ------- y com o 6 = ¿ ( / / v - entonces
\ V N \ \
j u K . A C u N . A C 
c o s # = — — ------------- = ——--------, de donde M n . A C =4\ A C \\ eos O (1)
IIIIII ¿C || II AC || ;
por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:
d = || A C || co s# ... (2)
de donde al com parar ( 1 ) y (2 ) se tiene: d (L[, L2) — | fXN . A C |
18 Eduardo Espinoza Ramos
1.14. TEOREMA. -
Sean Lx- { p Q+t a i t e. R \ y L2 ={ <y0 + A b i A e R } dos rectas no paralelas 
(rectas que se cruzan).
Dem uestre que la distancia m ínim a entre L| y L2 está dado por:
D em ostración
Presentarem os en un gráfico, en forma 
intuitiva a Ir- dos rectas que se cruzan sin 
2 interceptarse y sm ser paralelas del gráfico 
observam os que la distancia m ínim a entre 
las rectas L| y L-, es: “ La longitud del
vector proyección de sobre a v b , lo
cual es expresado en form a m atem ática por:
( a x b ) | | , de donde d { L M
I (a v b) ||
E jem plo .- Calcule la distancia perpendicular entré las dos rectas
-v - 1 y — 2 1
oblicuas dadas por las ecuaciones L,:-------= :...... . = ------ , y
5 3 2
x + 2 y + 1 z - 3
L2:
-3
Solución
Escribiendo las rectas dadas en form a vectorial se tiene:
= { (1 ,2 -1 ) + 1(5,3,2) i t g R \ y = {(- 
distancia entre L; y L? es dado por:
,3) + / ( 4 ,2 ,-3 ) / A e R¡ , la
Herías y Planos en el Espacio Tridimensional 19
d ( L\ , ¿ 2 ) —^ 5 ^ , donde: p0 (1 ,2 ,-1 ) , q0 (-2 ,-l,3 ) =(-3,-3,4)
| ( a * 6)1
adem ás a = (5 ,3 ,2 ), b =(4,2,■-3), entonces:
a x b =
i j k. 
5 3 2
4 2 - 3
= ( -1 3 ,2 3 ,-2 ) => | |a x ¿ | |= V 7 0 2
Po% . a x b = 3 9 - 6 9 - 8 = - 3 8 , por lo tanto:
, , , r | p Qqo . a x b \ _ [—38| _ 38
( A ’ 2 ) = " ^ 0 2 m|| ( a jc o ) |1
O B S E R V A C IÓ N .- Si las rectas L x y L 2 son paralelas, entonces 
d ( L ], L 1) = d ( P , L 2 ) , donde P es un punto cualquiera 
de la recta Z.¡.
1.15. TEOREMA.-
D em ostrar que la distancia del punto P a la recta / .¡ { Pq + 1 a ! t 6 R ¡es dado 
por:
d ( p , L ) = (ul l A ^ l ñ l a if - ( P o P - z Y
D em ostración
Hacem os un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo 
A P0P se tiene:
Eduardo Espinoza Ramos
p
\ p p\ ror
d(P,L)
A 1 0K L
0 - ¿ ( p Qp , a ) => e o s9 = -. P— }
II PoP\\\\ a
además sen 0 - ~ P '
Wp o p W
de donde d ( P , L ) =|| ~p^p || sen B
d (^ - ¿ ) - l l PoP\\ sen-9=\\ p 0p \ \ 2 ( 1 - e o s 2 Ñ)
2 n ___ (PoP-a )" , „ — >„2 (, a )2i PoP\\ ( 1 -
I PoP\\2\\ a II2
-) HI P o P II
= II A)/7 INI a II2 ~(Pi ,P-a )2 l/W>ll2| | a ||2 -iPoP-a)2
E jem plo.- Hallar ¡a distancia del punto P (3 ,l,-2 ) a la recta 
x + \ y +2 z + l
L r
Solución
Escribimos la recta en forma vectorial: L = {(-1,-2 , - í ) + t( 1, 1, 1) / 1 s R¡
La d(p,L) es dada por: d ( p , L ) = ̂ a I H P o /? - 3 )-
donde p0 (-1.-2.-1) y p (3 ,l-2 ) entonces p 0p = (4 ,3 ,- l) ,a = (1, 1, 1),
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 21
d(p,L) =
J l/W » l? l|a ||-(PoP-*)2 v/26(3)-36 _ Í42
= £ ~ U
:VÍ4
1.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE 
UNA RECTA.-__________________________________________
—>
Considerem os una recta ! ,= { p ü + 1 a / 1 e R } y un punto p, que no pertenece a 
la recta L.
Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de
seala recta L, al cual denotarem os p r o y rL de tal m anera que el vector A P 
ortogonal a la recta L.
Observando el gráfico se tiene:
P0A = p r o y Pf de donde A - P 0 = p r o y Pf
a a
A = P0 + p r o y Pf , Ósea:
a
.-. A = pr oy ’¿ = p {) + p r o y ™ p
a
E jem plo .- Hallar la proyección ortogonal del punto P (2 ,-1,3) só b re la 
recta L = {(0.-7,2) + 1 (3,5,2) / 1 e R}
Solución
A - Po + proy1"p , dondep Qp = (2,6,1)
a
a = (3,5,2) => a = V 38
(2,6,1).(3,5,2)
A = (0 ,-7 ,2 ) + -
38
.(3,5,2)
i i Eduardo Espinozu Rumos
6 + 3 0 + 2
■I (0 ,-7 ,2 )+ .(3,5,2) entonces A = (0,-7,2) + (3.5.2) = (3 ,-2,4)
38
■ A (3,-2,4)
1.17. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
H allar ia ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,-2) y es
,. , , x + 1 v + 2 z +1
peipendicular y corta a la recta L: ------ = --------= —
I 1 1
Solución
Escribiendo en forma vectorial a la recta L = {(-1 ,-2, -1) + t (1,1,1) / 1 e R}
La recta pedida pasa por A (3 ,l,-2 ) cuya ecuación es:
¿i = {(3,1,-2) + A ( a , b , c ) / A e R\
com o L ± L¡ => (1,1,1) (a,b,c) = 0 => a + b + c = 0
a + b + c = 0
Sea p e L a L, entonces p e L a p e L, de donde
Si p e L =í> p (-l + 1, -2 + t, -1 + t ) , p e L, => p(3 + l a , 1 + Xb, -2 + Xc),
entonces: (-1 + 1, -2 + 1, -1 + 1) = (3 + /.a, 1 + A.b, -2 4 Ác) de donde:
-5
— 1 + / — 3+ Áü 
- 2 + t = \ + M 
[ -1 + í = - 2 + i c
a - c
A = -
b - a
a - c b - a
entonces c = 5b - 4a ...(2)
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 23
de (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c) = (2b, b.-3b) = b (2 ,l ,-3) 
por lo tanto la recta pedida es: L = {(3,1,-2) + X (2,1 ,-3) / X e R<
( ? ) H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3.4) y es perpendicular
.v + 2 y - 3 z + 2 
a cada una de las rectas L ]: ------- =
! -1 
x - 3 2 y - 7 3 -z_
1 2 -3
Solución
A las ecuaciones dadas escribirem os en form a vectorial
L, = {(-2,3,-2) + t (2,-1,5) / t e R ¡, y L2 = {(3,7/2,3) + l (1,1,3) / ^ e R}.
Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir:
L = {(3,-3,4) + p (a,b,c) / p e R}
com o L J_ L | , L2 entonces (a,b,c) 1 (2,-1,5),(1,1,3) entonces
í(2 ,-l,5 .(a ,¿> ,c ) = 0 Í 2 a - ¿ + 5c = 0
j ( l , l ,3 ) . ( a ,¿ ,c ) = 0 (a + ¿ + 3c = 0
3a a a 3a a
de donde c = - — , b = — , ( a ,b , c ) = (a , — , - — ) = —(8 ,1 -3 )
8 8 8 8 8
.-. L = {(3,-3,4) + 1 (8 ,1,-3) / 1 e R}
© H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (-l,2 ,-3) es perpendicular
-> x - 1 y + 1 z — 3
al vector a = (6 ,-2,-3) y se corta con la recta L , : -------= ------- = -------
3 2 - 5
Solución
24 Eduardo Espinoza Ramos
©
Escribiendo a la recta
x - 1 y +
-i • en form a vectorial
3 2
se tiene:
L = {(1,-1,3) + t(3 ,2 ,-5 ) / t e R}
Sea p e L j A L = > p e L i A P £ L .
