Devore-Cap2-Sec3 - Ariadna Deseusa Morales

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Probabilidades
Capı́tulo 2, Sección 3: Métodos de Conteo
Material docente en preparación
(Fuente: Texto de J. Devore)
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de los Andes
March 31, 2021
c©Todo el contenido bajo protección de derecho de autor.
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Con un espacio muestral S equiprobable,
P(A) =
N(A)
N(S)
,
donde N(A) es la cardinalidad (número de elementos) de A.
El texto usa N = N(S) para la cardinalidad de S.
Notación alternativa (común) para cardinalidad de A: #A
En muchos problemas calcular N(A) o N(S) requiere métodos
especiales.
Este es precisamente el contenido de esta sección.
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Regla de producto para pares ordenados
(principio de multiplicación)
Proposición
Si el primer elemento de un par ordenado puede ser
seleccionado de n1 maneras, y por cada una de estas n1
maneras el segundo elemento del par puede ser seleccionado
de n2 maneras, entonces el número de pares es n1 × n2.
Ejemplo 2.17 (Selección de electricista y gásfiter).
(Principio de multiplicación-sin restricciones)
Ejemplo 2.18 (Selección de obstetras y pediatras).
(Principio de multiplicación-con restricciones de clı́nica)
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
rama de primera generación. Ahora para cualquier rama de primera generación se constru-
ye otro segmento de línea que emana de la punta de la rama por cada posible opción de un
segundo elemento del par. Cada segmento de línea es una rama de segunda generación. Co-
mo existen cuatro obstetras, existen cuatro ramas de primera generación y tres pediatras por
cada obstetra se obtienen tres ramas de segunda generación que emanan de cada rama de
primera generación. 
Generalizando, supóngase que existen n1 ramas de primera generación y por cada ra-
ma de primera generación existen n2 ramas de segunda generación. El número total de ramas
de segunda generación es entonces n1n2. Como el extremo de cada rama de segunda gene-
ración corresponde a exactamente un posible par (la selección de un primer elemento y luego
de un segundo nos sitúa en el extremo de exactamente una rama de segunda generación),
existen n1n2 pares, lo que verifica la regla de producto. 
La construcción de un diagrama de árbol no depende de tener el mismo número de ra-
mas de segunda generación que emanen de cada rama de primera generación. Si la segun-
da clínica tenía cuatro pediatras, entonces habría sólo tres ramas que emanan de dos de las
ramas de primera generación y cuatro que emanan de cada una de las otras dos ramas de pri-
mera generación. Un diagrama de árbol puede ser utilizado por lo tanto para representar pic-
tóricamente experimentos aparte de aquellos a los que se aplica la regla de producto. 
Una regla de producto más general 
Si se lanza al aire un dado de seis lados cinco veces en sucesión en lugar de sólo dos veces,
entonces cada posible resultado es un conjunto ordenado de cinco números tal como (1, 3,
1, 2, 4) o (6, 5, 2, 2, 2). Un conjunto ordenado de k objetos recibirá el nombre de k-tupla
(por tanto un par es un 2-tupla y un triple es un 3-tupla). Cada resultado del experimento del
lanzamiento al aire de el dado es entonces un 5-tupla.
2.3 Técnicas de conteo 61
Regla de producto para k-tuplas 
Supóngase que un conjunto se compone de conjuntos ordenados de k elementos 
(k-tuplas) y que existen n1 posibles opciones para el primer elemento por cada opción
del primer elemento, existen n2 posibles opciones del segundo elemento; . . . ; por cada
posible opción de los primeros k ! 1 elementos, existen nk opciones del elemento 
k-ésimo. Existen entonces n1n2· · · · ·nk posibles k-tuplas.
Figura 2.7 Diagrama de árbol para el ejemplo 2.18.
O1
O2
O3
O4
P1
P2
P3
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P4
P5
P6
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Figura 2.7 Diagrama de árbol para el Ejemplo 2.18
(obstetras y pediatras)
I Rama de la 1era generación: primer elemento de un par.
I Rama de la 2da generación: segundo elemento de un par.
I Hojas del árbol representan los pares ordenados.
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Ejemplo: Cumpleaños
En la FaCEE hay 25 profesores ”jornada”
(jornada completa o full time)
El CADEC planifica hacer una celebración de cumpleaños a
cada uno de estos profesores. CADEC quiere hacer
previsiones especiales para los dı́as donde dos o más
profesores tengan cumpleaños.
Sea V = “dos o más profesores cumplen años el mismo dı́a.”
Describa V c en palabras.
Provea su adivinanza para P(V ).
Consecuentemente, su adivinanza para P(V c) es = ?
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Regla de producto para k−tuplas ordenadas
(principio de multiplicación generalizado)
Proposición
Si el primer elemento de una k−tupla ordenada puede ser
seleccionado de n1 maneras, y por cada una de estas n1
maneras el segundo elemento de la k−tupla puede ser
seleccionado de n2 maneras, ... y por cada configuración de los
primeros (k − 1) elementos hay k opciones para el elemento k ,
entonces el número de k−tuplas es n1 × n2 × · · · × nk .
Ejemplo 2.19 (Cont. del ejemplo 2.17)
Ejemplo 2.20 (Cont. del ejemplo 2.18)
(Corrija el enunciado en la versión en castellano:
Dice “dos médicos generales”. Debe decir “tres médicos generales”.)
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Definiciones: Permutaciones y combinaciones
Considere un conjunto de n elementos.
Sea k un entero tal que 0 ≤ k ≤ n.
Permutación: es un subconjunto ordenado
Defina Pk ,n como el número de permutaciones de tamaño k
que puede formar con n objetos.
Combinación: es un subconjunto no ordenado
Defina Ck ,n como el número combinaciones de tamaño k que
puede formar con n objetos.
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Proposición
Pk ,n =
n!
(n − k)!
Ejemplo 2.21
Un profesor dispone de 10 ayudantes para corregir un examen.
El examen tiene cuatro preguntas.
El profesor selecciona cuatro ayudantes, una para corregir
cada pregunta.
¿De cuántas formas el profesor puede seleccionar los cuatro
ayudantes?
(nota: el profesor asigna ayudantes a las preguntas 1, 2, 3, y 4)
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Proposición
Ck ,n =
(n
k
)
=
Pk,n
k! =
n!
k!×(n−k)!
= número de combinaciones de k objetos tomados
de un conjunto de n
Ejemplo 2.21 (cont.)
El profesor selecciona cuatro alumnos para invitarlos a cenar.
¿De cuántas formas el profesor puede seleccionar estos cuatro
ayudantes?
Ejemplo 2.22 (Bridge)
Ejemplo 2.23 (Impresoras. Estudiar.)
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Ejemplo 2.23
ICom. recibe 25 impresoras: 10 láser (L) y 15 a tinta (T).
Ceci selecciona seis impresoras al azar para revisar.
Calcule la probabilidad que Ceci seleccione exactamente tres
impresoras L.
Solución
Suponga que Ceci selecciona las impresoras con un muestreo
aleatorio simple.
Es decir, todas las muestras de tamaño k , 1 ≤ k ≤ 25, tienen la
misma probabilidad. En particular, todas las muestras de tamaño 6
tienen la misma probabilidad.
Luego, el espacio muestral S para este experimento es equiprobable.
Entonces #S = N(S) =?
Sea L3 el evento “Ceci selecciona exactamente tres impresoras L.”
Entonces N(L3) =?
Luego P(L3) = N(L3)/N(S) =?
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Capı́tulo 2
Sección 2.3 Métodos de conteo
Resuelva los ejercicios 29-44,
páginas 65-67.
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