Examen 2005 I - Erick Noguéz Vera

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2005
MAT210E * Solución del Examen
1. (a) Si y es una función definida impĺıcitamente por la ecuación
(1− 2x) ey/x = x
entonces demuestre que y satisface la ecuación x y′− y = x(1+2 ey/x)
Solución
Derivando implicitamente la ecuación (1− 2x) ey/x = x se tiene:
−2 ey/x + (1− 2x) ey/x(y ′
x
− y
x2
) = 1
ey/x(−2 + (1− 2x)
x2
(x y ′ − y)) = 1
x y ′ − y = x
2(1 + 2 ey/x)
(1− 2x) ey/x
x y ′ − y = x
2(1 + 2 ey/x)
x
x y ′ − y = x(1 + 2 ey/x)
(b) Demuestre que la función f(x) = arc cos
(
2 cos x + 1
cos x + 2
)
−2 arctan
(
1√
3
tan
(x
2
))
es constante en [0, π] e indique el valor de la constante.
Solución
Sea A = arcc cos
(
2 cos x + 1
cos x + 2
)
, entonces
A ′ = − 1√
1− (2 cos x+1
cos x+2
)2
(
2 cos x + 1
cos x + 2
) ′
= − cos x + 2√
3senx
(− 3 senx
(cos x + 2)2
)
=
3√
3 (cos x + 2)
Sea B = arctan
(
1√
3
tan
(x
2
))
, entonces
B ′ =
1
1 + 1
3
tan2(x/2)
sec2(x/2)
2
√
3
=
3√
3 (1 + cos x)
3 +
1− cos x
1 + cos x
aqui usamos que:
cos2 (x/2) = 1+cos x
2
sen2 (x/2) = 1−cos x
2
=
3√
3
4 + 2cos x
=
3
2
√
3(2 + cos x)
y como f(x) = A − 2B −→ f ′(x) = A′ − 2B′ , reemplazando se
tiene que:
f ′(x) = 0 , para todo x
es decir f es constante, y como f(π/2) = 0 , entonces
f (x) = 0 , para todo x
2. ¿En qué puntos de la curva y = 2x3 + 13x2 + 5x + 9 las rectas tangentes
pasan por el origen?
Solución
La ecuación de la tangente debe ser de la forma y = mx
donde m = dy/(dx) = 6x2 + 26x + 5 en el punto de tangencia.
En dicho punto deben satisfacerse ambas ecuaciones, es decir
2x3 + 13x2 + 5x + 9 = (6x2 + 26x + 5)x
De aqúı que las abscisas de los puntos de tangencia deben satisfacer la
ecuación
4x3 + 13x2 − 9 = 0
Esta ecuación tiene claramente ráız -1 al que corresponde una ordenada de
15.
Dividiendo la ecuación anterior por x + 1 se obtiene 4x2 + 9x − 9 = 0 ,
que tiene ráıces -3, -3/4 con ordenadas correspondientes 57 y 669/32.
De modo que los puntos son (-3, 57), (-1, 15), (3/4, 669/32).
3. Dada la función f(x) =
(x + 1)2
x
analice el grafico de f indicando:
Solución
(a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento del gráfico de f .
La función es creciente en ]−∞ , −1] y en ]1,∞[
y es decreciente en ]− 1, 0[ y en ]1,∞[
(b) Encuentre los puntos cŕıticos de f .
1 y −1
(c) Analice los extremos locales de f (máximos y mı́nimos).
f(1) = 4 es un minimo local de f
f(−1) = 0 es un maximo local de f
(d) Determine si el gráfico de f tiene aśıntotas y diga cuales son.
Las asintotas son: x = 0 y y = x + 2
(e) Diga donde el gráfico de f es concavo hacia arriba y donde es concavo
hacia abajo.
El gráfico de f es concavo hacia arriba si x > 0
El gráfico de f es concavo hacia abajo si x < 0
(f) Determine si el gráfico de f tiene o no puntos de inflexión.
Diga cuales son.
No hay puntos de inflexión.
(g) Esboce el gráfico de f .
x
–1
1
y
4. Se desea construir una caja rectangular sin tapa , con volumen igual a 10m3
y tal que el largo de su base sea el doble del ancho. Si el material para
construir la base cuesta 10 dólares el metro cuadrado y el material para con-
struir los costados cuesta 6 dólares el metro cuadrado, entonces determine
cuales deben ser las dimensiones de dicha caja de manera que el costo de
construcción sea mı́nimo.
Solución
Supongamos que el ancho de la base de la caja es igual a x y el alto de la
caja es igual a y, entonces el área de la base es 2x2 y por tanto el costo de
fabricación de la base es 20x2.
Como la suma de las áreas de los costados es 6x y , entonces el costo de
fabricación de los costados es 36x y.
Asi el costo total de fabricación es: C = 20x2 + 36x y
Por otro lado como el volumen es V = 10m3 entonces:
2x2 y = 10 −→ y = 5
x2
y por tanto C es una función de x y queda:
C(x) = 20x2 + 36x
5
x2
= 20x2 +
180
x
(función a minimizar)
C ′(x) = 40x− 180
x2
= 0 −→ 40x3 − 180 = 0 −→ x3 = 9/2
Luego x0 =
3
√
9
2
es un punto critico de la función C y como
C ′′(x) = 40 +
360
x3
−→ C ′′(x0) > 0 y por el criterio de la segunda derivada
se tiene que en x0 hay un minimo. Es decir si las dimensiones de la caja son:
ancho de la base x0 =
3
√
9
2
, largo de la base 2x0 = 2
3
√
9
2
y altura
y =
5
( 3
√
9
2
)2
entonces el costo de fabricación es minimo.