Si p e L t p (l + 3 t, -1 + 2t, 3 - 5t) para 
algún t e R
com o b - M P = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6)
—> ~► —+ —►
adem ás a X 6 = = > a .¿ = 0 => (6 ,-2 ,-3 ).(3 t + 2 , 2 t - 3 , -5 t +6)=0
6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0 => t = 0, b = (2 .-3 ,6 )
por lo tanto: L = {(-l,2 ,-3 ) + 1 (2,-3,6) / t e R}
Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta 
L = {(1,-1,1) +1( 1,1,0) / t e RJ tal que Z ( A B , A C ) = 60°
Solución
Sea C e L => C (1 + t , -1 + 1, 1)
—► —► —̂ —>
A B . A C =11A B mi A C || eos 6 0 " , donde
—> —̂
AB = (0 ,-3 ,3 ), A C = ( t - 2 , / - 2 ,0 )
*11 AB ||= 9 + 9 = 3 2 4 9 + 9
\\AC\\= 2 ( t - 2 ) 2 = 2 t ~ 2
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 25
—► —̂ —y —>
Com o A B . A C =|| A B \\\\AC || c o s6 0 ° , reem plazando:
6 - 3 / = 3>/2. j 2 \ t - 2 \ — 11 — 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 com o t < 2
2
entonces C(1 + 1, -1 + t, 1), para t < 2.
© U na recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra
—̂
recta pasa por el punto Q (2 ,l,0 ) y es paralela al vector b = (3,8,13), Dem ostrar 
que las dos rectas se cortan y determ inar su punto de intersección.
Solución
Sean L, = {(1,1,1) + t ( l , 2 ,3 ) / t e R} y L2 = {(2,1,0)+k (3,8,13) / X e R}.
Las rectas L| y L2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P () e L t a L2 como
Po e L 1 a L2 Po e L ¡ a Pq e L2
Si Po e L| => Po (1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )
P0 e L2 =i> P0 (2 + 3A., 1 + U , 13^)
com o P0 es punto com ún a L¡ y L2 
entonces: (1 + t, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8A., 13A.)
1 + / = 2 + 3/i
* 1 + 2 / = 1+ SA resolviendo el sistem a se tiene t=4, >.= 1 
1 + 3/ = 13a
L1 Luego el punto de intersección es P0 (5 ,9 ,13)
@ Dadas las rectas L ,= {(3,1,0) + t (1 ,0 ,1 )/1 e R} y L2={( 1,1,1)+*. (2 ,l,0 )/> .eR }, 
Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, adem ás 
hallar ésta distancia.
26 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
- . _x
3 b = (2 ,1 ,0 ) 
Q
Sea A e L i => A (3 + t, 1, t), Be L2
^2
—>
B( 1 +2A , 1 +A , 1), A B = B - A = ( 2 A - t - Z A, 1 - / ) 
a ± A B => a . A B = 0 ,(1 ,0 ,1 ).(2A-t-2,A, 1 -t)=0, J
I
T = ( 1 ,0 ,1 )
L,
A
—> —> —> —>
1 de donde 2A - 2t - 1 = 0 ... ( 1)
b ±AB=> b . A B = 0 => (2,1,0).(2A - 1 - 2, A, 1 - 1) = 0 => 5A - 2t - 4 = 0 ... (2) 
Í 2 A ~ 2 r - l = 0
form ando el sistem a de ( 1) y (2 ) se tiene: i
¡ 5 / Í ~ 2 / - 4 = 0
resolviendo el sistema se tiene t = —, >1 = 1
2
~ , A + B 13 3 3
com o Q es punto equidistante de A y B entonces Q(------- ) = Q(------------ )
2 4 2 4
T J' • • ^La distancia mínima d = — d ( A , B ) = -----
2 4
( ? ) Dadas las tres rectas L, = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R}
L2 = {(2,2,0) + A.(1 ,-1 ,1 )/ á. e R ¡.
L3 = {(0,3,-2) + r (5 ,0 ,2 )/ r € R¡
Hallar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L ,, L2, L3 en M, N
—► —>
y P respectivam ente de tal m anera que M N = NP.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 27
M e L, = {(1,1,2) + t (1 ,2 ,0 )/ t e R} => M (1 + t, 1 + 2t, 2)
N e L2 = {(2 ,2 ,0)+ > .(1 ,-1 ,1 )/ A e R} => N (2 + A, 2 - A, A)
P s L , = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R} => P (5r, 3, -2 + 2r)
—̂ —y ^
com o M N = N P entonces se tiene: M N = N - M =(A - 1+ 1, -A. - 2 t+ 1, A. - 2)
N P = P - N = (5r - A - 2, 1 + A, 2r - A - 2), de donde
(A-t+1, -A-2t+l, A-2)=(5r-A-2, 1+A, 2r-A-2), por igualdad de vectores se tiene:
A ~ t + l = 5 r - A ~ 2 
- A - 2 t +1 = 1 + A 
A - 2 = 2 r - A - 2
5 r - 2 A + t = 3 ...(1 )
2 A + 2 t = 0 . ..(2 ) 
2 r - 2 A = 0 ...(3 )
de (2) y (3) se tiene A = - 1 , r = A ahora reem plazam os en la ecuación (1).
7 1 3 , ,15
r =T¡ ' L u e g o M (- —. - 2 , 2 ), P ( y , 3 ,-1 )
L = { ( - ^ . - 2 , 2 ) + / ( 8 ,5 , - l ) / í e /? }
28 Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las 
rectas L, = {(5,0,-1) + 1 (1,1,1) / 1 eR } , y L2 = {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R¡
Solución
B e L2 = {(-1,2,2!) + X (-2 ,1 ,0) I X e R} => B (-2X - l . X + 2 , 2 ) 
com o los punto P, A, B son colineales, entonces.
—> —► —> —>
P A / / A B =>3 r e R tal que PA = r A B de donde A - P = r(B - A)
que al reem plazar por sus coordenadas se tiene:
( t - 14, t , t - 1) = r(-2X - 1 - 6 , J t - t + 2, -t + 3)
/ - 1 4 = - 2 r A - r / - 6 / - ...(1) 
t = Z r - r t + 2r ...(2 )
t - \ = - r t + 3r ...(3)
por igualdad de vectores se tiene:
3r + l r_1 , , mde la ecuación (3) y (2) se tiene: t ---------- , A = ------- de la ecuación (1)
r + l r
(1 + r) t + 2rX + 6 r = 14 reem plazando t y X se tiene:
3r + 1 + 2(r - 1) + 6r = 14 => r =
15
1
11
t =
28
13
4
Á = — 
15
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 29
luego a = P A = (t - 14, t, t - 1) para / = — , a = ( - —- ! , — )
13 13 13 13
.-. L = {(19,0,0) + t (-154, 2 8 ,1 5 ) / 1 e R}
® Encuentre el punto de intersección de las rectas: L ,= {-1,7,17)+ t(-l,2 ,3 )/teR } 
x - 7 y z
y L2 : ------- = - = —
4 1 - 5
Solución
Escribiendo la ecuación L2 en forma vectorial. L2 = {(7,0,0)+X(4,l,-5)/A.e R} 
Sea p e L] a L2 «entonces p ¡e L| a p e L2 .
Si p e Li => p (- l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a p e L2 entonces p (7 + 4/1, X, -
5X)
com o p e Li a L2 =» (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3 t) ==(7 + 4X, X, -5X)
- l - / = 7 + 4 /t
7 + 2 t = k entonces t = - 4 , X = -1. Luego: p ( 3 , - l ,5 )
.17 + 3/ = - 5 A
D adas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3),
, x - \ y + 2 z - 3 r x - l 3 - z x - 1 y + 2 z - 3
L i : — ; ¿ 2:— = —— A y = - 2 , L i :—— = 1------ = --------.
2 2 1 3 -A 2 1 2
Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y forma
ángulos iguales con las rectas dadas.
Solución
Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. L, ={(1,-2,3)+ t(2 ,2 ,l) / t e R ¡, 
L2= {(1,3,-2) + A. (3 ,0 ,4 ) /A. e R} y L3 = {(1,-2,3) + r (2,1,2) / r e R}
Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4,2,6) es decir:
Eduardo Espinoza Ramos
1 I(-4,2,6)+ t(a,b,c) / te R } , com o 8 { L i,L )= ¿ (L2, L ) = ¿ (L3,L) entonces:
„ (a ,b, c) .( 2,2,1) 2« + 2¿ + c
eo s# = — = = = = = =. ... (1)
3 v a +b + c 3 v a + ¿ ~ + c
(a,b, c) , ( 3,0,4) 3a + 4c
eos <9 = 2 = _ . . . (2)
5 v a + 6 + c sVtf + & + c
„ (a ,6 ,c ) .(2 ,l ,2 ) 2 a + b + 2cco s 0 = = ... (3)
3 \ a + ¿> + c 3y a +b + c
de (1) y (2) se tiene: a + 10b - 7c = 0
de (2) y (3) se tiene: a + 5b - 2c = 0
de (1) y (3) se tiene: b = c
com o b = c entonces a = -3c, L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R}
L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R}
Encontrar la ecuación de ia recta que pasa por el puístiV p(7,-2,9) y es
x - 2 y z + 3 x + 4 y - 2 z
perpendicular a las rectas L , :--------= — = -------- , y :-------- = -------- = — .
