slides-clase17 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Ejemplo de aproximación por diferenciales
Consideremos el siguiente ejemplo: calculemos
√
50 usando
diferenciales.
Como 50 = 49 + 1, podemos considerar
√
50 como f (49 + 1),
donde f (x) =
√
x y f (49) = 7. Así, ∆x = 1 y por lo tanto
∆y ≈ 1 · f ′(49).
Como f (x) =
√
x, f ′(x) = 12√x , de donde
f ′(49) = 1
2
√
49
= 12·7 =
1
14 .
Así,
∆y ≈ 1
14
,
de donde √
50 ≈
√
49 +
1
14
≈ 7.07143.
Ejemplo de aproximación por diferenciales (cont.)
Nótese que el error absoluto cometido es E(1) ≈ 0.000361, o
sea, menos de un 0.037%. Como ∆x = 1, el error relativo R(1)
es el mismo que el error absoluto.
Ejercicio
Demuestre que, en este mismo ejemplo, E(0.1) ≈ 3.64 · 10−6 y
R(0.1) ≈ 3.64 · 10−5.
Interpretación geométrica de la aproximación
¿Cuál es el significado,
desde un punto de vista ge-
ométrico, de nuestra fórmula
de aproximación?
Si conocemos el valor de y(x)
en un punto dado x, y cam-
biamos x en ∆x, el valor de
y(x + ∆x) que nos da la fór-
mula de aproximación corre-
sponde al punto de abcisa x+
∆x en la recta tangente a la
curva en (x, y(x)) (ver figura).
∆y
x+ x∆
x∆dy
dx
.
x
Un comentario sobre la notación
En todo el desarrollo anterior, hemos dicho que
∆y ≈ dydx ·∆x = y
′(x) ·∆x.
En algunos libros se identifica la idea de diferencial con la idea
de incremento, y la igualdad —aproximada— anterior se
expresa como
dy = y′(x) · dx.
En el contexto del desarrollo que hemos hecho, podemos
entender esto como que “dy es el valor de ∆y, aproximado
usando la aproximación lineal antes explicada, que
corresponde a un cambio en x de dx”.
Tasas de cambio relacionadas
Considérense dos cantidades (digamos, A y B). Si A depende
de B, la derivada
dA
dB
nos indica cuánto varía A por cada unidad
que cambie B. Llamamos a esto la tasa de cambio de A con
respecto a B.
A partir de esto, usando la propiedad que define la derivada de
la función inversa, descubrimos que la tasa de cambio de B
con respecto a A es
dB
dA
.
Consideremos ahora la situación en que tenemos tres
cantidades, A, B y C, relacionadas entre sí. Si conocemos dos
de las tasas de cambio entre ellas (y no sólo las dos inversas
que relacionan dos de estas tres cantidades), podemos
encontrar todas las otras tasas de cambio.
Tasas de cambio relacionadas (cont.)
Una primera forma de encontrar la tasa de cambio entre dos
cantidades conociendo tasas de cambio que las relacionan con
una tercera está dada por la regla de la cadena:
dA
dC
=
dA
dB
· dB
dC
.
Si en lugar de conocer la tasa de cambio de una cantidad
respecto a otra, y la de ésta respecto a una tercera,
conocemos las tasas de cambio de dos cantidades A y B
respecto a una tercera C, podemos obtener la tasa de cambio
que relaciona las dos primeras como sigue:
dA
dB
=
dA
dC
· dC
dB
=
dA
dC
· 1dB
dC
=
dA
dC
dB
dC
.
En la deducción de esta igualdad aplicamos tanto la regla de
la cadena como la de la derivada de la función inversa.
Ejemplo
Supongamos que se infla un globo esférico, a razón de 10000
cm3 por segundo. ¿Con qué rapidez está aumentando el radio
en el momento en que éste mide 30cm.?
Solución
Consideramos las tres variables V (volumen), t (tiempo) y r
(radio).
Sabemos que
dV
dt
= 10000 [cm3/seg], y que V =
4
3
πr3.
De esta última ecuación deducimos que
dV
dr
= 4πr2.
Así, conocemos
dV
dt
y
dV
dr
, por lo que podemos deducir
dr
dt
=
dr
dV
· dV
dt
=
1
dV
dr
· dV
dt
=
1
4πr2
· 10000 = 2500
πr2
.
Cuando r = 30, tenemos que
dr
dt
=
2500
π(30)2
=
50
18π
≈ 0.8842 [cm/seg].
O sea, el radio aumenta aproximadamente a razón de casi 9
mm. por segundo.
Otro ejemplo
Un OVNI (objeto volador no identificado) se eleva verticalmente
a una velocidad constante de 100m/seg. Un aterrado
transeúnte corre alejándose del punto de despegue a 8m/seg.
Cuando el OVNI se encuentra a 400 metros de altura, el
transeúnte ya está a 300 metros del punto de despegue. ¿A
qué razón está creciendo la distancia entre OVNI y transeúnte
en ese momento?
Solución
En la figura, sea d(t) la distancia (medida en metros) que
separa al transeúnte del OVNI en el instante t (medido en
segundos).
(300 + 8t) m.
(400 + 100t) m.
d(t)
Si llamamos h(t) a la altura del OVNI y x(t) a la distancia del
transeúnte al punto de despegue en ese momento, entonces
tenemos la relación
d(t)2 = x(t)2 + h(t)2.
Continuación del ejemplo
Derivando esta igualdad con respecto a t, tenemos
2d(t)d′(t) = 2x(t)x′(t) + 2h(t)h′(t).
Equivalentemente, d(t)d′(t) = x(t)x′(t) + h(t)h′(t).
Así, podemos despejar d′(t) como sigue:
d′(t) =
x(t)x′(t) + h(t)h′(t)
d(t)
.
Ahora bien: x′(t) y h′(t) son constantes, por lo que en todo
instante t se tiene x′(t) = 8 y h′(t) = 100.
Además, en el instante t que nos interesa se tiene x(t) = 300,
h(t) = 400, y por lo tanto
d(t) =
√
3002 + 4002 = 100
√
32 + 42 = 500.
Continuación del ejemplo
Así, en el instante en cuestión,
d′(t) =
x(t)x′(t) + h(t)h′(t)
d(t)
=
300 · 8 + 400 · 100
500
=
42400
500
= 84.8,
y la velocidad buscada es 84.8m/seg.