Shy Cap 6 - Graciela Valentina Martínez Angeles

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Cap #6: Peak-load Pricing (Shy)
Los servicios son lo que los economistas denominan bienes no almacenables. Son consumidos en el tiempo en que se compran. Esta característica de los servicios puede llevar a la congestión de los sistemas de servicio cuando la manera se distribuye de manera desigual entre los distintos periodos o temporadas.
La utilización de las técnicas de peak-load pricing es rentable en las industrias que tienen las siguientes características:
a) La demanda varia significativamente entre diferentes temporadas
b) Los servicios están relacionados con el tiempo y son transitorios en el sentido que no se pueden posponer o ser entregados antes de la fecha de entrega determinada
c) Los proveedores del servicio deben adquirir una cantidad significativa de capital costoso
d) El capital adquirido no puede ser liquidado fácilmente ni tampoco fácilmente arrendados o vendidos a otras firmas
Para satisfacer la demanda en las temporadas altas se requerirá de la instalación de capacidad, la cual será subutilizada en las temporadas bajas. Debido a que la capacidad es muy cara de adquirir y de mantener, la ociosidad resultante durante las temporadas bajas sería demasiado ineficiente. Para ello, peak-load pricing puede cubrir parcialmente ésta ineficiencia bajando el precio durante las temporadas bajas, reduciendo así el monto de capacidad ociosa.
Para resolver el problema de peak-load pricing, el vendedor tiene que tomar las siguientes decisiones:
1) Cuanto invertir en capital y por lo tanto cuanta capacidad de producción mantener disponible para satisfacer la demanda en la temporada alta
2) Cómo fijar el precio del servicio en cada temporada
6.1 TEMPORADAS, CICLOS Y DEFINICIONES DE COSTOS
6.1.1 Temporadas y Ciclos
El termino temporada se usa para representar un intervalo de tiempo dado en el cual la demanda se mantiene más o menos estable. Las temporadas se indexan como t=A,B,…,T o t=1,2,…,T. Así, el precio y cantidad que se demanda y produce durante una temporada se representan por pt y qt.
Por otro lado, un ciclo es un intervalo de tiempo en el que se presentan todas las temporadas (ver la tabla 6.1)
6.1.2 Tres tipos de costos
La función de costos del proveedor del servicio se puede descomponer en:
· Costos fijos y costos hundidos: se denotan por Ø y miden todos los costos que no dependen de la cantidad producida
· Costo marginal de capacidad: se denota por µk y mide el costo de ampliar la capacidad disponible en una unidad para el ciclo completo (por ej: si te dicen q el costo marginal de capacidad es X para 10 años y el ciclo es de 1 año, hay q poner q el costo marginal de capacidad es de X/10 para el ciclo). El costo total de capacidad NO cambia con la demanda de las temporadas en un ciclo dado.
· Costo marginal de operación: se denota por µ0 y mide el costo de producir una unidad adicional del servicio.
Algunos economistas consideran el costo de congestión como parte del costo operacional porque cuando el sistema opera cerca de su capacidad, los consumidores puede que reciban la señal ocupada (busy signals).
6.2 Dos temporadas: Caso de peak fijo
Se aplica a los mercados en los que el nivel de demanda cambia demasiado entre temporadas.
6.2.1 Ejemplo de invierno y verano
Una aerolínea que transporta pasajeros tiene un costo marginal de capacidad µk=20, un costo marginal de operación µ0=20 y un costo fijo Ø=2000. Las demandas son:
VeranopS=200-qS, por lo tanto IMgS=200-2qS
InviernopW=100-qW, por lo tanto IMgW=100-2qW
Igualando los ingresos marginales al costo marginal, la aerolínea maximizará utilidades. Pero, la capacidad que tenga la aerolínea dependerá totalmente de la demanda del verano (porque su demanda es mayor que la del invierno), por lo que el CMg del verano no es sólo µ0 sino que también µk.
