Ejercicio Peak Load Pricing - Graciela Valentina Martínez Angeles

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PEAK%LOAD%PRICING%
!
1.# Considere# una# aerolínea# que# es# la# única# que# vuela# una# determinada# ruta.# La#
demanda# anual# tiene# # # dos# temporadas:# invierno# (I)# y# verano# (V).# La#
demanda# inversa# de# la#temporada#de#verano#está#dada#por:##
#
#
Pv#=#6#B#
!!
! #
#
Mientras#que#la#temporada#de#invierno#está#dada#por:##
##
PI#=#24–#2qI##
#
Donde# qi,# i=V,I# es# el# número# de# pasajeros# que# viaja# en# la#
temporada#i.##
##
Suponga#que#los#únicos#costos#de#producción#corresponden#a#un#costo#marginal#
de# capacidad# (r),# que# está# definido# como# el# costo# anual# necesario# para#
acomodar#un#asiento#adicional#en#la#flota#anual#y#que#es#igual#a#$2,#y#un#costo#
marginal#de#operación#(w)#constante#e#igual#a#$2.##
##
a. Obtenga# las# tarifas# de# invierno# y# verano#que#maximizan# los# beneficios#
del# monopolista,# # el# # número# # de# # pasajeros# # que# # viaja# # en# # cada##
período## y## los#beneficios.##
%
Respuesta:%
%
El%problema%del%monopolista%es%
%
Max%π%(qi,%qv)%=%[6%H%
!!
! ]*%qv%+%[24–%2qI]*%qI%–%w*qv%H%w*qi%–%rK%
%
s/a%% qv%≤%K%
% qi%≤%K%
%
L:%[6%H%
!!
! ]*%qv%+%[24–%2qI]*%qI%–%w*qv%H%w*qi%–%rK%+%λ1[K%H%qv]%+%λ2[K%–%qi]%
%
Y%las%condiciones%de%primer%orden:%
%
(1) !"!!!!:%6%H%qv%–%w%H%λ1%≤%0%%
(2) !"!!!!:%24–%4qI%–%w%–%λ2%≤%0%%
(3) !"!!!!!:%K%H%qv%≥%0%%
(4) !"!!!!!:%K%–%qi%≥%0%%
%
Estudiamos%caso%2%!%λ1%≥%0%;%λ2=%0%[Verano%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qv%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ2=%0,%%λ1%=%r%
%
6%H%qv%–%w%H%λ1%=%0%
6%H%qv%–%2%H%2%=%0%
qv%=%2%%
Pv%=%5%
%
24–%4qI%–%w%–%λ2%=%0%
24–%4qI%–%2%–%0%=%0%
qI%=%5,5%
PI%=%13%
%
qv%≤%qI%%por%lo%tanto%verano%no%puede%ser%una%temporada%peak%
%
Estudiamos%caso%3%!%λ1%=%0%;%λ2≥%0%[Invierno%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qi%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ1=%0,%%λ2%=%r%
%
6%H%qv%–%w%H%λ1%=%0%
6%H%qv%–%2%H%0=%0%
qv%=%4%
Pv%=%4%
%
24–%4qI%–%w%–%λ2%=%0%
24–%4qI%–%2%–%2%=%0%
qI%=%5%
PI%=%14%
%
qI%≥%qv%Se%comprueba%que%invierno%es%peak%
%
reemplazando%valores%en%π%(qi,%qv)%se%tiene%que%%
π%=%58%
%
%
Suponga#ahora#que#los#costos#aumentan#a#r#=#$8#y#w#=#$4##
b.##Obtenga#las#tarifas#de#invierno#y#verano#que#maximizan#los#beneficios#del#
monopolista,## el## número## de## pasajeros## que## viaja## en## cada## período##
y## los#beneficios.##
%%
Respuesta:%
%
