P2 2S2021 PAUTA NAGEL ALGEBRA LINEAL - Claudia Contreras Pedroza

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PAUTA PRUEBA 2 DE ÁLGEBRA LINEAL– PROF. JUAN NAGEL – 1-10-21
Lee cuidadosamente cada una de las siguientes 10 preguntas, y responde cada una en páginas separadas en el cuadernillo asignado (el cuadernillo tiene 5 hojas). Utiliza lápiz pasta, y demuestra todos sus resultados. Recuerda que tu puntaje será determinado por el desarrollo, y no necesariamente por tu respuesta. Sé claro, conciso, y ordenado en tu desarrollo. El puntaje asignado a cada pregunta se condice con el tiempo máximo que estimo debes pasar en esa pregunta. En total hay 60 puntos divididos en 9 preguntas, y tienes 110 minutos, por lo que cada punto equivale a alrededor de 1,8 minutos de tiempo máximo que debes pasar en la pregunta (es decir, en una pregunta de 6 puntos deben pasar 11 minutos máximo).
Confío en que te puede ir muy bien en esta prueba. Te deseo mucha suerte.
1. (6 ptos, 2 cada uno) Resuelve las siguientes determinantes de la forma más expedita posible.
a. 
Aplicando propiedad de matriz triangular inferior, resultado es 2*3*6*1*4*2=288. 1 puntos si aplican bien la propiedad, pero se equivocan con la matemática.
Si intentan hacer la determinante sin aplicar la propiedad, cero puntos.
b. Si y , calcule la determinante de 
Aplicando la propiedad de que la determinante de una matriz cuya columna es la suma de las columnas correspondientes de dos matrices que difieren solo en esa columna, es la suma de las determinantes, nos da que la determinante es 
-131 -192 = -323
1 puntos si aplican bien la propiedad, pero se equivocan con la matemática.
Si intentan hacer la determinante sin la propiedad, cero puntos.
c. 
Lo más fácil es hacer la determinante con la 2da columna. Eso nos da que la determinante sería (-1)4 por la determinante =14-32 = -18.
1 puntos si aplican bien la propiedad, pero se equivocan con la matemática.
Permitir hacer el método de las 6 “C”.
2. (8 puntos) Su empresa produce xilófonos (x), yunques (y), y zirconios (z). Para producir estos bienes, usted dispone de tres insumos: A, B, y C. Usted tiene 400 unidades de A, 360 unidades de B, y 1200 unidades de C. Cada xilófono (x) requiere de 2 unidades de A, 5 unidades de B, y 10 unidades de C. Cada yunque requiere de 3 unidades de A, 2 unidades de B, y 10 unidades de C. Cada zirconio requiere de 4 unidades de A, 3 unidades de B, y 10 unidades de C. Con estos datos, plantee el sistema de ecuaciones, y aplicando la regla de Cramer, indique cuántas unidades de xilófonos, yunques y zirconios producirá.
El sistema de ecuaciones es
2x + 3y + 4z = 400
5x + 2y + 3z = 360
10x + 10y + 10z = 1200
La determinante de la matriz de coeficientes (D) es igual a 
2*2*10 + 3*3*10 + 4*10*5 – 4*2*10 – 3*5*10 – 2*10*3 = 40 + 90 + 200 – 80 – 150 – 60 = 330 – 290 = 40
D1 sería 400 * 2 * 10 + 3 * 3 * 1200 + 360 * 10 * 4 – 4 * 2 * 1200 – 3 * 360 * 10 – 400 * 10 * 3 = 8.000 + 10.800 + 14.400 – 9.600 – 10.800 – 12.000 = 800
X entonces es 800 / 40 = 20
D2 sería 2*360*10 + 400*3*10 + 4*5*1200 – 4*360*10 – 400*5*10 – 2*1200*3 = 7.200 + 12.000 + 24.000 – 14.400 – 20.000 – 7.200 = 1600
Y entonces es 1600 / 40 = 40
D3 sería 
2*2*1200 + 3*360*10 + 400*5*10 – 400*2*10 – 3*5*1200 – 2*10*360 = 
4.800 + 10.800 + 20.000 – 8.000 – 18.000 – 7.200 = 2.400
X entonces es 2400 / 40 = 60
x=20, y=40, z=60.
2 puntos por plantear el sistema de ecuaciones y 6 puntos por saber aplicar la regla de Cramer. No poner puntos por la resolución si lo resuelven utilizando otro método que n sea la regla de Cramer. 
3. (4 puntos) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones calculando la inversa, utilizando el método de operaciones elementales o de Gauss:
2 m + 4 n = 15
-3 n + 5 m = 12
Aquí hay que tener cuidado de reordenar la matriz de coeficientes. La matriz a invertir es 
El método nos lleva a la siguiente matriz inversa (deben plantear la matriz ampliada y realizar las operaciones elementales correspondientes. 
Por lo que la solución al sistema de ecuaciones es 
m = 3/26 * 15 +2/13 * 12 = 93/26
n = 5/26 * 15 - 1/13 * 12 = 75/26 - 12/13 = 51/26
Colocar errores de arrastre. El cálculo de la matriz inversa vale 2 puntos.
4. (6 puntos) El siguiente mapa muestra los vuelos directos entre 6 ciudades. Use esta figura para generar una matriz de incidencias, y diga todas las rutas que pueden ser transitadas utilizando al menos dos 2-cadenas, es decir, en cuáles rutas tienes más de una alternativa en las que hay una sola escala.