1 2 - 2 3 2 5 - 2
Solución
—► —►
Los vectores direcciones de L¡ y L2 son a = (2,-2.3), ¿>= (2,5,-2)
respectivam ente.
Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta
—> —> —►
pedida L = {(7,-2,9) + t e / te R } , pero com o L JL L¡ , L2 entonces c .L a ,
—>
b entonces:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 31
c = a x b =
1 J
2 -2
2 5
■ (-11 ,10 ,14 ).
Por lo tanto: L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}
H allar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las 
rectas L, = {(3,3,4) + 1 (2,2,3) / t e R} , L2 = {(1,6,-1) + k (-1,2,0) / 1 e R}.
Solución
Sean A e L | => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t), 
B e L2 => B (1 - \ , 6 + 2 k , - \ )
A . 1-,
U *
B 1 h L2
L
com o A,B son puntos sobre la recta L 
entonces el vector dirección de la recta L es
a = A B = B - A de donde se tiene: 
a = (-2 - 2t - A., 3 + 2X - 2t, -5 - 3t) como L _L L, , L2 entonces:
a .(2 ,2 ,3 ) = 0 
a . ( - 1, 2 ,0 ) = 0
-1 7 / + 2A = 13
- 2 t + 5/1 = - 8
resolviendo el sistema se tiene t= - 1, X--2,
por lo tanto los puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A - (-2,-1,2). 
Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es:
L = {(1,1,1) + 1 (-2,-1,2) / t e R }
Determ inar una recta L tal que con las rectas L, = { (2 ,l ,4 )+ t( l ,l ,0 ) /te R} 
y L2 = {(2+ d , 1 + a , 3 + a ) / a e R} determ inan un triángulo de área 5u2.
Solución
32 Eduardo Espinoza Ramos
Sea p e L | a L2 => p e Li a p e L2 ]
Si p e L | => p(2 + t, 1 + 1, 4) 
p e L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a )
com o p e L] a L2 , entonces:
( 2 + t, 1 + t, 4) = (2 + a , 1 + a , 3 + a )
de donde: \ l + t - \ + a al resolver el sistema se tiene que: t = a = l 
4 = 3 + a
por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tom em os en t cercano a p así com o i 
t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4),
adem ás B € Li => B(2 + a , 1 + a , 3 + a ) entonces se tiene:
—> —> —> —►
a = A B = B - A = ( a - 2, a - 2, a - 1) por otra parte b = A P - P- A=(-1,-1,0) 1
j —> —> —;■/ —> 
además el área A = —1| a x b ||= 5 de donde || a x b ||=10 entonces | 
*
a 1 - 2 a - 49 = 0 de donde se tiene: a , = 1 - S i / I , a 2 - 1 + S-Jl por lo tanto | 
las rectas pedidas son: L = {(4 ,3 ,4)+ f ( - l + 5-</2, - I + 5V 2 , 5 y ¡ 2 ) / t e R )
L = {(4,3,4) + / ( - l - 5 > / 2 , - 1 - 5 V I , - 5 - J l ) / 1 e /?}
Í 4) Sea A ( l ,l ,2 ) un punto y supongam os que la recta L tiene por ecuaciones 
param étricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R, encontrar un punto B 
en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular.
Solución
[ 2 + / = 2 + ar
Kretas .v Planos en el Espacio Tridimensional 33
Sea L = {(4,5,3) + t ( - l , 3 , l ) / t e R}
b = P0A = A - P 0 = (-3 ,-4 ,-1 )
h a . b -*•
PoB - p r o y ~ ~ a
P0B =
(—1,3,1). (—3,—4 ,-1 ) 
11
.(-1 ,3 ,1)
3 - 1 2 - 1 10 10 30 10
P R = --------------= — (-1,3,1) = (— ,— ,— )
0 11 11 11 11 11
10 30 10 10 30 10
K B = B - P 0 =( — IH 4 + 7 7 .5 - — , 3 - — )
11 11 11 11 11 11
54 25 23 
.. « ( — ,— ,— ) 
11 11 11
D eterm inar los ángulos entre una recta L paralela al vector a -(1 ,1 ,1 ) y los 
ejes coordenadas.
Solución
Sea L = {P0 +t a /< € /? } , donde—>
a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y 
|| a ]| = ,entonces:
a, 1 1 .
eos a = — — = - 7= => a = arccos( - j = )
, „ 7 1, sÍ3 v3
Eduardo Espinoza Ramos
n a -) 1 „ , 1 -eos/? = — — = —= => p = arccos(-7=-)
ni» ^
eos y = a 3 _ 1
41
y = arccos( -~ĵ )
Hallar la longitud del m enor segm ento horizontal (paralelo al plano X Y ) que 
ú n e las rectas = {(1,2,0)+ í( 1 ,2 ,1 )/1 e /?} y = {(°*°.0) + /í( l, 1,1)/>1 e /?}
S olución
£, = { ( l ,2 ,0 )+ /( l ,2 , l) / /e /? }
¿2 = {(0.0,0) + ¿ ( l . U ) / *}
com o A B I ! d plano XY entonces X = t. 
Luego A ( l + t , 2 + 2 t , t) y B (t, t, t)
d=\\ AB ||= yjl + (t + 2)2 + 0 de donde / ( / ) = \ t 2 +4t +5
> ? = - 2 número critico.
t+ 2
/ ' ( 0 = ~ - = o
+ 4í + 5
¿ = n i « ¡|= V i + o + o = i => ¿ = 1
Dadas las rectas £, = {(1,—2,5) + /(2 ,3 ,—4 ) / f e /?}
L2 = {(-2,1,2) + >1(0,1,2) / A e fl}. H allar la ecuación de la perpendicular com ún.
S olucióü
Las rectas L ( y L2 no son paralelas, es decir L | X L2.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 35
Ahora verem os si 3 p e L , a L2 ^ p e L | a p e L¡.
Si p e Li => p (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4 t ) , p e L2 => p (-2, 1 + X, 2 + 2X) 
(1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + X, 2 + 2X) de donde
l + 2 í = - 2 
- 2 + 3/ = 1 + i => i 
5 - 4 / = 2 + 2 A
2
15
2
13
A = — 
2
por lo tanto las rectas L t y L2 son rectas que se cruzan.
a =
i i *
2 3 - 4
0 1 2
= 10 i - 4 j + 2 k
L = {(1 ,-2 ,5)+ t (1 0 ,-4 ,2 ) / t e R} ; V = {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / X e R}
18) Determ inar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneam ente una partícula 
desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L = {(0, 1 + /., -/.) / l e R ¡ para que lo
alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = 4 ^ u / seg.
Solución
Sea B e L => B(0, 1+ X, -X) para algún
X e R. adem ás e = vt donde e = d(A ,B) para 
t = 2 seg. V = 4 l u , e = 2-\/3
d ( A , B ) = ^ 4 + ( A - ] ) 2 + ( - A - 3 ) 2 = l 4 l 
de donde X2 + 2X + 1 = 0 => X = -1
36 Eduardo Espinoza Ramos
Luego B (0,0 ,1) entonces está dado por el vector AB - B - A = ( - 2 , - 2 , - 2 )
•. AB = ( - 2 - 2 - 2 )
( Í^ ) Determ inar la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de AB y corta 
bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,Q),
B(0,0,-2), R(3,3,3), S (-1,3,3).
Solución
El punto medio del segmento AB es M (l,2 , -1), y 
observando el gráfico este problem a tiene dos 
soluciones.
