Demostraciones de propiedades de funciones de varias variables continuas

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ciencias F́ısico Matemáticas
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Dr. Julio Erasto Poisot Macias
Ejercicios del caṕıtulo 2.2: Continuidad.
Dı́az Lievano Lázaro Raúl
Abril 2021
2.24 Reescribe la demostración del teorema 2.5, parte (a), justificando los siguientes pasos.
a) Sea X en D y sea � > 0 una tolerancia. Demuestre que hay un δ > 0 de modo que si ||X − Y || < δ
entonces |f(X)− f(Y)| < 12� y |g(X)− g(Y)| <
1
2�
SOLUCIÓN:
Sea δ = min{δf , δg} tal que ||X − Y || < δf entonces |f(X) − f(Y)| < 12�, de igual forma con δg.
Entonces, por como definimos a δ podemos decir que ||X − Y || < δ entonces
|f(X)− f(Y)| < 1
2
� y |g(X)− g(Y)| < 1
2
�
y sumando estas expresiones
|f(X)− f(Y)|+ |g(X)− g(Y)| < �
2
+
�
2
= �
b) Demuestre que
|f(X)− f(Y) + g(X)− g(Y)| ≤ |f(X)− f(Y)|+ |g(X)− g(Y)| < �.
SOLUCIÓN:
Usando la desigualdad del triangulo es sencillo ver que esto es cierto
|a+b| ≤ |a|+ |b|
Entonces
|f(X)− f(Y) + g(X)− g(Y)| ≤ |f(X)− f(Y)|+ |g(X)− g(Y)| < �.
c) Demuestre que esto prueba que f + g es continua en X.
SOLUCIÓN:
Reagrupando terminos llegamos a que
|f(X)− f(Y)|+ |g(X)− g(Y)| = |(f + g)(X− (f + g)(Y| < �
y dado que � puede ser tan pequeño como queramos, esto demuestra que es continua en X.
2.25 Supongamos que F(x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn)) es una función continua de Rn a R2, y g
es una función continua de R2 a R. Demuestra lo siguiente. (Esta es una forma alternativa de demostrar las
partes (a) y (b) del Teorema 2.5).
a) la composición g ◦ F es continua.
SOLUCIÓN:
A partir de la continuidad de la composición de g con F, sea � > 0, existe un δ, de manera que si
||F(B)−F(A)|| < δ entonces |g(F(B))−g(F(A))| < � y hay un numero a, de modo que si ||A−B|| < a
entonces |F(B)− F(A)| < δ por lo que ||A−B|| < δ entonces |g(F(B))− g(F(A))| < �
b) La función g(x, y) = x+ y es continua.
SOLUCIÓN:
A partir de la linealidad de una función podemos determinar si esta es continua, entonces, comprobemos
las dos propiedades de las funciones lineales
Sea c un numero cualquiera
T (c(x, y) = T (cx, cy) = cx+ cy = c(x+ y) = cT (x, y)
1
Sea V = (x1, y1) y U = (x2, y2)
T (V + U) = T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x+ 1 + x+ 2, y1 + y2) = x+ 1 + x+ 2 + y1 + y2
= x1 + y1 + x2 + y2 = T (x1, x2) + T (x2 + y2) = T (V) + T (U)
Por lo tanto la función g(x, y) = x+ y es continua.
c) Suponga que f1 y f2 son funciones continuas de Rn a R. Utilice las partes (a) y (b) para demostrar
que f1 + f2 es continua.
SOLUCIÓN:
Sea g(x, y) = x+ y por inciso (a), además por inciso (b), dado que las funciones continuas forman un
espacio vectorial, es cerrada bajo la operacion suma, por lo tanto f1 + f2 es una función continua.
d) Suponga que f1 y f2 son funciones continuas de Rn a R. Utilice el inciso a) y alguna función g para
mostrar que el producto f1f2 es continuo.
SOLUCIÓN:
Sea g(x, y) = xy por inciso (a), ahora, demostremos que nuestra función es continua en el intervalo
(a,b)
Demostración: Si ||(x, y)− (a, b)|| < δ entonces
|xy − ab| = |xy − xb+ xb− ab| < (|a|+ δ)δ + δb < Mδ
Por lo tanto la función es continua.
2.26 Demuestre que la función
f(x, y, z) =
sin(x2 + y2)
ez+y
es continua en todos los puntos (x, y, z).
