S07 s2 - Espacio vectorial en R3: Planos paralelos y perpendiculares

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PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica el Paralelismo y Ortogonalidad 
entre planos para resolver problemas de aplicación en Ingeniería, así 
como determina la intersección entre Planos y el ángulo Diedro.
Datos/Observaciones
PLANOS 
PARALELOS
PLANOS 
PERPENDICULARES
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
1 PLANOS PARALELOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛1
𝑛2Τ𝑃1 ∕ 𝑃2 ⟺ 𝑛1 ∕∕ 𝑛2 ⟺ 𝑛1 = 𝜆𝑛2
Τ𝑃1 ∕ 𝑃2 ⟺ Τ𝑛1 ∕ 𝑛2 ⟺ 𝑛1 × 𝑛2 = 0
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son 
ortogonales.
2 PLANOS PERPENDICULARES
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛1
𝑛2𝑃1 ⊥ 𝑃2⟺ 𝑛1 ⊥ 𝑛2
𝑛1 ⋅ 𝑛2 = 0
Datos/Observaciones
Determine si los siguientes planos son paralelos u ortogonales.
𝒫1: 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 6
𝒫2: 𝑃 = 4, −3, 2 + 𝑟 2,−2, 4 + 𝑡 2, 1, 1
Ejemplo 38. 
SOLUCIÓN:
𝑛1 = 1, 3, −2
𝑛2 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 −2 4
2 1 1
+ − +
= −6, 6, 6
𝑆𝑖 𝑛1 ∕∕ 𝑛2 ⟹ 𝑛1 = 𝑛2
1, 3, −2 ≠ 𝜆 −6, 6, 6
𝑆𝑖 𝑛1 ⊥ 𝑛2 ⟹ 𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0
1, 3, −2 ∙ −6, 6, 6 =
Son ortogonales
−6 + 18 − 12 = 0
No son paralelos 
✓
Datos/Observaciones
Al ser dos planos NO PARALELOS,
estos se intersecan en
el espacio. 
El producto de dicha intersección genera 
una recta en el espacio.
Observación 
Datos/Observaciones
Dados los planos 𝑃1: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 ;𝑃2: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0 no 
paralelos que se intersecan en el espacio.
a) Exprese la intersección (la recta resultante) entre los planos como un 
sistema de ecuaciones de ambos planos.
b) Determine el vector director de dicha recta.
c) Determine la ecuación paramétrica de dicha recta.
Ejemplo 39. 
SOLUCIÓN:
𝐿: ቐ
𝑥 = 5𝑡 − 1
𝑦 = 4𝑡 − 1
𝑧 = 𝑡
c) 
b) 
Ԧ𝑣 = 5, 4, 1
a) 
𝑥 − 4𝑧 − 1 − 𝑧 = 0
𝑦 − 4𝑧 = −1
𝐿: ቊ
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 1
𝑦 = 4𝑧 − 1 ∧
𝑥 = 5𝑧 − 1
𝐿: ቊ
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0
𝑧 = 𝑧
Otro forma de hallar Ԧ𝑣:
𝑛1 = 1,−1,−1
𝑛2 = 1,−2, 3
𝑛1 × 𝑛2 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 −1 −1
1 −2 3
Ԧ𝑣 = −5,−4, −1
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1,−1, 0 + 𝑡 5,4,1
𝜃
El ángulo 𝜃 entre dichos planos es igual al suplemento del ángulo formado por los vectores
normales, es decir:
3 ÁNGULO ENTRE PLANOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Planos paralelos.
𝑃1 ∕∕ 𝑃2 ⟹ 𝑛1 = 𝜆𝑛2
2. Planos perpendiculares:
𝑆𝑖 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⟹ 𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0
3. Ángulo entre planos:
𝛽 = cos−1
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
𝜃 = 180 − 𝛽
Excelente tu 
participación
Las dificultades me 
hacen más fuerte.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sean las rectas 𝐿1:
𝑥−3
−5
=
𝑦−1
2
, 𝑧 = 3 𝑦 𝐿2: ቊ
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
. Hallar la ecuación general de un 
plano que pasa por 𝐴 −1,−1, 0 y es paralelo a las dos rectas.
SOLUCIÓN:
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛 =
𝑖 𝑗 𝑘
−5 2 0
1 −4 −7
+ − +
= −14,−35, 18
𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑃0 = 0
−14𝑥 − 14 − 35𝑦 − 35 + 18𝑧 = 0
𝒫: 14𝑥 + 35𝑦 − 18𝑧 + 49 = 0
𝑥 + 2 −4𝑥 − 𝑧 = 0
4𝑥 + 𝑦 = 0
𝐿: ቊ
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 = −4𝑥 ⟹
𝑧 = −7𝑥
𝐿: ቐ
𝑥 = 𝑡
𝑦 = −4𝑡
𝑧 = −7𝑡
−14,−35, 18 ∙ 𝑥 + 1, 𝑦 + 1, 𝑧 = 0⟹
RPTA:
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Encuentre la ecuación general del plano que pasa por la intersección de los planos 
𝑃1: 𝑥 − 𝑧 = 1 ; 𝑃2: 𝑦 + 2𝑧 = 3 y es perpendicular al plano 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
SOLUCIÓN:
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑛 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 1
1 1 −2
+ − +
= 3, 3, 3
𝑛 ∙ 𝑃 − 𝑃0 = 0
3𝑥 + 3𝑦 − 15 + 3𝑧 + 3 = 0
𝒫: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4 = 0
5 − 2𝑥 + 2𝑧 = 3
2𝑥 + 𝑦 = 5
𝐿: ቊ
𝑥 − 𝑧 = 1
𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑦 = 5 − 2𝑥
𝑧 = 𝑥 − 1
𝐿: ቐ
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 5 − 2𝑡
𝑧 = 𝑡 − 1
3, 3, 3 ∙ 𝑥, 𝑦 − 5, 𝑧 + 1 = 0⟹
RPTA:
𝐿: ቊ
2𝑥 − 2𝑧 = 2
𝑦 + 2𝑧 = 3
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 − 12 = 0
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Hallar la ecuación general del plano que pasa por el 
punto (1; 5; 1) y es perpendicular a los planos
𝑃1: 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2 ; 𝑃2: 𝑥 + 3𝑧 = 4
Datos/Observaciones
PLANOS PARALELOS Y 
PERPENDICULARES