La ecuación de la recta L\ que pasa por R y S es:
L | = {(-1,3,3) + t (1,0,0) / t e R}
Sea N el punto de intersección de L con L¡ es 
decir:
Si N e L | => N (-l + t, 3, 3) pasa algún t e R Definim os 
b = M N = N - M = (t - 2 ,1,4), c o m o 6 0 °= ¿C (L ,L |)= ¿ ( a , b ) entonces:
eos 60° =
a . b
a IIII b I
; donde a = (1 ,0 ,0 ) y b = (t - 2, 1 ,4 )
eo s60° = “ 2 , 1,4 ) - 1 J ' - 2
+ 1 + 16 vV -2r + 17
y J ( t - 2 ) 2 +\ + \6 = 2 ( 1 - 2 ) => (/ — 2 )2 +17 = 4 ( / - 2 ) 2
Mecías y Planos en el Espacio Tridimensional 37
4)3 ( / - 2 ) 2 = 17 => ¡ = 2 ± J y =* í, = (± J y ’1’
Luego las soluciones al problem a son:
I = { ( l , 2 , - l ) + A ( ^ y , X 4 ) / A e / ? } ; L '={ (1 ,2 ,-1 ) + r ( - ^ y , K 4 ) / r e R }
@ Dados los vértices de un triángulo A (3 ,- l ,- l) , B (l,2 ,-7 ) y C (-5 ,14,-3). Hallar 
las ecuaciones sim étricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
Solución
Tom em os los vectores unitarios u y v en las 
direcciones de BA y B C , respectivam ente 
donde BA = ( 2 , - 3 ,6 ) , BC = (-6 ,1 2 ,4 )
-» BA 1 , , - „ BC \ ,
u = ------------------------------------ = - ( 2 , - 3 , 6) y v = - = - ( - 3 ,6 ,2 )
|| BA || 7 II SC II
entonces sea b = « + v el vector dirección de la bisectriz B D es decir:
¿ _ l ( _ i 3 8 ) = _ i ( l , - 3 , - 8 ) . Luego los núm eros directores de la bisectriz 
7 7
1)D son 1,-3, -8 . Si B (l,2 ,-7 ) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones 
x - 1 y - 2 : + l
sim étricas son: L : -
1 - 3 - 8
38 Eduardo Espinoza Ramos
__EL PLANO.-
1.18. DEF1NICIÓN.-
Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Si existe un punto
3
Po(x0,yo,z0) de R y dos vectores no paralelos a = (a{,a2,a^) y
—>
b - (¿ | ,¿)2 , ¿ 3 ) de R3 de tal m anera que:
P = < P ( x , y , z ) e R / P ( x , y , z ) = P0(x0 , y 0 , z 0) + t a +A b, t ,A e R
8.19. ECUACIÓN VECTORIAL PEL PI Oh
z -
/ / Po r T iT /
/
/
t------------ ---------------- »
p = p 0 +t a + A b , luego
Considerem os un plano P que pasa por el 
punto po(xo,yo..zo) y que es paralelo a los
—>
vectores a = ( a 1,a 2,a 3) y b = (b1,b2 ,b3) . 
Sea p e P entonces existen t, X e R tai
-----------> —> —>
que: p 0p = t a + A h , de donde
—► —►
p - p 0 - 1 a + A b entonces:
-» ”1 
P = {p0 + t a + A b / t tA e R]
Q ue es la ecuación vectorial del plano P
E jem plo . H allar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3,4,-5) y es
—► —>
paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b = (1 .-2,1).
S olución
Com o la ecuación del plano es P = {p0 +t a + A b¡ t ,A e R} donde
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 39
p 0= M (3,4,-5) y a = (3 ,1 ,-1 ), b = (1 ,-2,1), por lo tanto al reem plazar se tiene: 
P = {(3,4,-5) + 1 (3,1,-1) + X (l,- 2 ,1 ) /U e R)
O B S E R V A C IÓ N .-
Q l^ De la ecuación vectorial del plano P = {p0 + 1 a + A b/1, A e R) se obtiene 
la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano:
N = a x b
\ 2 j Si N es una normal al plano P = {/q + / a + A a / t , A e R} y si pi, P2 e P 
entonces N es ortogonal a P i P 2 - Pi ~ P\
ortogonal a TV entonces p e P.
N
40 Eduardo Espinoza Ramos
Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuación 
de! plano es: P: N . ( p - p 0) = 0
Es la ecuación del plano que pasa por p0 y cuya norm al es N
| l ^ ECUACIONES PARAMÉTRICASDEL PLA N oJ
Considerem os el plano. P = {P0 + t a + À b l t , X e R)
—► —►
Si p e P entonces p = p0 +t a + A b para t, k e R, reem plazando por sus
respectivas com ponentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Z o ) + t ( a i , a2, a¡)+ b.2, b 3)
de donde por igualdad se tiene:
X = x0 + a¡t + b\A 
y = y0+a2t + b2Á 
z = z0 + a ^ + bìÀ
t , À, £ R
Que son las ecuaciones param étricas del piano P.
1,21. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.-
Sea P el plano que pasa por el punto 
p 0(x0 , j 0 , z 0 ) cuyo vector normal es:
—̂
N = (A,B,C). Si p e P entonces: 
p 0p l N , de donde p 0p . N = 0 entonces 
_ >
N - ( p - p 0 ) = 0. A hora reem plazando por 
sus componentes:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 41
(A ,B ,C).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - Zo) = 0
Ax t By + Cz + (-A x0 - By0 - Czo) = 0, de donde P: A x + By + C z + D = 0 
Que es !a ecuación general del plano P.
E jem plo .- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con
—>
vector normal A" =(2,3,4).
Solución
—►
La ecuación del plano es dado por P : N .((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,
P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0, P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0 
.'. P: 2x + 3y + 4z - 12 = 0
1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-
Considerem os los planos: Pj : A\X + B^y + C¡z+ D¡ = 0
P 2: A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 , donde = ( A ¡ , B¡ , C , ) y N 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) 
son sus normales, respectivam ente, entonces:
—>
i) El plano P] es paralelo al plano P 2 (P i // P 2) si y solo si sus norm ales N \
—>
y N 2 son paralelas, es decir:
P , /7 P j » N i U N i
42 Eduardo Espinoza Ramos
Si A''i U N 2 => 3 r e R tal que N \ = t N 2 , lo que quiere decir que los 
coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser 
proporcionales, o sea que debe cumplirse:
A \ c \ _
A ¡ Zr' T 1 ~C~2 ~ r
E jem plo .- Los planos P¡: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x + lOy - 14z + 5 = 0
3 5 - 7 1
son paralelos porque: — = — = ------= — = r
6 10 -1 4 2
Si los planos Pi y P2 son paralelos puede ocurrir que:P ( = P 2 ó Pi n P 2 = <|>, 
es decir:
P,//P, o P, = P, ó P, n P, = (|>
ii) El plano P¡ es ortogonal al plano P2 (Pi -L P2) si y solo si sus norm ales
—> —>
N ] y N 2 son ortogonales, es decir:
P |_ L P 2 • » Ny 1 N 2
Si TVi -L N 2 => N ¡ . N 2 = 0 => Ai A2 + 82 + Ci C2 = 0, por lo
tanto
P, i . P2 <=> A , A2 + B i B2 + C i C2 = 0
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 43
E jem plo .- El plano P i: 4x - y+2z= 7 es ortogonal al plano P 2: x+ 6y + z = 16 
porque N \ . N 2 — 0. En efecto com o A^i= (4,-1,2), N 2= (1,6,1), se 
tiene: N \ . N 2 = (4,-1,2).( 1,6,1) = 4 -6+ 2= 0 .
1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.-
Considerem os los planos: P ,: Atx + B^y + C ^ - t D , = 0 y
P2: A2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 . Si el plano P¡ no es paralelo al plano P 2 
(P] X P 2) entonces la intersección de Pi y P 2 nos da una recta L, es decir:
L24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.-
A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denom ina 
ecuación biplanar de la recta y se expresa en la form a siguiente:
j A xx + Bxy + C,z + Z), =* 0 
1Á2x + B 2y + C2z + D 2 = 0
La ecuación biplanar de la recta se expresa en form a vectorial, param étrica y
—>
simétrica. El vector dirección a de la recta se determ ina en la forma siguiente:
44 Eduardo Espinoza Ramos
a = N \ x N 2 , donde N \ y N 2 son las 
norm ales de los planos P, y P 2
respectivamente:
a = N t x N 2 =
i j k
A¡ B , C,
A-, B-, C-,
*(0,0,0)
El punto p 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) por donde pasa la recta se determ ina resolviendo el
sistema de ecuaciones de los planos P , y P 2.
E jem plo .- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección
de los planos P t : 3x + y - 2z = 5 ; P 2 : x + 2y + z + 5 = 0.
Solución
—>
Calculando el vector dirección a de la recta L.
a =
i J 
3 1 
1 2
= (5, -5 ,5 ) = 5(1,-1,1)
ahora calculam os un punto de la recta L, para esto resolvem os el sistem a de 
ecuaciones.
\ 3 x + y - 2 z = 5 í 5x + 5_y = -5
entonces 1 , sim plificando
[x + 2 y + z + 5 = 0 U + ̂ = - l
ahora dam os un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejem plo para 
x = 0, y = - l , z = -3 entonces pu (0,-1,-3).
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional
Luego la ecuación de la recta L en form a vectorial es:
L = {(0,-1,-3) + 1 (1 ,-1,1) / 1 e R}
Otra form a de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de la 
variables en función de la tercera variable y para esto se elim ina una de las 
variables del sistema.
[ 3x + y - 2z = 5
\ entonces x + y = - l de donde y = - l - x
[x + 2 y + z = - 5
ahora se tom a cualquiera de las ecuaciones.
x + 2y + z = -5 => x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x
com o (x,y,z) e L => (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x)
(x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l , - l , l )
Luego: L = {(0,-1,-3) + 1 (1 ,1 ,1 ) / 1 e R}
1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.-
Considerem os la ecuación general de un plano: 
P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación
—►
vectorial de la recta L = {p0 + 1 a / 1 e /?} .