2.27 La pendiente de la gráfica de cos(cx) está en el intervalo [−c, c]. Completa los números que faltan.
a) Si |x− a| < (?) entonces | cos(2x)− cos(2a)| < �.
SOLUCIÓN: �2
b) Si |y − b| < δ entonces | cos(3y)− cos(3b)| < (?).
SOLUCIÓN: 3δ
c) Si ||(x, y)− (a, b)|| < (?) entonces | cos(2x) cos(3y)− cos(2a) cos(3b)| < �.
SOLUCIÓN: Sabemos que |x− a| < ||(x, y)− (a, b)|| y |y − b| < ||(x, y)− (a, b)||. Si consideramos
||(x, y)− (a, b)|| < m
Entonces
| cos (2x) cos (3y)− cos (2a) cos (3b)| = |(cos (2x)− cos (2a)) cos (3y) + cos (2a)(cos (3y)− cos (3b))|
≤ | cos (2x)− cos (2a)| | cos (3y)|+ | cos (2a)| |(cos (3y)− cos (3b))|
| cos (2x)− cos (2a)|+ | cos (3y)− cos (3b)| < 2m+ 3m = 5m
Por lo tanto, el dato faltante es m = �5 .
2.28 Según el teorema del valor intermedio de una variable, una función continua función f sobre un intervalo
cerrado asume todo valor entre sus valores en los puntos extremos. Supongamos ahora que D ⊂ Rn es un
conjunto en el que dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una curva (D es conexo) y que f : D → Rn
sea continua. Justifique los siguientes pasos para demostrar que si y es un número entre dos valores de f
entonces y es un valor de f .
Supongamos que A y B son puntos de D y y un número con
f(A) < y < f(B).
2
a) Demuestre que existe una curva X(t), a ≤ t ≤ b, en D con X(a) = A, X(b) = B.
b) La composición f ◦X es continua en [a, b].
c) f(X(a)) < y < f(X(b))
d) Existe un número t1 en [a, b] tal que f(X(t1)) = y.
2.29 Una función f de R2 a R es continua en el disco x2 + y2 ≤ 1, el máximo valor de f es 10 y f(1, 0) = 10,
f(0, 14 ) = −10. ¿Cuáles son verdaderas?
a) f(x, y) = 0 en algún punto del disco.
SOLUCIÓN:
Es verdadero dado que 0 esta entre los valores de f(1, 0) y f
(
0, 14
)
, ademas, consideramos la continuidad
de la funcion de una variable g(t) = f(X(t)) donde X(t) parametriza el segmento de linea desde (1, 0)
a (0, 14 ). Y por el teorema del valor intermedio para funciones continuas de una variable, existe un t1
que satisface g(t1) = 0.
b) f tiene un valor mı́nimo en el disco.
SOLUCIÓN:
Es verdadera
c) −10 es el valor mı́nimo de f en el disco.
SOLUCIÓN:
Es falso porque existen funciones f para el cual esto no es cierto.
d) Si x2 + (y − 14 )
2 es lo suficientemente pequeño, entonces f(x, y) < −9.98. SOLUCIÓN:
Es verdadero porque f es continua en el intervalo
(
0, 14
)
., si x ← 0 entonces se puede cumplir la
implicación.
2.30 Una función f de R3 a R es continua en un conjunto abierto que contiene al cubo donde 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, el valor máximo de f en el cubo es 10 y f(0, 15 , 1) = 5. ¿Cuáles son verdaderas?
a) f tiene un valor mı́nimo en el cubo.
b) f(0, 0, 0) es el valor mı́nimo de f en el cubo.
c) f(x, y, z) = 2π en algún punto del cubo.
d) f podŕıa ser 10 en dos puntos.
e) Si x2 + (y − 12 )
2 + (z − 1)2 es lo suficientemente pequeño, entonces f(x, y, z) > 4.98.
2.31 Una función f de R3 a R es continua en R3. Demuestre que estas funciones son continuas.
a) 10 + xf(x, y, z) en R3
SOLUCIÓN:
Notemos que tanto la función f(x, y, z), f1 = 10 y f2 = x son funciones continuas, donde el producto de
funciones continuas y la suma siguen siendo continuas, esto significa que estas operaciones son cerradas.
Aśı, esta combinación de funciones continuas sigue siendo continuas.
Por lo tanto, śı es continua.
b) f(x, y, z) en R2
SOLUCIÓN:
sigue siendo continua dado que f(x, y, z) es continua en todo R3, esto es R × R × R, asi es continua
tanto en R y R2.
