slides-clase03 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Sucesiones crecientes, decrecientes y monótonas
Definición
Dada una sucesión (dn) definida para todos los naturales,
decimos que (dn) es creciente si dn < dn+1 para todo n ∈ N.
Si dn ≤ dn+1 para todo n ∈ N, entonces decimos que la
sucesión es no decreciente.
Los conceptos de sucesión decreciente y sucesión no
creciente se definen en forma análoga.
Una sucesión se dice monótona si es no creciente o si es no
decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión (an) se dice acotada superiormente si existe un
número c ∈ R tal que an ≤ c para todo n ∈ N.
Análogamente se define el concepto de sucesión acotada
inferiormente.
Si una sucesión es acotada superiormente e inferiormente,
diremos que es acotada.
Propiedades “a partir de algún punto”
Al estudiar sucesiones, estamos interesados esencialmente en
su comportamiento “para valores grandes de n”.
Así, por ejemplo, en algunos casos nos interesarán sucesiones
que, sin ser monótonas, son “monótonas a partir de un cierto
punto”.
O sucesiones que, sin ser positivas para todos los naturales,
son positivas “desde un cierto punto en adelante”.
Formalizamos esta noción como sigue: si (an) es una sucesión
y P es una propiedad que un término de la sucesión puede
tener o no, entonces decimos que los términos de la sucesión
satisfacen la propiedad P a partir de un cierto punto si existe
un n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0, an satisface la propiedad P.
A este n0 lo llamamos el “umbral”.
Una sucesión “acercándose a un punto”
Nos interesa formalizar la idea de que una sucesión “se acerca
cada vez más a un valor dado”.
Por ejemplo, intuitivamente, diríamos que la sucesión (an),
donde an =
1
n
, “se acerca cada vez más a cero”.
¿Cómo expresar esta idea en forma precisa?
Límite de una sucesión
Dada una sucesión (an) y un número real L, diremos que (an)
tiene límite L1 si dado cualquier intervalo abierto I centrado en
L hay sólo una cantidad finita de términos de (an) que cae fuera
de I.
Puesto de otra forma, diremos que (an) tiene límite L si, dado
cualquier real positivo ε, hay algún término de (an) a partir del
cual |an − L| < ε.
En forma aún más precisa, decimos que (an) tiene límite L si,
dado cualquier ε > 0, existe n0 tal que, dado cualquier n ≥ n0,
se tiene |an − L| < ε.
En símbolos:
lim
n→∞
an = L↔ ∀ε > 0(∃n0 ∈ N(∀n ∈ N(n ≥ n0 → |an − L| < ε))).
1O que (an) tiende a L cuando tiende a infinito, o que (an) converge a L.
Ejemplo
Usando la definición formal recién dada, ¿cómo es posible
demostrar que la sucesión (an) con an =
2
n + 3
tiene límite
cero?
La definición dice que, para todo ε > 0, existe un n0 ∈ N con
ciertas propiedades. ¿Somos capaces de encontrar un n0 con
esas propiedades para cada posible valor de ε > 0?
Por ejemplo: si ε =
1
10
, ¿qué valor de n0 es tal que
n ≥ n0 →
∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < ε?
Ejemplo. Determinando n0
Dado ε =
1
10
, buscamos n0 tal que
n ≥ n0 →
∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < ε.
Vemos que para hallar n0 debemos resolver la inecuación∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < 110 , o sea,
∣∣∣∣ 2n + 3
∣∣∣∣ < 110 . Como 2n + 3 > 0,∣∣∣∣ 2n + 3
∣∣∣∣ = 2n + 3 , por lo que la inecuación queda
2
n + 3
<
1
10
,
de donde n > 17.
Así, vemos que tomando n ≥ 18 podemos asegurar que
|an − 0| < ε, o sea, para ε =
1
10
nos sirve tomar n0 = 18 en la
definición de límite.
