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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 22 — Integral de Riemann.
La integral de Riemann: preliminares
Particiones de un intervalo
Definición
Dado un intervalo [a, b] ∈ R, diremos que P = (x0, x1, · · · , xn) es
una partición de [a, b] si y sólo si
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Ejemplo
Dado el intervalo [0, 3], tenemos que:
I P1 = (0, 1/3, 1, 2, 3) define una partición de [0, 3].
I P2 = (0, 1/5, 4/5, 9/5, 2) no es una partición de [0, 3]
(xn 6= 3).
I P3 = (0, 1/3, 2/3, 7/3, 2, 3) tampoco es una partición de
[0, 3] (7/3 > 2).
Norma de una partición
Definición
Dada una partición P = (x0, x1, · · · , xn) de [a, b], denotamos por
∆xi al ancho del intervalo [xi−1, xi] (1 ≤ i ≤ n). O sea,
∆xi = xi − xi−1. Definimos la norma de P (que denotamos por
||P||) como la longitud del mayor de los subintervalos definidos
por P, esto es:
||P|| = max {(xi − xi−1) : 1 ≤ i ≤ n} = max
1≤i≤n
∆xi.
Ejemplos
I La norma de la partición
P1 = (0,0.1,0.2,0.3,0.32,0.36,0.5,0.7,1) de [0, 1] es 0.3 (el
ancho del intervalo [0.7,1]).
I La norma de la partición
P1 = (0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1) de [0, 1] es
0.1 (todos los intervalos tienen ancho 0.1, por lo que el
mayor ancho es 0.1).
Sumas de Riemann
Sea f una función acotada, definida en [a, b], y sea P una
partición de [a, b],
P = (a = x0, x1, · · · , xn = b).
Para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}, sea αi ∈ [xi−1, xi] arbitrario, y
consideremos la suma
n∑
i=1
f (αi)∆xi.
Nótese que, geométricamente, esto representa la suma de las
áreas de los rectángulos construídos con base en el intervalo
[xi−1, xi] y de altura f (αi).
Notación
Llamaremos A a la lista ordenada de puntos αi (1 ≤ i ≤ n), y
denotaremos la suma anterior por
S(f ; a, b;P;A).
A esta suma la llamamos la suma de Riemann de la función f
correspondiente a la partición P en [a, b], con los puntos αi en
los intervalos [xi−1, xi] dados por A.
Sucesiones de particiones
Supongamos ahora que para cada k ∈ N tenemos una partición
Pk de [a, b] y una elección Ak de puntos αi en cada uno de los
intervalos de Pk. Así, tenemos una sucesión Π de particiones,
Π = (P1,P2,P3, . . . ),
y una sucesión A de elecciones de puntos en los intervalos,
A = (A1,A2,A3, . . . ),
y tiene sentido preguntarse si existen
lim
k→∞
||Pk|| y lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk;Ak).
De hecho, desde ahora en adelante sólo estaremos
interesados en sucesiones de particiones para las que
lim
k→∞
||Pk|| = 0.
Límites de las sumas de Riemann
Sea f una función definida en [a, b], acotada en dicho intervalo.
Sea P = (P1,P2,P3, . . . ) una sucesión de particiones de [a, b]
con la propiedad lim
k→∞
||Pk|| = 0, y sea A = (A1,A2,A3, . . . ) una
sucesión de elecciones de puntos en los intervalos de las
particiones de P (o sea, para cada k ∈ N, Ak es una elección
de puntos en los intervalos de Pk).
Nos interesa la existencia del límite
L = lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk;Ak).
Pero, más que en la existencia de este límite para una
sucesión de particiones, y una sucesión de elecciones de
puntos, estamos interesados en la situación respecto a todas
las posibles sucesiones de particiones, y todas las posibles
sucesiones de elecciones de puntos.
Definición de la integral de Riemann
Estamos en condiciones de definir la idea de integral .
Sea f una función con las propiedades antes enunciadas.
