Prueba 2 2005 I - Erick Noguéz Vera

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2005
MAT 210 E * Solución Interrogacin N◦2
ATENCION: AQUI MOSTRAREMOS UNA IDEA GENERAL DE LA SOLUCION
DE LOS EJERCICIOS.
EL ALUMNO ES EL QUE DEBE JUSTIFICAR TODOS SUS PASOS.
1. Calcule los siguientes lmites de sucesiones
a) ĺım
n→∞
(−1)n+1 · an , donde an = 2n
2 + 1
3n3 + n
Solución:
ĺım
n→∞
(−1)n+1 · an = 0 ya que ĺım
n→∞
an = 0 y {(−1)n+1} es una suce-
sión acotada.
b) ĺım
n→∞
n∑
k=1
1
3k
Solución:
La sucesión
n∑
k=1
1
3k
es una progresión geométrica de primer término 1/3
y razón 1/3 .
Luego
n∑
k=1
1
3k
=
1
3
(
1− (1/3)n
1− 1/3
)
=
1− (1/3)n
2
Asi ĺım
n→∞
n∑
k=1
1
3k
= ĺım
n→∞
1− (1/3)n
2
= 1/2
( ya que ĺım
n→∞
(1/3)n = 0 )
c) ĺım
n→∞
(n + 2)n
(n + 1)n
Solución:
ĺım
n→∞
(n + 2)n
(n + 1)n
= ĺım
n→∞
(
n + 2
n + 1
)n
= ĺım
n→∞
(
1 + 2/n
1 + 1/n
)n
=
e2
e
= e
2. Calcule siguientes limites de funciones
a) ĺım
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
Solución:
Una forma : Hacer u6 = x −→ u2 = 3√x , u3 = √x y x −→ 1, u −→ 1
Luego ĺım
x→1
3
√
x− 1√
x− 1 = ĺımu→1
u2 − 1
u3 − 1 = ĺımu→1
(u− 1)(u + 1)
(u− 1)(u2 + u + 1) = 2/3
b) ĺım
x→0
tan x− sen x
x3
Solución:
ĺım
x→0
tan x− sen x
x3
= ĺım
x→0
sen x
cos x
− sen x
x3
= ĺım
x→0
sen x(1− cos x)
x3 cos x
= ĺım
x→0
sen x
x
· 1− cos x
x2
· 1
cos x
= 1 · 1
2
· 1
= 1/2
Ya que ĺım
x→0
sen x
x
= 1 , ĺım
x→0
1− cos x
x2
= 1/2
3. Sea f una función definida por : f(x) =
sen x
x2 − x
a) Encuentre los x ∈ R para los cuales f no está definida.
Solución:
Es claro que Domf = R − {0, 1} , luego f no está definida para x = 0 y
x = 1.
b) ¿Es posible definir la función f en los puntos encontrados en (a) de modo
que f sea continua en dichos puntos?
Solución:
La función se puede definir en el 0 y en el 1 siempre que halla limite
en esos valores.
Veamos que pasa con el limite en 0: ĺım
x→0
sen x
x2 − x = ĺımx→0
sen x
x
1
x− 1 = −1
luego f es continua en el 0 siempre que f(0) = −1.
Ahora veamos que pasa con el limite en 1:
Primero ver que si ĺım
x→x0
f(x) = L 6= 0 y ĺım
x→x0
g(x) no existe, entonces
ĺım
x→x0
f(x)g(x) no existe.
Lo que ocurre con ĺım
x→1
sen x
x2 − x ya que ĺımx→1
sen x
x
existe y ĺım
x→1
1
x− 1
no existe
Pues la función h(x) = 1
x−1 no es acotada en una vecindad del 1 , es decir,
si x tiende al 1 por la derecha la función h se va al infinito , y si x tiende
a 1 por la izquierda entonces h tiende a −∞
(ver gráfico:)
x=1
x
y
4. Indique donde la función f(x) = ĺım
n→∞
1
1 + x2n
es discontinua.
Grafique la funcin f .
Solución:
Si −1 < x < 1 entonces ĺım
n→∞
xn = 0 −→ f(x) = ĺım
n→∞
1
1 + x2n
= 1
Si x > 1 o x < −1 la sucesión {x2n} es est. creciente
luego ĺım
n→∞
x2n = ∞
Asi f(x) = ĺım
n→∞
1
1 + x2n
= 0
Ahora si x = 1 o x = −1 −→ f(x) = ĺım
n→∞
1
1 + x2n
= 1/2
De donde se concluye:
f(x) =



1 si − 1 < x < 1
0 si x < −1 o x > 1
1/2 si x = −1 o x = 1
Asi f es discontinua en x = 1 y en x = −1
Ya que ĺım
x→1+
f(x) = 0 y ĺım
x→1−
f(x) = 1 y
ĺım
x→−1+
f(x) = 1 y ĺım
x→1−
f(x) = 0
El gráfico de f es :
o
O
O
–1
O
O
1
o