Si L y P no son paralelos entonces al 
intersectarse nos da un punto Q, es decir:
L n P = { Q } .
Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones 
de la recta L y el plano P.
46 Eduardo Espinoza Ramos
x + 2 z — 4
-1
E jem plo .- H allar el punto de intersección de la recta L: 
y el plano P: 2x + 3y - z + 11 = 0 .
Solución
Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) / 1 e R} 
com o L X P o 3 p tal que p e L n P. S i p e L n P entonces p e L n p e P
corno p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún t e R. 
además p e P o 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 o t = -3 
Luego: p (-11, 3, -2).
íO iT PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO 
______ PERPENDICULAR A UNA RECTA.-
Considerem os 1a ecuación general del plano P: Ax + B y + Cz + D = 0,
—>
donde N = (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de la recta 
—► —►
L ~ {Po +t a l t e R} donde a es el vector dirección.
—►
La recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal 
al vector normal N es decir: L / / P o a 1 N
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 47
Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida 
en el plano P ó que la intersección es el <|>, es decir:
Si ¿ / /P o ¿ c: P ó L n P = ^
L a recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es 
paralelo al vector normal N de P, es decir: L 1 P <=> a // N
E jem plo .- Dem ostrar que la recta L - {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es 
paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0
Solución
a = (3,-4,4) 
------------».
N=(4,-3,-6)
Para dem ostrar que la recta L es paralelo al 
plano P debe de cum plirse que el vector
—V
dirección a de la recta es perpendicular al 
—►
vector norm al N del plano, es decir: 
¿ / / P o a ± ÍV = > a.A f = 12 + 1 2 - 2 4 = 0
Luego como a . N = 0 entonces a 1 N . Por lo tanto la recta L es paralelo al 
plano P.
48 Eduardo Espinoza Ramos
1.27, FAMILIA PE PLANOS.-]
En form a sim ilar que en la geom etría analítica plana, en donde se consideraba 
una familia de rectas, en este caso se puede considerar una fam ilia de pianos, 
por ejemplo, la ecuación 2 x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos
—►
paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos im portante, 
es el sistem a de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya 
ecuaciones se expresan:
P ,: A ^ x + B t f + C ^ z + D y = 0 
P^: ^ x + i?2.y+C2z + = 0
(1)
Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de 
intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación:
X ¡(A¡x + Bl}>+Ciz + D¡) + K 2( A ;ix + B 2y + C 2z + D 2) = 0 ... (2)
donde K) y K2 son núm eros reales cualesquiera excepto que sean ceros 
sim ultáneam ente.
Si en la ecuación (2) se tiene que K t 0, entonces a la ecuación (2) se puede 
expresar en la forma:
A xx + B xy + Cxz + D X+ K ( A2x + B2y + C2z + D 2) = 0 ...(3 )
A la ecuación (3) se denom ina la familia de planos que pasan por la 
intersección de los planos P i y P 2 .
E jem plos.- H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de 
los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z - 7 = 0 y por el punto 
(1,-2,2).
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 49
A plicando el concepto de familia de planos se tiene:
P: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) = 0
5
com o (1,-2,2) e P => 2 + 2 - 2 + 8 + k ( l - 1 2 - 4 - 7) = 0 => k = —
11
5
P: 2a - y - z + % + — (x + 6 y - 2 z - l ) = 0 . P: 27 x + 1 9 y - 2 1 z + 53 = 0
E jem plo .- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los 
planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al 
plano 3x - 4y - 2z = 9
Solución
Sea P„ la familia de planos que pasan por la intersección de los planos
2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1
P a : 2x - y + 3z - 2 + a (4 x + 3 y - z - 1) = 0
P a : (4 a + 2)x + (3 a - 1 )y + (3 - a )z - 2 - a = 0, donde su normal es:
—►
N a = (4a + 2 ,3a -1 ,3 - a ) y sea P: 3x - 4y - 2z = 9 cuya normal es:
N = (3 ,-4 ,-2 ) com o P„_LP => N a 1 N => N . N a = 0 
(3 ,-4 ,-2 ).(4 a + 2 ,3 a -l,3 -a )= 0 , de donde 12a+6 - 1 2 a + 4 6 + 2 a = 0 a = - 2
P u : 6x + 7y - 5z = 0 
| lT 287 I o L \ C I O N E S I N a i M ^ L E T A S D E L P L A N O ^
Consideremos el plano P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A 2 + B" + C 2 * 0, 
como A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes
casos:
Eduardo Espinoza Ramas
l*r Si B = C = D = O, A * O emoiices eí plano P: x = 0, que es el plano YZ.
1*° Si A = C = D = 0, B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano XZ
3ro Si A = B = D = 0, C * 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY
4,# Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al plano YZ
5'° Si A = C = 0, el plano P: By + D = 0 es paralelosal plano XZ
ó'“ Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY
7"’° Si C = D = 0, el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al 
plano XY
8to Si B = D = 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al 
plano XZ
9"° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al eje X y es ortogonal al 
plano YZ
10"° Si C = 0, el plano P: A x + By + D = 0, es paralelo al eje Z y adem ás 
es ortogonal al plano coordenado XY.
1 l “vo Si B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y adem ás es 
ortogonal al plano coordenado XZ
12*™ Si A = 0, el plano P: By + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y adem ás es 
ortogonal al plano coordenado YZ
13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de 
coordenadas.
E jem plo .- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (7,2,-3) y 
B(5,6,-4) y es paralelo al eje X.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 51
Sea P el plano buscado. P: N .[(x ,> » ,z )-(7 ,2 ,—3)] = 0
com o A, B e P => AB =(-2,4,-1) // P, com o eje X // P => i II P entonces la 
norm al es:
N = i . A B =
i j k 
1 0 0 
- 2 4 -1
= (0,1,4) => P: (0,1,4). (x - 7, y -2, z + 3) = 0
P: y + 4z + 10 = 0
1.29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-
Considerem os la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0 
y un punto pi (xi, y t, z¡) que no pertenece al plano P.
considerem os un vector unitario /uN en la dirección del vector norm al, es
decir: n N = ~ z r = i , ' , ' - K g »c )
¡| N || v A + B + C
---- ► —► -----> —> ^
com o 0 = ¿ ( pqP ^ / J k ) entonces p 0p¡ . \ i N =)] p 0p l ||c o s 0 ...(1 )
Eduardo Espinoza Ramos
En ei triángulo rectángulo se tiene: d ( p x, P ) =)l PoPi IIcos 6 ••• (2)
de (1) y (2) se tiene que:
1
d { p x,V) = p 0p v f t N =■ r(/LS,C).(*i-x0, y ¡- y 0, zi~zo)
y¡A2+ B 2+ C 2
A ( x i - x 0)+ B ( y l - v0) + C(z¡ - z 0 ) | Ax¡ + By, + Cz, + ( - Ax0 - By0 - Cz0 )j
í 7 7 b 2+c 2 <Ta 2 + b 2 + c 2
d ( p x, P ) =
Ax¡ + Byx + Cz, + £)|
, Ja 2 + b 2 + c 2
E jem plo .- Calcular la distancia del punto A (l,5 ,-4 ) al plano 
dado por P: 3x - y + 2z = 6.
Solución
d ( A , P ) =
|3x0 - y 0 + 2z0 “ ¡3 — 5 — 8 — 6j 16
16 
VÍ4
VÍ4 " V T Í 
16
d ( A , P ) = -
O B S E R V A C IÓ N .- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos 
P i: Ax+ By + Cz + D| =0 y P 2: Ax + By + Cz + D2 = 0, 
la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula
d , - d 2
«(*1**2/
2 + b 2 + c 2
E jem plos.- H allar la distancia entre los planos paralelos P 4: x - 3y + 4z = 10 
y P í : x - 3y + 4z = 6.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 53
A plicando la fórm ula de la distancia entre dos planos paralelos. 
