slides-clase15 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Ejemplos de derivación implícita
1. La ecuación x3 + y3 = 6xy es llamada el folio de Descartes.
1.1 Encuentre y′ en términos de x e y.
1.2 Encuentre la ecuación de la tangente al folio en el punto
(3, 3).
2. Encuentre y′ si
sen(x + y) = y2 cos x.
3. Demuestre que las curvas xy = c, x2 − y2 = k (c, k ∈ R) se
cortan en ángulos rectos (o sea, tenemos dos familias
ortogonales de curvas).
4. Dada la ecuación x3 + 3xy + y3 = 8 calcule y′ e y′′ en el
punto donde x = 2.
La derivada como tasa de cambio
Una interpretación de la derivada es como una tasa de cambio:
f ′(x0) indica cuánto cambia f (x) por cada unidad que cambia x.
Ejemplo
Supongamos que f (t) representa el número de bacterias
(contadas en millones) en un cultivo, en el tiempo t (medido en
horas) después de iniciado un experimento.
Así, por ejemplo, si f (0) = 2, entonces la población inicial era
de 2.000.000 bacterias.
Si f ′(2) = 0.1, quiere decir que dos horas más tarde las
bacterias están aumentando a razón de 100.000 por hora (o
sea, aproximadamente 28 por segundo).
Si a contar de ese momento se mantuviera esta tasa de
cambio, el valor de f (3) sería igual a f (2) + 0.1,
f (4) = f (2) + 0.2, etc.
Aunque esto no es necesariamente cierto, sí es una primera
aproximación al valor de f (3) o de f (4).
Diferenciales
Recordemos una de las notaciones usadas para representar
derivadas, y su relación con la definición de éstas:
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Informalmente (muy informalmente), podemos entender esto
como que la derivada es el cuociente entre dos cantidades
infinitesimales: dy y dx.
A estas cantidades infinitesimales las llamamos los
diferenciales de x e y, respectivamente, y corresponden a los
valores de ∆x y ∆y cuando el cambio es “infinitamente
pequeño”.
Aproximación por diferenciales
De la igualdad
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
,
abusando la notación, decir que
dy = dx · dy
dx
= dx · lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Decimos que esto es un abuso de notación, ya que estamos
hablando de cantidades infinitamente pequeñas, y no tenemos
una manera precisa de trabajar con éstas.
Sin embargo, la igualdad anterior puede ser utilizada para
estimar el valor de ∆y cuando ∆x es pequeño:
∆y ≈ dy
dx
·∆x.
El error en la aproximación anterior
¿Cuán buena es la aproximación anterior?
Para responder esta pregunta, definiremos el error absoluto
que se comete al utilizar esta aproximación como
E(∆x) =
∣∣∣∣∆y− dydx ·∆x
∣∣∣∣ .
Nótese que E es función de ∆x. Claramente,
lim
∆x→0
E(∆x) = 0,
pero esto no es sorprendente ya que, por ser y(x) diferenciable
es continua y por lo tanto lim
∆x→0
∆y = 0.
El error relativo en la aproximación anterior
Lo que sí es interesante es que, cuando ∆x→ 0, el error
relativo
R(∆x) =
E(∆x)
∆x
=
∣∣∣∣∆y∆x − dydx
∣∣∣∣
tiende a cero.
De hecho, se puede demostrar (¡ejercicio!) que, dada cualquier
aproximación lineal del tipo
y ≈ mx + n,
el límite del error relativo R(∆x) =
|f (x + ∆x)− (mx + n)|
∆x
cuando ∆x→ 0 es 0 si y sólo si m = f ′(x) y n = f (x)− xf ′(x).
Ejemplo de aproximación por diferenciales
Consideremos el siguiente ejemplo: calculemos
√
50 usando
diferenciales.
Como 50 = 49 + 1, podemos considerar
√
50 como f (49 + 1),
donde f (x) =
√
x y f (49) = 7. Así, ∆x = 1 y por lo tanto
∆y ≈ 1 · f ′(49).
Como f (x) =
√
x, f ′(x) = 12√x , de donde
f ′(49) = 1
2
√
49
= 12·7 =
1
14 .
Así,
∆y ≈ 1
14
,
de donde √
50 ≈
√
49 +
1
14
≈ 7.07143.
Ejemplo de aproximación por diferenciales (cont.)
Nótese que el error absoluto cometido es E(1) ≈ 0.000361, o
sea, menos de un 0.037%. Como ∆x = 1, el error relativo R(1)
es el mismo que el error absoluto.
Ejercicio
Demuestre que, en este mismo ejemplo, E(0.1) ≈ 3.64 · 10−6 y
R(0.1) ≈ 3.64 · 10−5.
Interpretación geométrica de la aproximación
¿Cuál es el significado,
desde un punto de vista ge-
ométrico, de nuestra fórmula
de aproximación?
Si conocemos el valor de y(x)
en un punto dado x, y cam-
biamos x en ∆x, el valor de
y(x + ∆x) que nos da la fór-
mula de aproximación corre-
sponde al punto de abcisa x+
∆x en la recta tangente a la
curva en (x, y(x)) (ver figura).
∆y
x+ x∆
x∆dy
dx
.
x
Un comentario sobre la notación
En todo el desarrollo anterior, hemos dicho que
∆y ≈ dydx ·∆x = y
′(x) ·∆x.
En algunos libros se identifica la idea de diferencial con la idea
de incremento, y la igualdad —aproximada— anterior se
expresa como
dy = y′(x) · dx.
En el contexto del desarrollo que hemos hecho, podemos
entender esto como que “dy es el valor de ∆y, aproximado
usando la aproximación lineal antes explicada, que
corresponde a un cambio en x de dx”.