3
c) f(x1x2, x2x3, x3x4) en R4
SOLUCIÓN:
El término x4 seŕıa cero, dado que f es continua en R4, aun asi seria continua en R3.
2.32 Una función continua f : (a, b)→ R en un intervalo abierto no tiene necesariamente un valor máximo
o mı́nimo.
a) Dé un ejemplo de una función continua f : (0, 1)→ R con valores arbitrariamente grandes.
b) Dé un ejemplo de una función continua g : (0, 1) → R que esté acotada pero que no alcanza un valor
máximo o mı́nimo.
2.33 Dibuja la gráfica de f(x1, x2) = x2 en x
2
1 + x
2
2 ≤ 2 y encuentra el valor máximo de f .
2.34 ¿Cuál de los siguientes conjuntos está acotado?
a) Los puntos de R3 donde x2 + y2 + z2 = 25.
SOLUCIÓN:
Esta acotado dado que es una esfera de radio 5.
b) Los puntos de R3 donde x2 + y2 − z2 = 1.
SOLUCIÓN:
Supongamos que el conjunto A = {(x, y, z) : x2 + y2 − z2 = 1} es acotado, entonces existe k > 0 tal
que ||(x, y, z)|| < k, para todo vector que pertenece a A, entonces
x2 + y2 − z2 = 1⇔ x2 + y2 − 1 = z2 ≤ x2 + y2 + z2 < k2
Pero el punto (
√
k2 + 1, k,
√
2K) pertenece a A, entonces
k2 + 1 + k2 − 1 = 2k2 < K =⇒ 2 < 1
lo cual es una contradicción, por lo tanto no es acotado.
c) Los puntos de R3 donde x < 1 y y < 1.
SOLUCIÓN:
No esta acotado dado que elsupremo podŕıa ser cualquier punto (1, 1, z) donde z ∈ R.
2.35 Demuestre que el conjunto x2 + y2 < 1 en R3 es un conjunto abierto.
SOLUCIÓN:
Sabemos que la desigualdad x2 + y2 < 1 limita (x, y) al disco unitario abierto y no tiene alguna restricción
en z. Alrededor de todos los puntos del disco de la unidad puede centrar un pequeño disco abierto contenido
en el disco de la unidad. Para cada punto (x, y, z) hay una pequeña bola abierta de ese mismo radio pequeño
centrado en (x, y, z) y contenido en el cilindro. Por lo tanto el cilindro está abierto.
2.36 Sea S el conjunto R2 con el origen eliminado. Demuestre que 0 es un punto ĺımite de S.
2.37 Sea T la región triangular en R2 definida por x ≥ 0, y ≥ 0 y x+ y ≤ 1.
a) Describe el ĺımite de T .
SOLUCIÓN:
El limite de T son x = 0, y = 0 y x+ y = 1
b) Demuestre que el punto (.0001, .9998) es un punto interior de T .
SOLUCIÓN:
Desde el borde izquierdo tenemos el punto 0.0001 y verticalmente el punto 0.0001, por lo que 0.0001√
2
>
0.0005 distancia de la hipotenusa. Tomamos a r = .00001. Si Q es cualquier punto dentro de la distancia
4
r de (.0001, .9998) entonces Q ciertamente está dentro de un cuadrado .0001 − r ≤ x ≤ .0001 + r,
.9998−r ≤ y ≤ .9998+r, es decir, .00009 ≤ x ≤ .00011, .99979 ≤ y ≤ .99981. El punto superior derecho
de ese cuadrado es (.00011, .99981), todav́ıa dentro de T porque .00011 + .99981 = .999982 < 1.Dado
que este pequeño cuadrado está contenido en T , un disco de radio r centrado en (.0001, .9998) también
está contenido en T .
2.38 Indique el dominio de cada función. ¿Está cerrado el dominio? ¿encerrado? ¿Es f continuo? ¿Tiene f un
máximo? ¿un mı́nimo?
a) f(X) = e−||X||
2
donde X está en R2.
b) f(x, t) = (4t)
1
2 e
−x2
4t
c) f(X, t) = (4t)−
n
2 e−
||X||2
4t donde X está en Rn.
d) f(x1, x2, x3, x4, x5) =
1√
x22+x
2
3+x
2
4
2.39 Considere la función lineal
F(X) =
(
−1 5
5 −1
)(
x1
x2
)
a) Encuentre un número c tal que ||F(X)|| ≤ c||X||.