P (: x - 3y + 4z =10 y P 2: x - 3y + 4z - 6 = 0
I A - P 2I 1 - 1 0 - (~6)| 4 2V26
¿ ( P „ P 2) =
■JA2 + B 2 + C 2 Vl + 9 + 1 6 " V26 13
2yÍ26
■ ■ d ( P „ P 2) =
13
1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.-
Considerem os la ecuación vectorial de una recta L = { p 0 + t a / 1 e R ) y la 
ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector norm al es
N = (A,B,C)
Sea 0 = ¿ ( a , N ) ángulo entre los vectores a y N , entonces: 
-> -»
a Ai n
e o s0 = -------------- , adem ás se tiene a = — - 0 , entonces:
2
II a IIII N II
sen a = sen(— - 0 ) = e o s # = — ^ por lo tanto:
2 l l a l l l l T V I l
sena - -
2L.N
II a IIII N II
Que es la expresión para calcular el ángulo a form ado por una recta y un plano
54 Eduardo Espinoza Ramos
E jem plo .- H allar el ángulo 0 que forma la recta L = { (l,8 ,l)+ t (1,1,2) / teR } 
con el plano P: 2x - y + z = 7,
Solución
—► —̂
Sea 0 = ¿C(L, P ) donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y N = (2,-
1,1) el vector normal del plano P. A hora aplicamos la relación para calcular el 
ángulo 0.
sen 6 = - a . N (1,1,2 ).(2 ,—1,1) 2 - 1 + 2 1
a II I! A' I
de donde: sen 6 = — entonces 0 = 60°.
2
3.31. PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN 
PLANO.-
La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + C z + D=
0 con norm al N ~ ( A , B , C ) es el punto p0 del plano P, al cual denotarem os por
Pr oyp , ,de tal m anera que el vec to rp 0p es ortogonal al plano P. Para hallar el 
punto p0 trazam os por el punto p una recta L ortogonal al plano P es
—>
decir: L = { p + 1 N I t e R} de donde L n P = p ,
¡L 
jp
Ñ *
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 55
E jem plo .- Hallar la proyección ortogonal del punto A (l,2 ,3 ) sobre 
el plano P: x - y + 3z = 4
I ^ Solución
| A (1 ,2 ,3 ) com o P: x - y + 3z = 4, donde N = (1,-1,3) es
|___________ N - (1 .-1 .3 ) ja norm a] de P y L la recta que pasa por el
/ punto A (l,2 ,3 ) y es perpendicular al plano P
| ® / entonces L = {A + 1 NI t e R) es decir:
' L = {(1,2,3) + t ( l , - l ,3 ) / 1 e R}
Sea B e L n P => B e L a B e P.
Si B e L => B( 1 + t, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t e R
4
com o B e P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 t = - —
11
7 26 21
de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A
11 1 1 1 1
7 26 21
sobre el plano P es B (— , — , — ).
11 11 11
1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE 
UN PLANO.-___________________________________________
La proyección ortogonal de la recta L = { p 0 + t a / t e R } sobre el 
plano P: Ax + By + Cz + D = 0, es la recta V , el cual denotarem os por Pr oy¡, 
que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las 
proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P
Eduardo Espinoza Ramos
_ / _____I P
A
A'
~L
L'
L '= { P 0 + t P0B / 1 e R] 
cuando L X P
L ' = { P ' + t ( A ' - P ' ) / t e /?} 
cuando L // P
E jem plo .- H allar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2t) / teR } 
sobre el plano P: x + y + z = 1
Solución
com o L y P no son paralelos, entonces 
existe un punto de intersección A e L a P.
Si A e L a P entone A e L a A e P 
[_' Si A e L => (t, 1 -1, 2t) para algún t e R 
c o m o A e P = > t + l - t + 2 t = l => t = 0 
=> A (0 ,1,0) por otra parte:
L = {(t, 1 - t, 2t) / teR } = {(0,1.0) + 1 (1,-1,2) / 1 e R}, de donde
a = ^4B =( 1,-1,2)=> B -A =( 1,-1,2), B=A+( 1,-1,2)=<0,1,0)+( 1,-1,2) =>B( 1,0.2)
ahora calculam os el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre 
el plano P, para esto trazam os la recta L, que pasa por B perpendicular al plano 
P e sd e c ir : L ,= {(1,0,2) + k (1,1.1) / XeR}
Sea C e L i a P => C e L| a C e P
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 57
Si C e L| => C (1 + X, X, 2 + A.) para algún X e R.
c o m o C e P => l + X + A. + 2 + A.= l X = —
3
de donde C ( - , - —,—) y A C = C - A = — (1 ,-5 ,4) 
3 3 3 3
S i£ '= P ro ^ p = { A +1~AC/ 1 e R} de donde/. L'= {(0,l,0) + / ( l , - 5 ,4 ) / í e /?}
E jem plo .- H allar la proyección ortogonal de la recta
L = {(2 + 1,1 - 3t, -5t) / t e R } , sobre el plano P: 2x - y + z = I .
Solución
Li
fi___ l
M - - I -
L= {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R}
Donde l = ~AB = (1 ,-3 ,-5 ) si A (2,l,0)=> B(3,-2,-5)
L' ahora calculam os sus proyecciones ortogonales 
sobre el plano P, C = P rqvp y D = P ro v p para 
calcular C trazam os la recta L t que pasa por A es 
decir: L, = {(2,1,0) + 1 (2,-1,1) / 1 e R}
com o C e L | a P => C e L i A C e P .
Si C e L, => C(2 + 2t, 1 - 1, t) para algún t e R.
1 4 4 1
com o C e P => 4 + 4t - 1 + t +t = 1 => / = - - por lo tanto C (—
3 3 3 3
ahora calculam os el punto D, para esto trazam os la recta L 2 que pasa por el
punto B, es decir:
L2 = {(3,-2,-5) + 1 (2,-1,1) / t e R } , como D e L2 a P entonces:
58 Eduardo Espinoza Ramos
D e Li => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + t) para algún t e R.
com o D e P => 6 + 4t + 2 + t - 5 + t = l de donde
3 3 3 3
* 7 3 11 4 4 1 2 17 31 1
C Z > . , - — , - — )=, - ( 4 . - l 7 . - 3 l )
, 4 4 1
L'= P ro y Lr = , ( 4 ,-1 7 ,3 1 ) / / € R }
3 3 3
1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA 
QUE NO ESTA CONTENIDA ENEL PLANO.-
La distancia mínima entre una recta 
—►
L = {p0 +t a / t e R} y un plano P: 
—►
N ( p - Q o ) = 0 , donde la recta L no está 
contenida en el plano P y además L es 
paralela a P es dado por la fórmula.
d ( L , P ) H comp QoPo I = | I
11*11
E jem plo .- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / t c R ) 
al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 
Solución
Tom em os un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5
en toncesQ 0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) => Q0p 0 = Q q - P o = ( 7 ,4 -5 )
P ) _ | g o A . - * | _ ; q 4 - 5 ) . ( 4 , - 3 , - 6 ) | |2 8 -1 2 + 30|
l¡ y u >/l6 + 9 + 36 VóT Vól
Mi • i„m »’ Pianos en el Espacio Tridimensional 59
I 14. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.-
( onsiderem os las ecuaciones generales de dos planos Pi:A |X +B iy+ Ci 
/> D |= 0 , cuya norm al es N = ( A ¡, B , , C, ) y P 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,
cuya norm al es jV 2 = ( a 2 , B 2 , C 2
El ángulo 0 form ado por los planos P j y P 2 
es igual al ángulo entre sus vectores
norm ales N ¡ y N 2 respectivam ente y es 
dado por la expresión siguiente.
E jem plo .- H allar el ángulo formado por los planos P t : x - y = 4 y P 2: x+z = 6
Solución
P ,: x - y = 4 de donde N , = (1 ,-1 ,0 ), P 2:x + z = 6 de donde N 2 = (1 ,0 ,1 )
-----* — » „ N. .N *
Si 0 = ¿ (P i, P 2) = ¿ ( * 1 , N 2 ) entonces cos<9 = ----- f — — —
Il N x II II N 2 H
(1 ,-1 ,0).(1,0,1) 1 - 0 + 0 1 . 1 t „ „ 0co s^ = i-:— ’ \ \ .— = --------------= —, com o eo s9 = — en to n ces0 = 60
2 2 2
11.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
( í ) Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A( 1,0,-1) y B (2 ,1,3) 
y que además es perpendicular al plano Pi = {(x,y,z) e R 3 / x + y - z + 2 = 0}
60 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
como P I P j => jV, //P , adem ás se tiene 
que: A ,B e P => AB II P, AB = (1 ,1 ,4 ) 
c o m o jV l AB , /V, entonces:
N =
i j k
1 1 4
1 1 -1
= (-5,5,0) = -5(1,-1,0)
©
de donde tenem os que: N = —5(1,-1,0)
—►
Luego P: ^ . ( ( x , y, z ) - (x o , y0, zo)) = 0 d ed o n d e . . P : x - y = l
H allar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l ,2,-3) y por 
la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY.