Ejercicio
Repita el proceso anterior para ε =
1
100
, o sea, encuentre n0 tal
que n ≥ n0 → |an − 0| <
1
100
.
Ejemplo (cont.)
Hemos demostrado que, si tomamos ε =
1
10
, es posible hallar
un n0 tal que n ≥ n0 → |an − 0| < ε. También es posible hallar
un n0 con esas propiedades si ε =
1
100
.
¿Es esto suficiente para demostrar que
lim
n→∞
2
n + 3
= 0?
En realidad no. La definición dice que, para que lim
n→∞
2
n + 3
= 0,
debe ser posible hallar un n0 con esas propiedades sin
importar el valor de ε, siempre que éste sea positivo.
Hallando n0 en general
Así, para demostrar que (an) tiene límite 0 en el ejemplo,
debemos mostrar un método general que nos permita
encontrar un n0 con la propiedad deseada, para cualquier
ε > 0.
En otras palabras, debemos mostrar cómo, dado ε > 0,
podemos hallar n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 →
∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < ε.
Para que
∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < ε, ya que 2n + 3 > 0, debe tenerse
2
n + 3
< ε, de donde n + 3 >
2
ε
, o sea, n >
2
ε
− 3.
Hallando n0 en general
Así, tomando n0 = max
(⌊
2
ε
− 3
⌋
+ 1, 1
)
(o cualquier número
mayor) tenemos que
n ≥ n0 →
∣∣∣∣ 2n + 3 − 0
∣∣∣∣ < ε,
tal como deseábamos.
Ejercicios
Demuestre los siguientes límites usando la definición:
1. lim
n→∞
1
n
= 0.
2. lim
n→∞
1
2n
= 0.
3. lim
n→∞
n + 1
2n− 3
=
1
2
.
4. lim
n→∞
3n2 + 2n− 1
n2 + 2
= 3.
5. lim
n→∞
√
n + 1−
√
n = 0.
Cómo refutar un límite
Ya vimos cómo probar que una sucesión tiene como límite un
valor dado L.
¿Cómo podemos probar que una sucesión no tiene límite L?
Para ello basta hallar un valor ε > 0 para el que sea imposible
encontrar n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 → |an − L| < ε.
O sea, debemos hallar ε > 0 tal que, dado cualquier n0 ∈ N,
exista un n ≥ n0 para el que an caiga fuera del intervalo
(L− ε,L + ε).
Ejemplo
Probaremos que (−1)n no tiene límite 1
2
.
Vemos que, si tomamos ε = 1, entonces dado cualquier n0 ∈ N
existe n ≥ n0 tal que an = −1 (de hecho, si an0 6= −1 entonces
an0+1 = −1). Pero −1 /∈ (1/2− 1, 1/2 + 1) = (−1/2, 3/2), o sea,
an /∈ (L− ε,L + ε), por lo que |an − L| ≥ ε.
Nota: En realidad cualquier valor de ε ≤ 3/2 nos sirve. ¿Por
qué?
Sucesiones divergentes
Una sucesión que no tiene límite se dice divergente.
Para demostrar que una sucesión no tiene límite no basta
probar posibles “candidatos a límites” y demostrar, uno por
uno, que la sucesión no converge a dicho candidato.
Debemos demostrar que, sin importar cuál sea el candidato, la
sucesión no lo tiene por límite.
Así, por ejemplo, para demostrar que (−1)n diverge debemos
probar que, dado cualquier L ∈ R, L no es el límite de (−1)n.
Sucesiones monótonas y acotadas
El axioma del supremo nos permite dar nuestro primer teorema
sobre sucesiones convergentes:
Teorema
Si (an) es una sucesión acotada superiormente que es
no-decreciente a partir de un cierto punto, entonces (an) tiene
límite.
Por cierto, el teorema análogo que dice que toda sucesión
acotada inferiormente que es no-creciente a partir de un cierto
punto tiene límite, también es cierto.