6 Derivados - Yanet Santillan

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Clases pasadas 
• Ya hemos revisado el concepto de retorno y el 
concepto de riesgo (o volatilidad) 
• También vimos que las personas son aversas al 
riesgo 
• Las personas están dispuestas a invertir en 
activos riesgosos, solo si el retorno esperado 
compensa el riesgo adicional. 
• Hoy veremos como valorizar instrumentos de 
cuyo precio dependen del rendimiento de un 
activo subyacente 
 
 
 
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Activos Invertibles 
Balance de una empresa 
Renta Fija (Bonos, letras, 
leasing, etc.) 
Renta Variable (acciones) 
Derivados y 
otros 
alternativos 
El precio de los derivados depende del precio de un 
activo subyacente, ya sea un bono o una acción 
Países y Personas 
Empresa pública o privada 
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Pago de una acción 
• Si hoy compro una acción a un precio de “S”, y 
luego de un tiempo, el precio de la acción 
llega a “K”, yo gano si K>S, y pierdo si K<S. 
(pasa lo contrario si vendo corto una acción) 
 
 
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Fuente: The basics of Financial derivatives (careeranna.com) 
Las opciones me permiten 
beneficiarme del alza de la acción sin 
el riesgo de la perdida 
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• Una opción call, es un contrato que me da la opción 
de comprar en el futuro, un activo. A un precio 
fijado hoy. (También se puede tomar una posición 
corta en un call). 
• Una opción Put, es un contrato que me da la opción 
de vender en el futuro, un activo. A un precio fijado 
hoy. (También se puede tomar una posición corta en 
un Put). 
• Asumiremos para esta clase que todas las opciones 
son Europeas 
 
Opciones 
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• Estas opciones se venden en el mercado. 
• Estos gráficos corresponden al pago el día que 
vence el contrato 
Fuente: Stock Options(optionsalpha.com) 
Opciones 
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• Ejemplo 
– Precio acción Facebook 27-sept-13 → S0= $50 
– Opción Call con precio Strike K = $40 
– Fecha de expiración 30-sept-13 
 
• Si el 30-sept-13 el precio S>$40, ejerzo la opción y gano 
la diferencia 
• Si el 30-sept-13 el precio S<$40, no ejerzo la opción 
• Esta opción se puede comprar en el mercado a un 
precio de $11,1 
• La opción está “in the money” 
Opciones 
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Opciones 
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• Ejemplo 
– Precio acción Facebook 27-sept-13 → S0= $51 
– Opción Call con precio Strike K = $40 
– Fecha de expiración 30-sept-13 
 
 
 
– Esto matemáticamente es 
20 30 40 50 60
Call K = $40 0 0 0 10 20
Put K = $40 20 10 0 0 0
Flujo de mi opcion
Precio final de la accion de FB
Opciones 
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• Para que se usan normalmente las opciones? 
– Como Hedge (para reducir algún riesgo, e.g. riesgo 
de movimientos en el tipo de cambio, riesgo de 
cambio en tasas de interés, etc) 
– Para especular 
– Para pagar compensaciones a ejecutivos 
 
Opciones 
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• A quien se le ocurrió la idea de vender opciones? 
– Los derivados no son un fenómeno reciente. 
– Se cree que los primeros derivados se realizaron 
durante la edad media, para ayudar a granjeros y 
mercaderes (en la forma de seguros). 
– Los primeros derivados financieros son los warrants 
– Cuando una empresa quiere hacer un aumento de 
capital, le da la opción a los dueños actuales de 
mantener su participación en la empresa y se le regala 
una opción de comprar “nuevas acciones” a un precio 
preferente, en un futuro cercado, estos se llaman 
warrants. 
 
Opciones 
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• Como calculo el valor de una 
opción? 
– Fisher Black y Miron Scholes 
desarrollaron en 1973 un modelo para 
calcular el valor de un warrant. 
– El mismo año, Robert Merton publicó 
un estudio similar que también servía 
para calcular el precio de una opción 
– Por esto el modelo de calculo del precio 
de una opción se conoce como el 
modelo de Black-Scholes o el modelo 
de Black-Scholes-Merton 
Robert Merton 
PN Economía 1997 
Fisher Black 
Myron Scholes 
PN Economía 1997 
Opciones 
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• En que consiste el modelo de Black-Scholes 
– Asume que los retornos tiene un componente 
estocástico y uno determinístico 
 
– Donde V es el valor de la opción y W es la variable 
estocástica (o aleatoria). 
– Busco separar el componente estocástico del 
determinístico 
Opciones 
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• En que consiste el modelo de Black-Scholes 
– Existen varias formas de estimar el componente 
estocástico, los más conocidos son Ito Lemma, 
proceso de Wiener y movimiento Browniano. 
Norbert Wiener 
Opciones 
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• En que consiste el modelo de Black-Scholes 
– Finalmente derivo cada componente parcial y 
llego a la formula final de Black-Scholes 
 