Si existe un número L tal que, dada cualquier sucesión
Π = (P1,P2,P3, . . . ) de particiones de [a, b] con la propiedad
lim
k→∞
||Pk|| = 0, y dada cualquier sucesión A = (A1,A2,A3, . . . )
de elecciones de puntos en los intervalos de las particiones de
P, se tiene L = lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk;Ak) = lim
k→∞
∑
i
f (αi)∆xi,
entonces diremos que f es integrable1 en [a, b], lo que
expresaremos como f ∈ R[a,b]. Al valor L lo llamamos la
integral de f sobre [a, b], y lo denotamos por
L =
∫ b
a
f (x)dx.
1Técnicamente, deberíamos decir que f es integrable en el sentido de
Riemann, o Riemann-integrable. Hay otras nociones de integrabilidad.
Definición de la integral de Riemann (cont.)
Note que, si f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b], entonces
b∫
a
f (x) dx nos
permite calcular el área bajo la curva y = f (x) en el intervalo
[a, b]. Si f no es ≥ 0, estamos calculando áreas signadas entre
la curva y el eje X.
Otro camino posible
Hay otra manera de definir la integral de Riemann, que no
veremos en detalle (en estricto rigor, esta manera es llamada
la integral de Darboux , pero es equivalente a la integral de
Riemann).
Definimos la integral de Darboux como sigue: dada una
partición P del intervalo [a, b], en lugar de considerar una
elección arbitraria de puntos αi ∈ [xi−1, xi] (y usar f (αi)∆xi en el
i-ésimo sumando), consideramos dos sumas distintas:
(i) en cada intervalo [xi−1, xi] tomamos como sumando Mi∆xi,
donde Mi = sup {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi} , o bien
(ii) en cada intervalo [xi−1, xi] tomamos como sumando mi∆xi,
donde mi = inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}.
Otro camino posible (cont.)
A la suma obtenida de la primera forma la llamamos la suma
superior de Darboux asociada a la partición P, y la denotamos
por S(f ; a, b;P). Análogamente, la suma obtenida de la
segunda forma es llamada la suma inferior de Darboux
asociada a la partición P, y la denotamos por S(f ; a, b;P).
Se puede demostrar que:
(a) dada cualquier partición P de [a, b], se tiene
S(f ; a, b;P) ≤ S(f ; a, b;P).
(b) Si P2 es un “refinamiento” de P1, entonces
S(f ; a, b;P1) ≤ S(f ; a, b;P2) ≤ S(f ; a, b;P2) ≤ S(f ; a, b;P1).
(c) Dadas dos particiones cualesquiera P1 y P2,
S(f ; a, b;P1) ≤ S(f ; a, b;P2).
Esto último se demuestra tomando un refinamiento común
de P1 y P2, y aplicando (a) y (b).
Integral superior e inferior
Definimos la integral superior de f en [a, b] como∫ b
a
f (x) dx = inf
{
S(f ; a, b;P) : P es partición de [a, b]
}
,
y la integral inferior de f en [a, b] como∫ b
a
f (x) dx = sup {S(f ; a, b;P) : P es partición de [a, b]} .
Gracias a la propiedad (c), se tiene
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
f (x) dx.
Si en vez de ≤ se tiene =, decimos que f es integrable en el
sentido de Darboux en [a, b], y decimos que la integral de f en
[a, b] es el valor común:∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx.
Equivalencia entre integrales de Darboux y Riemann
A continuación, sea Π = (P1,P2, . . . ) una sucesión de
particiones con la propiedad de que lim
k→∞
||Pk|| = 0.
Claramente, si existe la integral de Riemann
∫ b
a
f (x) dx
entonces
lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk) = lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk) =
∫ b
a
f (x) dx,
y como
lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ lim
k→∞
S(f ; a, b;Pk)
debe tenerse
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx, por lo que f es integrable
en el sentido de Darboux en [a, b].
Equivalencia entre las integrales de Darboux y
Riemann (cont.)
Lo que no es nada de obvio es que, si
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx,
entonces f es integrable en el sentido de Riemann en [a, b]
(esto es lo que no demostraremos en detalle).