Estudiamos%caso%3%!%λ1%=%0%;%λ2≥%0%[Invierno%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qi%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ1=%0,%%λ2%=%r%
%
6%H%qv%–%w%H%λ1%=%0%
6%H%qv%–%4%H%0=%0%
qv%=%2%
Pv%=%5%
%
24–%4qI%–%w%–%λ2%=%0%
24–%4qI%–%4%–%8%=%0%
qI%=%3%
PI%=%18%
%
qI%≥%qv%Se%comprueba%que%invierno%es%peak%
%
Reemplazando%valores%en%π%(qi,%qv)%se%tiene%que%%
π%=%20%
%
%
2.##Considere## el##mercado## de## la## electricidad,## en## el## cual## la## demanda## diaria##
fluctúa.#
Específicamente# suponga# que# la# demanda# puede# dividirse# en# dos# períodos#
de# igual#duración:#el#día#y#la#noche#con#las#siguientes#demandas:##
#
Día:#Pd#=#76#–#2qd#
Noche:#Pn#=#30#–#2qn#
#
El#costo#de#operar#las#turbinas#es#$6#por#unidad#de#electricidad#producida.#Las#
turbinas#se#arriendan#en#una#base#anual#con#un#costo#diario#de#$10#por#unidad#
de#capacidad.#Suponga#que#la#Compañía#de#electricidad#es#un#monopolio#que#
quiere#maximizar#sus#beneficios.#
#
a. Suponga# # que# # la# # capacidad# # actual# # de# # la# # compañía# # es# # de# # 12##
unidades# #de#capacidad.# # ¿Cuáles# # son# # los# # precios# # y# # las# # cantidades##
que## maximizan## los#beneficios#del#monopolista?#
Respuesta:%
%
Suponemos%que%día%es%peak:%
IMGd%=%w+r%%
IMGn%=%w%
%
IT%día%=%[76%–%2qd]*%qd%
IMGd%=%76%H%4%qd%=%6%+%10%!%qd%=%15%pero%sabemos%que%la%capacidad%actual%es%de%
K=12%
Por%lo%tanto%tenemos%qd%=%K%=%12%;%Pd=%52%
%
IT%noche%=%[30%–%2qn]*%qn%
IMGn%=%30%H%4%qn%=%6%!%qn%=%6%;%Pn=%18%
%
π%=%504%
%
%
b. ¿es#óptima#para#el#monopolista#la#capacidad#en#(a)?#Justifique#
Respuesta:%
%
No%es%óptima%ya%que%lo%que%realmente%maximiza%la%utilidad%del%monopolista%es%entregar%
qd%=%15,%lo%%que%no%puede%hacer%dada%su%limite%de%capacidad%K=12%
%
Si%pudiera%ofrecer%qd%=%15,%sus%beneficios%serían%de%π%=%522,%lo%que%es%mayor%que%sus%
beneficios%actuales.%%
%
%
c.# # # Suponga# # #que# # #el# # # costo# # #marginal# # #de# # # capacidad# # # sube# # #a# # #$18###
¿Querrá# # #el#monopolista#modificar#su#contrato#de#arriendo#de#turbinas#
cuando#corresponda?#
%
Respuesta:%
%
Suponemos%que%día%es%peak:%
IMGd%=%w+r%%
IMGn%=%w%
%
IT%día%=%[76%–%2qd]*%qd%
IMGd%=%76%H%4%qd%=%6%+%18%!%qd%=%13%pero%sabemos%que%la%capacidad%actual%es%de%
K=12%
Por%lo%tanto%tenemos%qd%=%K%=%12%;%Pd=%52%
%
IT%noche%=%[30%–%2qn]*%qn%
IMGn%=%30%H%4%qn%=%6%!%qn%=%6%;%Pn=%18%
%
π%=%(52%H%6)*12%+%(18%H%6)*6%–%(18*12)%=%408%
%
Hoy% el% monopolista% sigue% limitado% por% la% capacidad% actual,% por% lo% que% debe% seguir%
ofreciendo%qd%=%K%=%12%y%qn%=%6,%pero%el%mayor%costo%marginal%de%capacidad%hace%