Así: IMgS=CMgS200-2qS=µ0+µk y IMgW=CMgW100-2qW=µ0
 Y y la utilidad será de
Nota: Como entonces el verano es la temporada alta y por lo tanto (si en el desarrollo nos hubiese dado que , tendríamos que hacer que el CMgI fuera igual a µ0+µk y ahora CMgS será µ0 para comprobar si efectivamente llegamos a que , si es así, entonces sería igual a ).
Por lo tanto, el costo de capacidad se le atribuye al verano porque la capacidad está siendo subutilizada en el invierno y el agregar un pasajero más en el invierno no requiere invertir en una unidad extra de capacidad.
¿Por qué es rentable el peak-load pricing?
Para responder esta pregunta hay que analizar el ejemplo desde la perspectiva de un monopolista de precios uniformes. Para ello hay que encontrar la demanda agregada…
Para precios menores a 100, la demanda agregada será la suma de la demanda de invierno y la de verano, es decir:
, por lo tanto la demanda inversa será .
Luego el IMgS,W=150-qS,W y el CMgS,W= µ0+µk , es decir, menor a 100 y por ende los dos mercados serán servidos. Sin embargo, y , por lo tanto la aerolínea deberá invertir en una capacidad .
Entonces la utilidad será MENOR QUE LA !
Ahora, si la aerolínea sube el precio sobre los 100, entonces los únicos que demandaran los vuelos de la aerolínea serán los de la demanda alta. Por lo tanto y y finalmente SIGUE SIENDO MENOR A !
Bajo peak-load pricing, el vendedor siempre podrá elegir pS=pW. Sin embargo, si la firma elige precios diferentes para las dos temporadas (pS≠pW) entonces estará mejorando (maximizando) sus utilidades.
6.2.2 Dos temporadas: Formulación general para el caso de peak fijo
(Si quieren verla está en la página 9 del pdf, pero es una tontera…dice lo mismo que explico en el ejemplo 6.2.1 pero de manera general para cualquier demanda linearCHAO PAQUETE! xD)
6.3 DOS TEMPORADAS: CASO EN QUE EL PEAK “SE REVERSA” (shifting-peak case)
Ocurre porque:
a) El costo marginal de capacidad es muy alto por lo que no se le puede cargar el costo solo a los consumidores de temporada alta. (Otra forma de mirar el problema es diciendo que el costo de mantener capacidad ociosa es tan alto durante la temporada baja que el monopolista debe reajustar precios para que la capacidad sea usada completamente en todas las temporadas).
b) Las variaciones entre las demandas de las distintas temporadas son muy pequeñas.
Ahora el consumidor, independiente de la temporada que prefiera, será cargado con el costo por el uso de la capacidad y la pregunta que se hará el vendedor es cómo dividir el costo de capital entre los tipos de consumidores de las distintas temporadas.
6.3.1 Ejemplo de invierno y verano
Seguimos con el ejemplo 6.2.1, manteniendo las demandas de la temporada de invierno y la temporada de verano, el costo marginal de operación se mantiene en 20, pero ahora el costo marginal de capacidad es µk=140 y el costo fijo es Ø=1000.
Lo primero que hay que hacer es encontrar la cantidad de inversión en capacidad, k, que maximice las utilidades. Para ello hay que sumar verticalmente los ingresos marginales de cada temporada en función de k (ojo: la capacidad ahora se usa completamente en ambas temporadas por lo que k=qS=qW). Así el IMg en función de la capacidad queda de la siguiente manera:
En el gráfico se puede ver cómo se construye la suma vertical de ingresos marginales. Se cacha que el IMGW a niveles de q>50 pasa a ser negativo y por lo tanto solo se toma en cuenta el IMgS
(En clases los profesores dijeron que en esto el libro tiene un error, recomiendo no pescar mucho lo que sigue de este ejemplo)
“Interpretación de la suma de IMg en función de la capacidad (k):
Refleja los ingresos adicionales que se pueden generar por expandir la capacidad en una unidad adicional. Bajo reversión de peaks los precios se fijaran de manera tal que se demande la capacidad total en ambas temporadas, la suma de las dos funciones de IMg refleja el aumento de los ingresos por invertir en una unidad adicional de capacidad.”