SOLUCION:
F(X) =
(
−1 5
5 −1
)(
x1
x2
)
= −x1 + 5x2 + 5x1 − x2 = 4x1 + 4x2 = 4(x1, x2) = 4X
c = 4.
b) Encuentre un número d tal que ||F(X)− F(Y)|| ≤ d||X−Y||.
c) ¿F uniformemente continua?
2.40 En este problema demostramos el teorema 2.12. Suponga que F : C ⊂ Rn → Rm es continuo en un
conjunto cerrado y acotado C. Sea F uniformemente continuo en C, o no lo sea. Justifique las siguientes
afirmaciones que muestran que la afirmación de que F no es uniformemente continua en C conduce a una
contradicción, por lo tanto, F es uniformemente continua.
a) Dado que f no es uniformemente continua, existe cierta tolerancia y una secuencia de pares de puntos
Xk , Yk en C, k = 1, 2, 3, ... tal que ||Xk −Yk|| < 1k y
||F(Xk)− F(Yk)|| ≥ �
b) Como vimos en la demostración del Teorema 2.11, la secuencia Xk debe tener una subsecuencia Xki
que converja a un punto X en C. Entonces ||Xki −Yki || < 1ki y como F es continua
ĺım
ki→∞
F(Xki) = F(X).
c) Utiliza la desigualdad del triángulo
||X−Yki || ≤ ||X−Xki ||+ ||Xki −Yki ||
para demostrar que los Yki también convergen a X.
d) Las secuencias F(Xki) y F(Yki) convergen a F(X).
5
e) Esto contradice a ||F(Xki)− F(Yki)|| ≥ �.
f) F es uniformemente continua en C.
2.41 Sea C un vector en Rn y sean X y Y vectores en Rn. Utilice la desigualdad de Cauchy-Schwarz
|A ·B| ≤ ||A||||B||
para probar:
a) la función f(X) = C ·X de Rn a R es uniformemente continua,
SOLUCIÓN:
Si C = 0 la función es constante entonces es uniformemente continua. Por otro lado si C 6= 0, tenemos
que
|f(X)− f(Y)| = |C · (X−Y)| ≤ ||C||||X−Y||.
Sea � > 0, para cualquier X y Y con ||X−Y|| < �||C|| , entonces |f(X)− f(Y)| < �.
Por lo tanto es una función uniformemente continua
b) la función g(X,Y) = X ·Y de R2n a R es continua.
SOLUCIÓN:
Este es un polinomio en las variables (x1, ..., xn, y1, ..., yn), por lo tanto es continuo.
2.42 Sea f(X) = ||X|| y g(X) = ||X||2, para X en Rn.
a) Poner ejemplos de puntos X y Y separados una unidad entre śı, tales que
|g(Y)− g(X)| > 1060.
b) Demuestre que f es uniformemente continua.
c) Demuestre que g no es uniformemente continua.
2.43 Consideremos la función f(X) = 1X en el conjunto D en R
n donde ||X|| ≥ 2. Utilizar la identidad
1
||X||
− 1
||Y||
=
||Y|| − ||X||
||X||||Y||
para demostrar que f es uniformemente continua en D.
SOLUCION: Consideremos que ||X|| ≥ 2, entonces 1||X|| ≤
1
2 . Asi mismo para ||Y||. Por lo tanto∣∣∣∣ 1||X|| − 1||Y||
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ||Y|| − ||X||||X||||Y||
∣∣∣∣ ≤ 14 ||X|| − ||Y|| ≤ 14 ||X-Y||
lo cual significa que sea uniformemente continua.
2.44 Supongamos que F es una función de Rn a Rm con la siguiente propiedad. Para toda secuencia
X1,X2,X3, ... que converge a X en el dominio de F, la secuencia F(X1),F(X2),F(X3), ... converge a F(X).
Justifica los siguientes pasos para demostrar que F es continua.
a) Si F no es continua en un punto A, entonces hay algún � > 0 de modo que para cada δ hay un punto
B con
||AB|| < δ y ||F(A)− F(B)|| > �.
b) Si F no es continua en un punto A, entonces hay algún � > 0 de modo que para cada entero k > 0 hay
un punto Xk con
||A−Xk|| <
1
k
y ||F(A)− F(Xk)|| > �.
c) Si F no es continua en un punto A, entonces hay una secuencia X1,X2,X3, ... convergiendo a A tal
que la secuencia F(X1),F(X2),F(X3), ... no converge a F(A).
6