slides-clase06 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Subsucesiones
Sea (an) una sucesión, y sean n1 < n2 < n3 < . . . números
naturales. Decimos que la sucesión (bk) donde bk = ank es una
subsucesión de (an).
El estudio de las subsucesiones de una sucesión nos puede
ayudar a entender el comportamiento de la sucesión original.
El siguiente teorema nos indica algunas de las propiedades
relacionadas con subsucesiones.
Propiedades de las subsucesiones
Teorema
Si (an) es una sucesión cualquiera, entonces:
I Si lim
n→∞
an = L, entonces lim
n→∞
bn = L para toda
subsucesión (bn) de (an).
I Si (an) es una sucesión acotada, entonces (an) tiene una
subsucesión convergente.
I Si (an) es una sucesión acotada pero no convergente,
entonces (an) tiene al menos dos subsucesiones que
convergen a distintos límites.
Ejemplos de aplicación de subsucesiones
Queremos estudiar la convergencia de la sucesión
an =
(
1 + 12n
)n.
No podemos calcular su límite directamente, pero sabemos
que la sucesión bn =
(
1 + 12n
)2n es una subsucesión de la
sucesión ya estudiada tn =
(
1 + 1n
)n, que converge a e.
Se puede demostrar (ejercicio) que si bn = a2n, y an ≥ 0 para
todo n ∈ N y limn→∞ bn = L, entonces limn→∞ an =
√
L.
Como bn = a2n, e = limn→∞ bn = ( limn→∞ an)
2, de donde lim
n→∞
an =
√
e.
Otro ejemplo
Estudiemos ahora la convergencia de la sucesión
an =
(
1 + 13n+2
)n
.
La sucesión bn =
(
1 + 13n+2
)3n+2
es una subsucesión de la
sucesión tn =
(
1 + 1n
)n, por lo que lim
n→∞
bn = e.
Como bn = a3n
(
1 + 13n+2
)2
,
( lim
n→∞
an)3 = lim
n→∞
bn(
1 + 13n+2
)2 = limn→∞ bn
lim
n→∞
(
1 + 13n+2
)2 = e1 = e,
de donde lim
n→∞
an = 3
√
e.
Otro ejemplo
Estudiemos ahora la convergencia de la sucesión
an =
(
1 + 23n+1
) 3n+1
2 .
A primera vista, estamos tentados de decir que tiende a e. Sin
embargo, el método usado en el ejemplo anterior no sirve,
porque la sucesión bn =
(
1 + 23n+1
) 3n+1
2 NO ES una
subsucesión de la sucesión tn =
(
1 + 1n
)n (¿por qué?).
Una forma correcta (no la única) de demostrar que lim
n→∞
an = e
es la siguiente:
Primero, escribimos
(
1 +
2
3n + 1
) 3n+1
2
como
(
1 +
1
3n+1
2
) 3n+1
2
.
Es posible encontrar sucesiones que convergen a e, y que
acotan superior e inferiormente a an, de modo de aplicar el
teorema del sandwich.
Otra aplicación de subsucesiones
Veremos otra forma de demostrar que, si c > 1, lim
n→∞
n
√
c = 1.
Para esto utilizaremos subsucesiones.
En primer lugar,
n+1
√
c
n
√
c
=
c
1
n+1
c
1
c
= c
1
n+1−
1
n = c−
1
n(n+1) < 1,
por lo que la sucesión n
√
c es decreciente.
Como n
√
c ≥ 1, es acotada inferiormente, por lo que existe el
límite L = lim
n→∞
n
√
c.
Cálculo de lim
n→∞
n
√
c
Por ser n
√
c convergente a L, la subsucesión 2n
√
c también debe
converger a L, o sea, lim
n→∞
2n
√
c = L.
Pero 2n
√
c =
√
n
√
c, de donde
L = lim
n→∞
2n
√
c = lim
n→∞
√
n
√
c =
√
lim
n→∞
n
√
c =
√
L.
Así, L =
√
L, de donde L = 0 o L = 1. Como n
√
c ≥ 1, no hay
elementos de la sucesión en el intervalo (−1/2, 1/2), de donde
L 6= 0. Finalmente,
lim
n→∞
n
√
c = 1.
Otro ejemplo de uso de subsucesiones
Sea (an) la sucesión dada por an =
{√
2 si n = 1,
√
2 + an−1 si n > 1.
Así, los primeros términos de esta sucesión son
√
2,
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2 +
√
2, etc.