La figura 6.2 ilustra que la capacidad donde se maximiza la utilidad está determinada por igualar la suma de IMg con la suma de los costos marginales de operación y capacidad, es decir:
Es 2 µ0 porque es el costo marginal de operar en AMBAS temporadasy µk sólo una vez porque el capital es durable (supuesto (d) que cumplen las industrias de estos servicios) y además porque el costo de capital es de todo el ciclo. 
Por lo tanto , y 
6.3.2 Dos Temporadas: Formulación general para shifting peak
Temporadas son A y B
· Paso 1: verificar que la temporada A no es la temporada alta
¿Cómo?Igualando IMgA al CMgA que tendrá el costo marginal de capacidad y el costo marginal de operación. Y por su parte igualando el IMgB al CMgB que tendrá solo el costo marginal de operación.
Si qB>qAla temporada A no es la alta
· Paso 2: verificar que la temporada B no es la temporada alta
¿Cómo?Igualando IMgB al CMgB que tendrá el costo marginal de capacidad y el costo marginal de operación. Y por su parte igualando el IMgA al CMgA que tendrá solo el costo marginal de operación.
Si qA>qBla temporada B no es la alta
· Paso 3: sumar verticalmente las dos funciones de IMg (en función del k) e igualarla al CMg de todo el ciclo!
· Paso 4: obteniendo el k, sabemos que la cantidad en ambas temporadas será la misma y después despejamos en las funciones de demandas inversas respectivas para encontrar los precios que se cobraran en cada temporada. Para luego encontrar la utilidad final.
6.5. Fijación de precio con más de dos estaciones (demandas)
La idea de este punto es extender el análisis de sólo dos ciclos (o estaciones) en las demandas a un análisis con múltiples estaciones: t = 1,…..,T
6.5.1. Ejemplo de tres estaciones
Seguimos con el ejemplo de la aerolínea, pero consideramos 3 estaciones: otoño, invierno y verano. El costo marginal de operación es µ0 = 20 y las demandas se pueden representar como:
	Estación
	Demanda
	Ingreso marginal
	Verano
	Ps = 200 - qs
	MRs = 200 – 2qs
	Invierno
	Pw = 100 - qw
	MRw = 100 – 2qw
	Otoño
	Pf = 200 - qf
	MRf = 200 - qf
En el gráfico se ve que la suma vertical de ingresos marginales tiene dos quiebres, esto es porque no se suman los ingresos marginales negativos. Por lo tanto la función de ingresos marginales es:
Casos con peaks cambiantes (shifting-peak cases) se ven cuando el costo marginal de la capacidad es suficientemente alto en relación a la demanda y al costo marginal de operación. En estos casos el vendedor puede operar con toda la capacidad en más de una estación, esto es porque la capacidad es muy cara para dejarla ociosa en períodos que no son el peak (el de mayor demanda).
Lo primero que se debe hacer es determinar que período muestra un shifting-peak y cuándo es el caso de que sólo una estación es el peak fijo. Con esto se caracterizan tres posibilidades que se ven claramente en el gráfico, separadas por las líneas punteadas (correspondientes a aumentos exógenos en el costo marginal del capital µk). Estas regiones no necesariamente coinciden con los quiebres de la línea que representa la suma vertical del ingreso marginal.
Región 1: una estación peak fija
Con un costo marginal del capital relativamente bajo, otoño se convierte en la estación peak. Así el vendedor debe asignar todo este costo a dichos pasajeros. Supongamos µk = µ0 = 20
MRf = µk + µ0 depejamos qf = 160 y reemplazando en la demanda tenemos pf = 120
Para las estaciones de baja demanda (verano e invierno) el vendedor debe asignar sólo el costo marginal de operación: MRs = µ0 qs = 90 y ps = 110
MRw = µ0 qw = 40 y pw = 60
Como qf > max{qs,qw} confirmamos que otoño es la estación peak.