 
 
 
– Donde C es el valor de una opción call 
Opciones 
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• ¿Como se calcula en la industria financiera? 
BLOOMBERG 
Opciones 
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• ¿Como se calcula en la industria financiera? 
Paridad Put - Call 
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• El precio de una opción Put esta estrechamente 
ligado al precio de una opción Call. (debido a 
que asumimos que no hay opción de arbitraje) 
• Intuición: 
Portafolio A = Portafolio B 
Paridad Put - Call 
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• Dos Portafolios que entreguen los mismos pagos 
tienen que tener exactamente el mismo precio (de lo 
contario hay posibilidad de arbitraje). 
• Esto tiene que pasar independiente de cual sea el 
instrumento que se use (Put más acción o Call más 
caja) 
C(t) + K * B(t,T) = P(t) + S(t) 
Donde: 
C(t)= Precio de la Call en t=0 
K = Strike Price 
B(t,T)= Tasa a la cual deposito la caja 
P(t) = Precio de la Put en t=0 
S(t) = Precio Spot del activo subyacente 
Paridad Put - Call 
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• Reordenando tengo que: 
 
 
• Esto implica que no hay oportunidades de arbitraje 
• Además, asume que puedo hacer un portafolio que 
replique el comportamiento de una call y una put 
• La parte izquierda de la ecuación implica que se 
invierte largo una Call y corto una Put 
• La parte derecha implica se compra el activo 
subyacente, financiado por un préstamo. 
C(t) - P(t) = S(t) - K * B(t,T) 
Modelo Binominal 
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• Es un modelo sencillo de valoración de opciones, 
• Asume que el precio de la acción, que hoy está en S0, 
puede subir hasta uS, o bajar hasta dS, la probabilidad 
de alza es de π y la probabilidad de caída es (1-π) 
 
 
 
 
• Además de invertir en la acción, podemos invertir en 
un bono libre de riesgo que paga una tasa de r 
• Por arbitraje sabemos que u > (1+r) > d 
S0 
uS 
dS 
π 
1-π 
Modelo Binominal 
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• Suponga que hay una Call con precio de ejercicio K, 
donde uS > K > dS, es decir, la call solo paga si el precio 
de la acción sube 
• Los flujos entregados por los tres activos son los 
siguientes 
 
 
 
• Para calcular el precio del Call debemos realizar una 
estrategia de replica, es decir debemos replicar los 
pagos del call, usando acciones y bonos 
Modelo Binominal 
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• Debemos comprar Qs acciones y Qb bonos tal que 
 
 
 
• Solucionamos estas ecuaciones y tengo que 
Modelo Binominal 
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• Ahora buscamos es portafolio replicable y tengo que: 
 
 
 
• La formula es intuitiva, si el precio de la acción sube, 
ejerzo y obtengo uS-K 
• No salen las probabilidades en la formula. Esto significa 
que las probabilidades están implícitas en el precio de 
la acción S. 
Estrategias con opciones 
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• Al combinar distintas inversiones (largo o corto) de 
distintas opciones (Call o Put), con distintos precios de 
ejecución (K), puedo obtener distintas alternativas de 
pago. 
Estrategias con opciones 
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• Straddle 
– Consiste en compra una call y una put con el mismo precio 
de ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
– Yo gano si el precio de la acción se mueve mucho 
Estrategias con opciones 
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• Short Straddle 
– Consiste en vender una call y una put con el mismo precio de 
ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
– Yo gano si el precio de la acción no se mueve mucho 
Estrategias con opciones 
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• Butterfly 
– Consiste en vender una call y una put con el mismo precio de 
ejercicio y además, limito la caída comprando una call larga 
(sobre el spot ) y vendiendo una put corta (bajo el spot). 
 
 
 
 
 
 
 
– Yo gano si el precio de la acción no se mueve mucho 
Estrategias con opciones29 
• Collar 
– Consiste en subyacente (la acción), compro una put con 
strike en K (Piso) y vendo una call con strike K+ Delta (techo 
 
 
 
 
 
 
 
– Limito mi perdida, a costa de limitar mi ganancia 
Estrategias con opciones 
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• Otros 
Strangle Covered Call 
Paridad Spot - Futuro 
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• A diferencia de las opciones, un futuro me obliga a 
comprar un activo en el futuro (T), a un precio 
predeterminado (F). 
• No hay flujo de caja en t=0 
• Si el precio spot S en T está sobre el precio F, yo gano, 
si no pierdo (y tengo que pagar la diferencia). 
Paridad Spot - Futuro 
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• Puedo generar los mismos flujos del futuro de manera 
alternativa 
– Compro hoy el subyacente por S0 y venderlo en E por ST 
– Financiar la compra con deuda tomada en t0 por F/(1+r) 
– Como no pueden haber flujos en t0, tengo que