Control 3 2010 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTADDE MATEMÁTICAS
MAT210E-CONTROL3
31deMayo2010
Soluciones
I.Calcule g′′(π)(lasegundaderivadade g en x = π)paralafunci´on g definidapor
g(x)=cos(sen x) .
Soluci´on:Lafunci´on g esderivableentodoslosreales,puesescompuestade
funcionesderivables.
Suderivadaencualquierpunto x secalculausandolaregladelacadenacomosigue
g′(x)= − sen(sen(x))cos( x) .
Ahora g′(x)esunafunci´onderivableentodo x real,puesescompuestayproducto
defuncionesderivablesall´ı.Suderivadasecalculausand oreglasdelacadenaydel
producto,comosigue.
g′′(x)= − cos(sen(x))cos 2(x)+sen(sen( x))sen( x)
Por´ultimo,lasegundaderivadade g en x = π:
g′′(π)=cos(sen( π))cos 2(π)+sen(sen( π))sen( π)= −1.
II.Sea f :[1 , 6] → R unafunci´oncontinuaen[1 , 6],yderivableen(1 , 6).
Si f(1)= −2y f ′(x) ≤ 10paratodo x en(1 , 6),encuentreelmayorvalorposible
de f(6).
Soluci´on:Lafunci´on f satisfacelaship´otesisdelTeoremadelValorMedio:es
continuaen[1 , 6],yderivableen(1 , 6).
PoresteTeoremasesabeentoncesqueexiste1 <c< 6talque
f ′(c)=
f(6) − f(1)
6 − 1
=
f(6) − (−2)
5
ysesigueque
f(6)=5 f ′(c) − 2 ≤ 5 · 10 − 2=48 .