Se puede demostrar (¡ejercicio!) que esta sucesión es
creciente. También se puede demostrar (por inducción) que
an < 2 para todo n. Así, debe existir L = lim
n→∞
an. Pero entonces
la subsucesión an+1 también debe converger a L. Como
an+1 =
√
2 + an, debe tenerse L =
√
2 + L, de donde
L2 − L− 2 = 0, o sea, L = 2 o L = −1. Como este último caso
puede descartarse (¿por qué?), debe tenerse L = 2.
Límites de funciones
Hemos estudiado el concepto de que una sucesión “converja a
un cierto límite”. A continuación veremos un concepto similar,
aplicado esta vez a funciones reales. Intuitivamente, nos
interesa estudiar el comportamiento de una función f : D → R
“cerca” de un punto dado a ∈ R.
Ejemplo: Consideremos la función f (x) = 2x− 1. Cuando x
está “cerca de 2”, f (x) toma valores “cerca de 3”.
Más precisamente, es posible hacer que los valores de f (x)
estén tan cerca como queramos de 3, simplemente
asegurándonos de que x esté “suficientemente cerca” de 2.
Idea intuitiva
Siguiendo con el ejemplo: Supongamos que queremos hacer
que los valores de f (x) no estén a más de 0.1 de distancia de
3. O sea, queremos que
|f (x)− 3| < 0.1.
¿Cómo logramos esto? La condición pedida es equivalente a
que |(2x− 1)− 3| < 0.1, o sea, a que 3.9 < 2x < 4.1.
Pero esto es equivalente a 1.95 < x < 2.05. O sea: si x está a
menos de 0.05 de distancia de 2, entonces f (x) estará a menos
de 0.1 de distancia de 3.
¿Y qué tal si en lugar de querer que f (x) no estén a más de 0.1
de distancia de 3, quisiéramos que no esté a más de 0.01 de
distancia? Es fácil ver (¡ejercicio!) que para esto basta que x no
se desvíe más de 0.005 de 2.
Estos ejemplos nos llevan a concluir (intuitivamente) que el
“límite” de f (x), cuando x está “cerca de 2” es 3.
Hacia una definición formal de límite
Motivados por el ejemplo anterior, nos proponemos definir la
idea de límite en una forma más precisa.
La idea de fondo es que, dada f : D → R, f (x) tiene por límite L
cuando x “se acerca a a” si, dada cualquier exigencia del tipo
“f (x) no debe diferir de L en más de . . . ” puede ser satisfecha
haciendo que x no se aparte de a en más de una cantidad
dada.
Tradicionalmente, el “margen de tolerancia” que tenemos para
la función es llamado ε, mientras que la cantidad que
permitimos a x desviarse de a es llamada δ.
Hacia una definición formal de límite (cont.)
Así, un primer intento de definición formal de límite de una
función sería el siguiente:
Dados f : D → R y a,L ∈ R, diremos que el límite de
f (x) cuando x tiende a a es L si, para todo ε > 0
(nuestro “error máximo permitido”) existe un δ > 0
(nuestra “tolerancia”) tal que
∀x ∈ D(|x− a| < δ → |f (x)− L| < ε).
Veremos a continuación por qué esta definición no nos
satisface totalmente.
Revisando la definición de límite
Consideremos la función f : R→ R definida como
f (x) =
{
|x| si x 6= 0,
1 si x = 0.
¿Cómo se comporta f (x) cuando x “se acerca a 0”?
Continuación del ejemplo
Usando la idea de definición presentada anteriormente, habría
que concluir que f (x) no tiene un límite definido cuando x se
acerca a 0, ya que los valores de f (x) para x muy cercanos a 0
se acercan más y más a 0, pero sin embargo no es posible, por
ejemplo, hallar δ tal que para todo x tal que |x− 0| < δ,
|f (x)− 0| < 1/2.
¿A qué se debe esto?
Revisando la definición de límite (cont.)
Esencialmente, en nuestro ejemplo nuestra idea de definición
falla debido a que f (0) = 1 no está “cerca” del candidato a
límite, 0. De aquí surge la idea de no tomar en cuenta el valor
de la función en el punto a (si es que la función está definida en
a).
Otra razón para no considerar el valor de la función en a es que
f podría no no estar definida en a.
Así, una versión revisada de nuestra definición sería como
sigue:
Dados f : D → R y a,L ∈ R, diremos que el
límite de f (x) cuando x tiende a a es L si, para
todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que
∀x ∈ D(0 < |x− a| < δ → |f (x)− L| < ε).
En otras palabras, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, ∀x ∈ D,
x ∈ (a− δ, a + δ)− {a} → |f (x)− L| < ε).