Solución
N
P(1,2,3) plano XY es la recta L\\
La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el
(x - y ' 2z = 4 
2 = 0
Escribiendo la ecuación de la recta L en forma 
vectorial para z = 0 = > x - y = 4 => x = y + 4
Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0)
Luego L = {(4,0,0) + t ( 1 ,1 ,0 ) /1 e R}
ahora calculam os la norm al N = p 0p x a , donde p 0p = (~ 3 ,2 ,-3 ) y 
a = (1,1,0) entonces:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 61
N =
i j k 
- 3 2 -3 
1 1 0
= (3,-3,-5), com o el plano P pasa por p( 1,2,-3)
P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] = 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z + 3) = 0
P: 3x - 3y - 5z = 12
(T ) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos 
iguales con las rectas Lj = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje OX, L3 : eje OY
Solución
—> —>
El plano pedido es: P: N . ( p - p 0) = 0 , de donde ¿V= (A,B,C) y p0 (3 ,1 ,-2) el 
punto por donde pasa el plano.
La condición del problem a es: ¿C (L¡ ,P) = ¿C (L 2 ,P) = ¿C (L3 ,P), donde: 
para ¿ (L, ,P) = ¿ (L2 ,P), se tiene:
-» -> —> ^
sen 0 = — 7 - 7 - = > donde 7 = (1,1,1), 6 = (1,0,0), N = { A ,B,C)
\ \N\ \ \ \a\ \ | | / / | | || 6 ||
efectuando operaciones se tiene que: (\[?> - } ) A - B ~ C = Q ... (1)
para ¿ (L2 ,P) = ¿ (L3 ,P) se tiene:
se n 8 = . N : - — = - N -C - , donde 6 = (1 ,0 ,0 ), c = (0,1,1), 7V =(A ,B,C)
I /V|| || 6 || II A/1| || e l
efectuando operaciones se tiene: A = B ... (2)
62 Eduardo Espinoza Ramos
ahora reem plazam os (2) en (1) se tiene: C = ( J l - 2 )B
com o N = (A ,B,C) = ( B , B , ( - J i - 2 ) B ) = 5(1,1, V 3 - 2 ) B * 0
Por lo tanto P: (1 ,1 ,V 3 -2 ) .(jc- 3 ,> , - 1 , z + 2) = 0
P: x + y + (i¡3 - 2 ) z + 2-Ji - 8 = 0
Sea ju = (a,b,c) y N = (A ,B ,C) vectores no nulos de R tal que
-4 —►
N ± ju si p0 (x0,yo,Z{)) es un punto del plano Jt = A x + B y + Cz + D = 0.
—>
D em ostrar que L = {p0 + t ^ 1 1 e R] está contenida en ti.
Solución
—► —> —► —>
Como N -L / / => N . fí = 0 => A a + Bb + Ce = 0 además
L = {p0 + 1 ~¡i! t e R] = {(x0, y0, z0) + 1 (a,b,c) / 1 e R} por demostrar que
L c rc: Ax + By + Cz + D = 0
Sea p e L => p (x0 + t a, y0 + t b, ztí + t c)
com o po e rt => A(xo + t a) + B(yo + 1 b) + C(zo + 1 c) + D = 0
= Ax0 + By0 + Cz0 + D + t ( A a + Bb + Cc) = 0 ,
o
= 0 + t (Aa, Bb, Ce) = 0 + to = 0, entonces p e k luego L c n.
© H allar la ecuación del plano que pasa por el punto A (3 ,4 ,l )y es ortogonal 
a los planos P , : x -y = 4, P2 : x + z = 6.
Solución
Redas y Planos en el Espacio Tridimensional 63
Sea P ] : x - y = 4 de donde N t = (1 ,-1 ,0 )
P 2 : x + z = 6 de donde N , = (1,0,1)
P: N .(p - A) = 0 es el plano pedido com o P J_
Pi , P 2 entonces A', , N-, / /P de donde la
norm al ¿Vde P es:
(-1,-1,1)
com o P: A' .(p - A)=0, al reem plazar se tiene, P: (-1 ,-1 ,l).(x - 3, y - 4 ,z -l)= 0
P: x + y - z = 6
( h ) Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano 
3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos?
Solución
Sea P,: 3x - y + 2z = 4. donde A7, = (3,-1,2) y P el plano pedido, com o
P // Pi entonces P: 3x - y + 2z + D = 0
pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D = 5
por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. la distancia entre am bos planos 
paralelos se tiene:
64 Eduardo Espinoza Ramos
© Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P ¡ ( l , 0 , - l ) y 
P3 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6, 
4x - y + 3z = 0
Solución
para determ inar el vector norm al al plano P, prim ero hallarem os el vector 
dirección v de la recta de intersección.
v = N x x N 2 =
i j k
3 1 - 2
4 - 1 3
=( 1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)
ahora trasladam os el vector v paralelam ente al plano buscado y con el vector 
Px P2 = ( -2 ,2 ,2 ) se obtiene la norm al N al plano P, es decir:
N = P\P2 > v =
i j k
-2 2 2
-1 7 - 7
(20 ,-12 ,32)
considerando el punto p i ( l ,0,-1) en el plano y la normal N = (20,-12,32)se tiene: 
P: N .(p - p i) = 0, reem plazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 
.-. P: 5 x - 3 y + 8z + 3 = 0
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 65
(Ñ ) Si P es un plano tal que: P n eje x = {(a,0,0) / a * 0, a e R},
P n eje y = {(0,b,0) / b * 0, a e R}. D em ostrar que P tiene la ecuación.
x y z 
P: - + t - + - = 1 
a b e
Solución
Sea a = AB = B - A = (-a,b,0) 
b = ~AC = C - A = (-a,0,c)
N = a , b
i j k 
- a b 0 
- a 0 c
= (bc,ac,ab)
La ecuación del plano es: P: N. ( p - A) = 0 , reem plazando se tiene: 
P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe
©
x y z 
P: - + f + - = 1 
a b e
D em ostrar que la ecuación del plano, que pasa por la recta
L: x = x 0 +a¡t, y = y ü + a 2t, z = z0 + a i t , t e R y es perpendicular al 
plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma:
x - x 0 y - y 0 z - z 0 
a , bx c,
a b e
Solución
66 Eduardo Espinoza Ramos
En la recta L: x = x 0 + a xt, y = y 0 + a2t, z - z 0 + a 3/ te R el vector dirección 
es a - ( a ^ a ^ a ^ ) y en el plano F: ax + by + cz + d = 0, su norm al es]
—> —>
N = ( a ,b , c ) . Sea P,: N \ . ( p - p 0) = 0 , el plano buscado donde:
N\ = a x N -■
—» -> —»
/ j k
a l a2 “i
a b c
= íl\ a2 «3 «1 «3 #1
1 Ò C a c
9
a b
a2 a 3 «1 «3 «1 a3
b C a c a CPt : (
P, : ( x - x0 )
a, a
)
) . ( x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) = 0
+ ( z - z 0) = 0
' i •
*o y - y o z ~ zo
«i
a
= 0
(10) Si A ,B ,C y D son todos no nulos. Dem uéstrese que el tetraedro form ado por 
los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volum en
1
igual a V = —
D
ABC
Solución
SeanP, Q, R, los puntos de intersección del 
plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los 
ejes coordenados respectivam ente, es decir:
0 ,0 ) , Q(0 , - ~ , 0 ) y R(0 , 0 , - ^ ) 
A B C
el volumen V del tetraedro OPQR es:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 67
,
V = ¡ [OP OQ OR] I de donde se tiene:
6
D D D
OP = {— ,0 ,0 ), OQ = ( 0 ,- — ,0), OR = ( 0 ,0 , - — ) 
A B C
V = -
0-2- o
A
0 0 
B
0 o
c
-£>3 1 D 3
/IflC 6 AB C
V = -
D
AB C
Dados los puntos P ,: 2x + 2 y - 2z + 2 = 0 y P 2: x - 2y - z = 1 y el punto 
A (2 ,l,4 ). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es 
paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P , .
Solución
—̂
P,: 2x + 2 y ~ 2 z + 2 = 0 , de donde su normal es N { — ( 2 , 2 - 2 )
—̂
P2: x - 2 y - z = 1, de donde su normal es N 2 = (1 ,-2 ,—1)
—> —> —>
Sea ¿ = {(2,1,4) + ? u / t e R} donde u = ( a , b , c ) y | |« | |= 1
-* —̂
com o L / /P , => u . N 7 = 0 = > a - 2 £ - c = 0
por otra parte se tiene: Pj ) = 3 0 ° ,entonces sen 30° = •
- (1)
-> - > 
u . N ,
donde
Mi l l i e ¡i
u . t y - — y u II |f ív f 1| => 2a + 2 b - 2 c = ^ - . 2 j ? , => 2a + 2 b - 2 c = 3 ... (2)
como II u |l= l => a" + b 2 + C 1' = 1 ... (3)
68 Eduardo Espinoza Ramos
!±V2
resolviendo el sistema se tiene: '
a - 2b - c = 0
2a + 2 b ~ 2 c = 3 entonces 
a 2 +b~ +c 2 =1 2 + V2
2±y¡2 1 2±y ¡2 1 i r - r \
u = ( a , b ,c ) = (------------------------------) = - 2 ± V 2 , 2 , - 2 ± V 2
4 2 4 4 '
Luego se tiene: L = {(2,1,4) + 1 (2 ± -J2, 2, - 2 ± V ? ) / í e. /?}
( Í2 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al 
plano XZ y hace un ángulo 6 = arccos * con el plano x + 2y + 2z = 5.