Por último se debe calcular la utilidad: y = (pf - µk - µ0)qf + (ps - µ0)qs + (pw - µ0)qw – φ = 21.100 –φ
Región 2: shifting-peak sólo entre dos estaciones
Para valores intermedios del costo marginal del capital (supongamos µk = 90) el peak estará sólo en dos estaciones, mientras que en la tercera los aviones tendrán capacidad osciosa. 
Primero vemos si otoño es una estación peak: MRf = µk + µ0 qf = 90. Así, si el verano fuera una estación fuera de peak tendríamos MRs = µ0 qs = 90 = qf. Esto indica que es un caso en el límite entre peak fijo y shifting-peak, por lo que si calculamos los precios, estos deberían ser iguales para ambos casos.
Luego suponemos que el shifting-peak ocurre entre otoño y verano, pero no entre invierno y otra estación. En este caso el vendedor deberá igualar la suma del ingreso marginal entre otoño y verano con la suma de los costos marginales de operación y capacidad:
MRf + MRs = 2µ0 + µk k = qf = qs = 90 y tenemos pf =155 y ps=110
Para invierno, estación fuera de peak, caculamos MRw = µ0 qw = 40 y pw = 60. Así comprobamos que invierno no es peak, ya que qw < k.
La utilidad está dada por: y = (pf - µk - µ0)k + (ps - µ0)k + (pw - µ0)qw – φ = 15.750 –φ
Región 3: shifting-peak en todas las estaciones
Para valores altos del costo marginal de la capacidad (supongamos µk = 260) tenemos peak en todas las estaciones. Para calcular esto debemos igualar la suma vertical del ingreso marginal con la suma de todos los costos marginales: 
MRf + MRs + MRw = 3µ0 + µk k = qf = qs = qw = 36
Hay que verificar que esta capacidad es lo suficientemente baja para que ningún ingreso marginal específico a alguna estación sea negativo. Luego se calculan los precios y la utilidad igual que en los casos anteriores.
6.6. FUNCIONES DE DEMANDA CON INTERDEPENDENCIA TEMPORAL
Para algunos consumidores la demanda es interdependiente entre estaciones. Esto implica que una reducción en el precio de cierta estación puede hacer que la gente posponga o adelante el servicio demandado para la estación con descuento. Es decir, hay sustitución intertemporal.
6.6.1. Ejemplo: invierno y verano
Nuevas demandas Verano: ps = 200 – qs – 0,2qw
Invierno: pw = 100 – qw – 0,2qs
Esto implica que servicios de invierno y verano son sustitutos en cierto grado. Un aumento de pasajeros que viajan en invierno va a disminuir el precio en ambas temporadas y viceversa.
Ingreso total Verano: xs(qs,qw) = (200 – qs – 0,2qw)qs
 Invierno: xw(qs,qw) = (100 – qw – 0,2qs)qw
En base a esto, podemos calcular los ingresos marginales (que serán 4 y no 2, ya que ahora existe el IMg cruzado entre las demandas) MRss = ∂xs/∂qs = 200 - 2qs – 0,2qw
 MRsw = ∂xs/∂qw = – 0,2qs
 MRww = ∂xw/∂qw = 100 – 2qw – 0,2qs
 MRws = ∂xw/∂qs = – 0,2qw
Caso de peak fijo
Parámetros de costo: µk = µ0 = 20 y φ = 2.000
Primero se asume que verano es la estación peak y luego se verifica esto.
MRss + MRws = µk + µ0 considera los IMg asociados a cambios en qs y todos los CMg.
MRww + MRsw = µ0 considera los IMg asociados a cambios en qw y sólo el CMg operacional.
Con estas ecuaciones se resuelve la cantidad y para encontrar el precio reemplazamos en las demandas. Para que el verano sea efectivamente la estación peak es necesario que qs > qw. 
Si comparamos los precios encontrados con los que teníamos cuando las demandas eran independientes, nos damos cuenta que cuando hay interrrelación al vendedor le conviene dismunuir el precio en temporada baja. Esto es con el propósito que los pasajeros se cambien de temporada alta (peak) a baja.
