Prueba 2 2006 II - Erick Noguéz Vera

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MAT 110E - Cálculo 1
Interrogación N◦ 2
1.
Sea f una función definida para todo x ∈
R cuyas únicas ráıces son x = 0 y x = 3.
La figura del lado muestra el gráfico
de la derivada de f.
Indique, justificando cada una de sus re-
spuestas,
2−3
a) Los intervalos en los que f es creciente
Respuesta : f es creciente en I si y sólo si f ′ > 0 alĺı.
Del gráfico vemos entonces que f es creciente en ] −∞, 0[ ∪ ]0, 2[ ¥
b) Los intervalos en los que f es cóncava hacia abajo
Respuesta : f es cóncava hacia abajo en I si y sólo si f ′′ < 0 alĺı, lo cual es
equivalente a que f ′ sea decreciente alĺı
Del gráfico vemos entonces que f es cóncava hacia abajo en ]−∞, −3[ ∪ ]0, 2[ ¥
c) Si acaso f posee un máximo absoluto y/o un mı́nimo absoluto y, de haberlos,
en qué puntos se alcanzan.
Respuesta : Vemos que en x = 2 la derivada f ′ cambia de positiva a negativa,
por lo cual alĺı hay un máximo local. Como es el único, es el máximo absoluto
de la función. Esto es, f alcanza su máximo absoluto en x = 2.
Por otra parte, si f tuviese un mı́nimo absoluto éste debiera ser también un
mı́nimo local, pero no hay mı́nimos locales y por tanto, f no alcanza un valor
mı́nimo en su dominio ¥
d) Esbozar el gráfico de f.
Respuesta :
−3 2 3
2. a) Demuestre que f(x) = 3x− 2 + cos
(π x
2
)
tiene exactamente una ráız real.
Respuesta : Tenemos que f(0) = −1 < 0 mientras que f(1) = 1 > 0. Luego,
como f es continua, por el Teorema del Valor Intermedio se deduce que f
tiene al menos una ráız en el intervalo ]0, 1[ .
Por otro lado, si tuviese más de una, debiera haber al menos una ráız de f ′
(por Rolle). Sin embargo,
f ′(x) = 3 − π
2
sen
(π x
2
)
≥ 3 − π
2
> 0
para todo x ∈ R. Luego, f ′ no tiene ráıces reales y por tanto f tiene a lo más
una sóla ráız.
Ambos hechos demuestran que f tiene exactamente una ráız real ¥
b) Demuestre que , ∀x > 0, x
1 + x2
< arctan(x).
Respuesta : Aplicamos el principio que dice que si f, g son dos funciones
derivables tales que f(a) = g(a) y, para x > a se cumple f ′(x) < g′(x),
entonces f(x) < g(x) ∀x > a.
En nuestro caso f(x) =
x
1 + x2
, g(x) = arctan(x) y a = 0.
Tenemos que f(0) = g(0) = 0 y, por otra parte,
f ′(x) =
(1 + x2) · 1 − x · 2x
(1 + x2)2
=
1− x2
(1 + x2)2
<
1
(1 + x2)2
<
1
1 + x2
= g′(x).
De este modo se demuestra la desigualdad pedida ¥
3. a) Si f(2) = 3 y f ′(x) =
√
x4 + 9, use diferenciales para hallar el valor aproxi-
mado de f(2, 05).
La aproximación obtenida, ¿es mayor o menor que el valor exacto?
Respuesta : La aproximación lineal (diferencial) nos dice que
f(2, 05) = f(2 + 0, 05) ≈ f(2) + f ′(2)× 0, 05.
Como f(2) = 3 y f ′(2) =
√
24 + 9 = 5, obtenemos
f(2, 05) ≈ 3 + 5× 0, 05 = 3, 25.
Ahora bien, la aproximación anterior equivale a reemplazar f(2, 05) por g(2, 05)
donde g(x) = f(2) + f ′(2) (x− 2) es la ecuación de la ĺınea tangente a la curva
y = f(x) en el punto (2, f(2) ) .
Como f ′(x) es creciente, entonces f ′′(x) > 0 y por ende f(x) es cóncava
hacia arriba, lo cual implica que la curva queda por encima de sus tangentes.
Por tanto, el valor aproximado arriba es menor que el valor exacto (es una
sub–estimación ¥
b) Encuentre los valores máximo y mı́nimo de f(x) =
ln(x)
x
en el intervalo [1, 4 ].
Respuesta : Tenemos que f es derivable en el intervalo y además
f(1) = 0 ; f(4) =
ln(4)
4
=
1
2
ln(2) .
Por otro lado,
f ′(x) =
x · 1x − ln(x) · 1
x2
=
1 − ln(x)
x2
.
Vemos que el único número cŕıtico de f ocurre cuando
f ′(x) = 0 ⇔ ln(x) = 1 ⇔ x = e,
punto que pertenece al intervalo.
Por tanto, los extremos se hallan entre f(1), f(e) y f(4).
Como f(e) =
ln(e)
e
=
1
e
y como
f ′′(x) =
−x + 2x(1− ln(x))
x2
=
x − 2x ln(x)
x2
tenemos que f ′′(e) = − 1
e
> 0.
Esto es, f(e) es un máximo local y por tanto f(e) es el máximo absoluto.
Por lo tanto, el valor mı́nimo es f(1) = 0 y el máximo es f(e) =
1
e
¥
4. El Gran Circo Chapat́ın se presenta en una carpa con capacidad para 2.700 especta-
dores. Con el precio del boleto fijado en $ 2.500 se registra una asistencia promedio
por función de 1.500 espectadores. Un estudio de mercado señala que por cada
$ 300 que disminuya el precio del boleto, la asistencia promedio aumentará en 500
personas. Hallar el precio de admisión que maximiza los ingresos provenientes de la
venta de boletos.
Respuesta : Sea N(p) el número de espectadores (en cientos) cuando el precio del
boleto es p cientos de pesos.
El ingreso total es, entonces, f(p) = pN(p).
Del enunciado se tiene que N(p) es lineal: N(p) = Ap + B para ciertos números
A, B. Tenemos que
N(25) = 15 = 25A + B y N(22) = 20 = 22A + B.
Despejando A y B del sistema anterior encontramos que
N(p) =
1
3
(−5p + 170 ) .
Ahora bien, como 0 ≤ N(p) ≤ 27 tenemos que
0 ≤ 170 − 5p ≤ 81 ⇒ 17, 8 ≤ p ≤ 34.
Aśı pues, debemos maximizar f(p) =
1
3
(−5p2 + 170p ) en el intervalo
17, 8 ≤ p ≤ 34.
Derivando, f ′(p) =
1
3
(−10p + 170 ) y por tanto
f ′(p) = 0 ⇔ p = 17,
valor que cae fuera del rango admisible para p.
Como f(17) es un máximo local de f(p) (ya que f ′′ < 0 ) tenemos que en el intervalo
17, 8 ≤ p ≤ 34 la función f es decreciente.
Luego, el máximo se alcanza para p = 17, 8. Esto es, un precio de $1780 por boleto,
lo cual implica un lleno total ¥