Solución
P ,: x + 2y + 2z = 5 S ea p , = x + 2 j + 2 z = 5 de donde 
= (1,2,2) y P2 = XZ 
P3 = ? tal que P31 P 2 y además
Sea N 3 = («,0, e) la norma de P3 puesto 
-^
que #3 es paralelo al plano XZ y XZ1P3. ¡ 
--^
donde TV, = (1,2,2) y jV3 = (« ,0 ,c)Adem ás eos 9 = -
N t . N 3
n ’ i II II N 3 II
eos 9 =
( l ,2, 2) .(a ,0,c )
3V« 2 + c 2
1 a + 2c
3 3>/a2 + c2
V a2 + c 2 = a + 2c entonces se tiene: a = - - - c
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 69
por lo tanto <V3 = ( - ~ , 0 , c ) = - ̂ -(3,0,-4)
©
Luego P3: JV3.(/?-(0,01)) = 0, al reem plazar se tiene:
P3 : (3,0,~4).(x, y , z - 1 ) = 0 P3 : 3x - 4z + 4 = 0
Un plano pasa por el punto A (3 ,l,-1 ), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = - 
4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación.
Solución 
—>
Sea P ,: 2 x - 2 y + z = - 4 , de donde jV, = (2 ,-2 ,1 ) y P el plano por calcular, 
—►
Luego com o P ,± P => JV, / /P y com o el intercepto Z con P es -3 entonces
—̂
B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B e P => A B / /P de donde
—̂ > ->
AB = ( - 3 - 1 - 2 ) com o N {, A B / / P entonces la norm al P es N dado por:
= ( -5 - 1 ,8 )
—» -> —>
i j k
N = N { x A B = -3 -1 - 2
2 - 2 1
©
P: N . ( x - 3, y — 1, z + 1) = 0 , de donde P: (-5 ,-l,8 ).(x - 3, y - 1, z + 1) = 0, por
lo tanto: P: 5x + y - 8z - 24 = 0
H allar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del 
origen y tiene una norm al que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos 
OX y OY.
Solución
Sea P el plano buscado, cuya norm al es N = ( c o s a , eos /?, e o s /)
70 Eduardo Espinoza fiamos
2 ^ com o a = (3 = 60° => eos" a + e o s ' /? + eo s ' y = 1 = > c o s / = ± - y
-* 1 1 -J2 1 1 r—\
N = ( - , ~ , ± — ) = - 1,1,±V2
2 2 2 2
La ecuación del plano es: P: x + y ± - J l z + D = 0
com o r f (0 ,P ) = 2 => '° + Q + - —— = 2 de donde i D | = 4= > D = 4 v D = -4]
V l + 1 + 2
Si D = 4 entonces P,: x + y ± - J l z + 4 = 0;
D =-4 entonces P2: x + y ± 4 l z - 4 = 0
(^5^ Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga ai 
punto (2,2,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano J l x + 2 y - 3z + 2 = 0 j
Solución
La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es 
perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La rorm al del plano P e!
N = ( A , B , 0 ) .
Si P,: j 2ix + 2 y - 3 z + 2 - 0 , de donde N x = [ \ 3 ,2 -3 )
El ángulo formado por P, y P es 0=60° que es dado por: eos 0 = -
yPSA + 2B , 1 s¡3A + 2 B ^ I , 2 , D2 _ A , 0
cos60° = — , de d o n d e — = — , => 2 y A + B - >j3A + 2 ^
4 y¡A2 + B 2 2 4 \ A + B
4 ( A 2 + B 2) = 3A 2 + 4 B 2 + 4 > /3 AB => A = 4-J1B ... (1)
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 71
©
como (2,2,2) e P => 2A + 2B + D = 0 ... (2)
de (1) y (2) se tiene D - - [ s j i + 2]B —(3)
reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0
P: 4>/3ftc + fly-(8>/3 + 2 )5 = 0, B * 0 => P: 4-JÍ x + y - t j l - 2 = 0
La recta ¿ j = {(5 + / , - f , 0 ) / / e /?) se refleja en el plano n: 2x - y + z - 1= 0, 
Hallar la ecuación de la recta reflejada.
Solución
Se observa que p2 eL, /vr => p2 e L, a p 2 e n 
S i p 2 e ¿ , = > p 2(5 + í, - f , 0) para algún te R 
además p2 e n : 2(5 + í) + f + 0 - 1 = 0 => t=-3 
de donde P2 (2,3,0) también P, (5,0,0) e Lt
—>
como n: 2x-y+z-l= 0, de donde N = (2,-1,1) 
—> —>
entonces N L n A 7 /£ 3 de donde:
*1
A e L^n/r = > A e L j A A e x
Si A e L} => y4(5 + 2 A - A,A) para algún X e R, además A s n entonces 
2(5 + 2X) + k + X - 1 = 0 entonces A = - ^ . de donde:
3 3 3 3 3 3.A(2 , - , - - ) => AP, = ( 3 , - - , - ) => Bp, = p , - B = 2Ap, = 2 ( 3 , - - , - ) = (6,-3,3)
2 2 2 2 2 2
P1P2 = P2 — Pi = (-3 ,3 ,0 ) => Bp2 = p2 - B = (3,0,3) como Bp2//L y p2 e L 
entonces L = {(2,3,0) + r(3,0,3) / r e R}
72 Eduardo Espinoza Ramos
x + 4 5 - z
Dado ei plano P: x - 2y + 3z = 8 y la recta L: —-— = —— , y = -1. Hallar la
ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2 ,-1) paralela a! plano dado y 
corta la recta L.
Solución
x + 4 5 - z
A la ecuación de la recta —- — = —— , y =
vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) / t e R}.
escribiremos en forma
Sea I , la recta por determinar, es decir: = {(0,2,— 1) + r(a,b,c) I r e /fjcomo
I , corta a L => 3p e L, n L => e L, a p e L
Si p e L, => p(ra, 2 + rb, 1 + re) => p 6 L => p(-4 - 4t, -1, 5 + 3t)
de donde por igualdad (ra, 2 +■ rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces:
- 4 + 4t = ra 
- 1 = 2 +rb
5 + 3t = -1 + re
i b-
4 t - 4
r
6-3/
... (1)
como P: x -2y + 3z = 8 de donde N = (1 ,-2 ,3 ) como L, / /P entonces
a ± iV donde a =(a,b,c) Si a 1 N => a . N = 0 => a - 2 b + 3c = 0 ...(2)
4 f - 4 6 1 8 -9 /
reemplazando (1) en (2) se tiene. ■—- + — +----
/• r r
- = 0 t = 4
de donde: a = — , b = , c = como a = (a,b,c) = - (4 ,-1 ,-2 )
r r r r
I , = {(0,2,-1) + À (4 ,-l,-2 )/ a e
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 73
F1 intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y 
mayor en 2 unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano 
y los tres planos coordenados es 15«3, Hallar la ecuación del plano.
Solución
Los puntos por donde pasa el plano n son: 
(0,0,a), (0,a - 1,0), (a - 3,0,0) y la ecuación del 
plano es:
n : N.(x ,y ,z ) = d donde N = (A, B,C)
(0, 0, a) e ti => (A,B,C).(0,0,a) = d => aC = d 
(0,a - 1,0) e n => (A,B,C).(0,a - 1,0) = d 
B (a -l) = d => (a - 3,0,0) e Ti 
(A,B,C).(a - 3,0,0) = d =* A(a - 3) = d. de donde
d d d 1A = ,B = ,C = además se tiene que: V = — 
a - 3 a - Ì a 6 ABC
donde V = 15u3
V = - d d d 
a - 3 a - \ a
d d d
-15 => (a-3)(a-l)a=90 => a=6 de donde A=—,B=—,C=-~,
3 5 6
-* 1 1 1 x y z
como tt: N . (x , y ,z ) = d => Jt\ d (—, —, — ).(x, v,z) = d n \ — + —+ — = 1
3 5 6 3 5 6
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la 
recta 3x = 2y = z, y paralela al plano x + y - z = 0
Solución
Sean L = {(1,-1,1) + X(a,b,c)/>. e R} la recta buscada Lx:3x = 2y = z
74 Eduardo Espinoza Ramos
entonces: ^ = =» 6 , ( ± , I 1)
1 1
/._L¿, => (a ,¿ ,c ) .(—, —, 1) = 0 => 2a + 3¿> + 6c = 0
3 2
como el plano P: x + y - z = 0, de donde iV = (1,1,- 1) por ser 
P IIL