La utilidad se calcula como: y = (ps - µk - µ0)qs + (pw - µ0)qw – φ = 4.775
Caso de shifting-peak
Parámetros de costo: µk = 160, µ0 = 20 y φ = 1.000
Para demostrar que verano ya no es peak, se debe hacer el mismo desarrollo de antes (es decir, considerando que sí es peak) y luego al comparar cantidades veremos que qs < qw, lo que contradice la idea de que verano sea peak. Hacemos el desarrollo análogo para invierno y vemos que tampoco es peak. Esto implica que estamos en un caso de shifting-peak.
La aerolínea funcionará con su capacidad a full en ambas estaciones, por lo que k = qs = qw. Considerando esto igualamos la suma vertical de IMg funcionando a full capacidad con la suma de CMg (incluyendo costos operacionales y de capacidad).
MRs(k) + MRw(k) = µk + 2µ0
Con esta ecuación calculamos k, y luego reemplazando en las demandas tenemos los precios. La utilidad será: y = (ps - µk - µ0)k + (pw - µ0)k – φ = 125/3
6.6.2. Demandas interdependientes: formulación general
Demandas ps = αs – βsqs – γsqw
pw = αw – βwqw – γwqs
Al estimar los parámetros se debe verificar que se cumpla que min{βs,βw} > max{γs,γw}.Esto implica que el precio de la estación es más sensible a cambios en los servicios de la misma estación que a los cambios en el nivel de servicio de otras estaciones. El efecto propio es más fuerte que el efecto sustitución.
Ingreso total xs(qs,qw) = (αs – βsqs – γsqw)qs
 xw(qs,qw) = (αw – βwqw – γwqs)qw
Ingresos marginales MRss = ∂xs/∂qs = αs – 2βsqs – γsqw
MRsw = ∂xs/∂qw = – γsqs
MRww = ∂xw/∂qw = αw – 2βwqw – γwqs
MRws = ∂xw/∂qs = – γwqw
Caso de peak fijo
Primero se asume que el verano es el peak (y luego se verifica). Se sigue el mismo procedimiento que antes, igualando IMg y CMg según corresponda:
MRss + MRws = αs – 2βsqs – γsqw – γwqw = µk + µ0
MRww + MRsw = αw – 2βwqw – γwqs – γsqs = µ0
Se despejan las cantidades en este sistema y llegamos a:
Se debe verificar que k = qs > qw para que el verano sea la estación peak. Luego para calcular los precios se reemplazan estos valores en la demanda y finalmente se calcula la utilidad.
Caso de shifting-peak
El vendedor debe igualar el IMg a full capacidad con la suma de CMg (incluyendo costo operacional y de capacidad):
MRs(k) + MRw(k) = αs + αw – 2(βs + βw + γs + γw) = µk + 2µ0
Considerando que k = qs = qw llegamos a 
6.7. UTILIDAD PÚBLICA REGULADA
A un regulador de utilidad púlica le interesa tanto el bienestar del consumidor como la utilidad de la industria, es decir, establece precios que maximicen el bienestar social. Esto difiere del caso de un monopolista, a quien sólo le interesa maximizar su propia utilidad.
El regulador tiende a igualar precios con costos marginales relevantes; en contraposición al monopolista que iguala IMg con el CMg relevante, restringiendo así la producción. Hay que tener prsente que la fijación de precios en base al costo marginal puede generar una pérdida al productor si éste tienen un costo fijo positivo, ya que no genera el ingreso que se puede necesitar para cubrir dicho costo. Por esta razón el análisis que haremos acá se limita al caso en que el CF es cero, es decir, φ = 0.
6.7.1 Ejemplo: invierno y verano
Demandas ps = αs + βsqs = 200 – qs
pw = αw + βwqw = 100 – qw
Si asumimos un costo marginal de capacidad relativamente bajo (µk = µ0 = 20), estamos en el caso de un peak fijo. En verano igualamos el precio a ls suma de costos marginales y en invierno sólo consideramos el CMg de operación ps = µk + µ0 = 40 y pw = µ0 = 20 qs = 160 y qw = 80. No es neceario calcular la utilidad, ya que ésta necesariamente es cero (ya que usamos el CMg para fijar los precios).