La matriz de incidencia es
	0	0	0	0	0	1
	0	0	0	0	1	1	
	0	0	0	1	0	1
	1	0	1	0	0	0
	0	1	0	1	0	0		
	0	1	1	0	0	0
Para saber la cantidad de 2-cadenas, hay que sacar la cuadrada de la matriz de incidencias (obligatorio)
Eso nos da
	0	1	1	0	0	0	
	0	2	1	1	0	0
	1	1	2	0	0	0
	0	0	0	1	0	2
	1	0	1	0	1	1
	0	0	0	1	1	2
	Se puede viajar utilizando al menos 2 2-cadenas (2 rutas de 1 escala) desde
		2 a 2
		3 a 3
		4 a 6
		6 a 6
	EL cálculo de la matriz de incidencias vale 2 puntos. El resto vale 4.
5. (12 puntos) Aquí se presentan una matriz y su inversa
Demuestre que se puede determinar A-1 utilizando solo el producto de matrices elementales.
Habría que identificar las operaciones elementales que nos llevan a la inversa de A.
Estas son:
F3 F3 – 3 F1
F2 F2(1/2)
F3 F3 (-1/8)
F2 F2 + F3(-1/2)
F1 F1 – 3 F3
Por lo tanto el producto sería
Resolvemos usando la propiedad asociativa, haciendo las dos primeras multiplicaciones, la 3 y la 4, y la 5 la dejamos sola. Nos queda
Hacemos las primeras dos y nos queda
Lo cual nos da
 , la matriz inversa.
Poner crédito parcial dependiendo de qué tan lejos llegan. Si el error ocurre en el orden de las matrices elementales, poner 3 puntos. 
6. (6 puntos) En clase, vimos que la determinante de la matriz es el área generada en el paralelogramo representado en este gráfico:
Explique con sus propias palabras cómo sabemos que eso es cierto. No tiene que hacer las dos demostraciones, sino explicarlas lo mejor que puedan. Utilice gráficos si hace falta.
Cada demostración vale 3 puntos.
La demostración 1 requiere que hagan un rectángulo, y luego le resten las áreas de los triángulos a los lados. 
La demostración 2 requiere que se hable de la fórmula de cálculo del área del paralelogramo, que es base por altura. La base es el largo de la recta OA, y la altura es el largo de una recta que parte del origen y corta a BC en un ángulo recto. 
Para llegar a la longitud de la primera recta, se aplica el teorema de Pitágoras. Para llegar a la longitud de la segunda recta, debe calcularse la fórmula de la recta BA, la fórmula de la recta que corta a BC en ángulo recto, y debe encontrarse las coordenadas del punto de corte. Con esa coordenada, se debe calcular el largo de esa recta, y al hacer eso, queda que el área del paralelogramo es el determinante.
7. (6 puntos, 3 puntos cada una) Conteste las siguientes analogías utilizando algo de la vida real (fuera del curso). Recuerde justificar su analogía.
a) Tener una fila de ceros es a la determinante de la matriz como _______ es a ________ .
Tener una fila de ceros hace que la determinante de la matriz sea cero de forma automática. Podría ser algo que, cuando se da, determina un resultado de otra cosa. Por ejemplo, tener menos votos que tu contrincante es al resultado de la elección.
b) Percatarse que el término a99 de una matriz triangular superior de 50x50 es igual a cero es a resolver la determinante de dicha matriz como _____ es a _____ .
Si te percatas que uno de los términos de la diagonal de una matriz triangular superior es cero, entonces sabemos que el determinante de la matriz es cero. Facilita mucho las cosas. Una analogía podría ser “como encontrar un video del asesinato es a la resolución del crimen.”
8. (6 puntos) En clase, vimos la siguiente propiedad de las determinantes:
“Si A tiene dos filas o columnas iguales, entonces det A = 0.
Demostración: Suponga que dos filas i y j de A son iguales. Al intercambiar dichas filas se obtiene una matriz B que tiene la propiedad de que det B = - det A. Pero como la fila i es igual a la fila j, al intercambiarlos se obtiene la misma matriz. Así, A = B y det A = det B = - det A. Porlo tanto, 2 det A = 0, lo que puede ocurrir sólo si det A = 0.”
Explique esta demostración con sus propias palabras, resaltando los aspectos que la hacen universal, y de un ejemplo de una matriz 3x3 en la que esto se cumple.
El texto explicando la demostración vale 4 puntos. Deben mencionar:
· La demostración no se limita a matrices de cierto tamaño.
· Parten del supuesto de una matriz en la que dos filas son iguales.
· Intercambian las filas, y aplican otra propiedad, la de que la determinante de una matriz en la que se intercambian las filas es el negativo de la original.
· Aplican la propiedad de la igualdad de matrices
· Llegan a la conclusión de que la determinante inicial es cero.
El ejemplo vale 2 puntos.
9. (6 puntos) Calcule la inversa de la matriz utilizando cualquier método.
Operaciones elementales:
Ampliar la matriz
F3 F3 -2 F1 
F2 F2 (1/5)
F1 F1 – 2 F2
F3 F3 + 5 F2
Pueden usar el método de las matrices elementales, o el de Gauss.
La matriz inversa es .
No permitir errores de arrastre. Corregir todo o nada.