Si asumimos un costo marginal de capital alto µk = 140, estamos en el caso de shifting-peak. Esto se ve porque si calculamos la cantidad considerando el verano como peak (siguiendo el método anterior) llegamos a que qs < qw, lo que es una contradicción a que el verano sea peak. Por lo tanto el regulador deberá sumar las demandas verticalmente:
La capacidad se determina igualando la suma vertical de las demandas con la suma de costos marginales 300 – 2k = 2µ0 + µk = 180 k = qs = qw = 60 ps = 140 y pw = 40. Nuevamente no es necesario calcular la utilidad porque ésta es cero.
6.73) Multi-season pricing: un ejemplo de 3 estaciones
- Suponemos que las funciones de demanda de verano, invierno y fall (no sé cómo se traduce) son las siguientes:
 
- Asumimos costo marginal 
Gráfico:
La suma vertical de las 3 demandas es:
 		 
0 
La figura 6.5 ilustra las 3 regiones divididas por las lineas punteadas correspondientes a crecientes niveles de costo marginal de capacidad que analizaremos en esta sección. 
REGIÓN 1: múltiples estaciones con un peak fijo.
- Con un relativamente bajo, fall se convierte en la estación peak. 
- Supongamos: 
- Tenemos:
 
Es decir, el vendedor atribuye todos los costos marginales a los pasajeros fall.
- Para las estaciones que no son peak, el vendedor les atribuye solo el costo margional de operación ():
 =180
			
Por lo tanto, efectivamente fall es peak.
REGIÓN 2: shifting peak en solo 2 estaciones (2 estaciones son peak)
- Supongamos 
- Primero suponemos que fall es peak, para esto hacemos:
- Para ver los que no son peak:
Lo que significa que es una caso entre fixed y shifting. 
- Ahora suponemos que el shiting peak ocurre entre fall y verano, pero no entre el invierno y otra estación. En este caso el vendedor debe igual la suma vertical de fall y winter con la suma de los costos de capacidad y operación. 
Para ver el off-peak:
Como 80180, winter no es peak. 
- En este caso se reparte 
REGIÓN 3: shifting peak en todas las estaciones.
- Se da para valores altos de .
- 
6.8) demanda, costos y longitud de las estaciones
- Una exitosa implementación de peak-load pricing depende de la duración del servicio, la longitud de las estaciones y de los ciclos, y de los costos marginales de capacidad y operación. Es necesario definir estos conceptos. Por ejemplo:
- El texto dice que si un avión tiene capacidad para 2 millones de personas, no significa que puede llevar de manera simlutánea a todos, dado que no tiene una flota tan grande.
- El ciclo es el intervalo de tiempo asociado a 1 ciclo completo de todas las estaciones.
- Costo marginal de capacidad: costo de un pequeño incremento en capacidad sobre 1 ciclo completo. 
6.8.1) Daytime and nightime supply of electricity: examples.
Monopoly´s electricity pricing
Consideremos un monopolista de electricidad que determina el precio del kilowatt-hora de día y de noche. 
- Demanda por hora:
* La demanda por electricidad es “flow”. 
- Los costos marginales son: 
- Por lo tanto, la demanda del día es: 8qd y la de la noche 16qn.
- solo es necesario verificar que qn es mejor que qd. No que 16qn es menor que 8qd.
- Shisting peak: Uk=880
1) día es peak: 8 MRd(qd)= Uk+8U0 ; qd=k=35
Por lo tanto, día no es peak.
2) Noche es peak: 16MRn(qn)=Uk+16U0 ; qn=40 mayor que k=35
Por lo tanto, noche no es peak.
3) 
Electricidad para un regulador:
Ver el ejericio en el libro, página 38
6.8.2) formulaciones generales.
El resto son ejercicios, veanlos en el libro.