que%sus%beneficios%disminuyan.%
%
Por%esto%el%monopolista%sí%querrá%modificar%su%contrato%de%turbinas%para%así%poder%
aumentar%su%capacidad%y%maximizar%sus%beneficios:%
%
π%=%(50%H%6)*13%+%(18%H%6)*6%–%(18*13)%=%410%
%
e.## Suponga#ahora#que#un#regulador#interviene#en#el#mercado#y#quiere#fijar#
los# precios# óptimos# (que# maximizan# el# bienestar# social)# ¿Qué# precios#
cobraría?#Justifique#
%
Respuesta:%
%
Para%maximizar%el%bienestar%social%el%regulador%cobraría%P%=%Cmg.%%
%
Al%los%usuarios%de%la%temporada%alta%(los%del%día):%%Pd%=%w%+%r.%%
Los%de%alta%pagan%el%costo%marginal%de%capacidad%ya%que%son%ellos%quienes%presionan%la%
demanda%
%
A% los% usuarios% de% la% temporada% baja% (noche)% sólo% se% les% cobra% el% costo%marginal% de%
operación:%Pn%=%w%
%
Pd%=%6%+%18%=%24%!%qd%=%26%sería%la%demanda%de%los%consumidores%
Pn%=%6%!%qn%=%12%sería%la%demanda%de%los%consumidores%
%
3.#Considere# una# línea# área# que# es# la# única# que# vuela# entre# la# ciudad#A# y# la#
ciudad#B.#
Durante#el#invierno,#la#función#de#demanda#inversa#por#vuelos#en#esta#ruta#está#dada#
por:#
#
pw#=#10#–#qw###
#
Donde# pw# es# la# tarifa# cobrada# durante# la# temporada# de# invierno# y# qw# es# el#
número# de# pasajeros# que# vuelan# en# esa# ruta# en# la# temporada# de# invierno.#
Similarmente,#durante#la#temporada#de#verano,#la#función#de#demanda#inversa#está#
dada#por:##
#
p
s
#=#5#B#
!!
! #
#
Sea# K,# la# capacidad# de# la# aerolínea,# definida# por# el# número# de# asientos# que# la#
aerolínea#intenta#adquirir,#y#suponga#que#el#costo#marginal#de#volar#un#pasajero#es#c#
>#0.##
%
a.###Obtenga# los#precios,# las# cantidades#y#el#beneficio#de#equilibrio#de#
largo#plazo#para#este#monopolista#suponiendo#que#r#=#c#=#$1#
%
Respuesta:%
%
El%problema%del%monopolista%es%
%
Max%π%(qs,%qw)%=%[5"#"
!!
! ]*qs%+%[10"–"qw"]*%qw%–%c*qs%H%c*qw%–%rK%
%
s/a%% qs%≤%K%
% qw%≤%K%
%
L:%[5"#"!
!
! ]*qs%+%[10"–"qw"]*%qw%–%c*qs%H%c*qw%–%rK%+%λ1[K%–%qs]%+%λ2[K%–%qw]%
%
Y%las%condiciones%de%primer%orden:%
%
(1) !"!!!!:%5%H%
!!
! %%–%c%H%λ1%≤%0%%
(2) !"!!!!:%10–%2qw%–%c%–%λ2%≤%0%%
(3) !"!!!!!:%K%–%qs≥%0%%
(4) !"!!!!!:%K%–%qw%≥%0%%
Estudiamos%caso%2%!%λ1%≥%0%;%λ2=%0%[Verano%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qs%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ2=%0,%%λ1%=%r%
%
5%H%
!!
! %%–%c%H%λ1%=%0%%
5%H%
!!
! %–1H%1=%0%
qs%=%6%%
Ps%=%3,5%
%
10%–%2qw%–%c%–%λ2%=%0%%
10%–%2qw%–%1%–%0%=%0%
qw%=%4,5%
Pw%=%5,5%
%
qs%≤%qw%%por%lo%tanto%se%confirma%el%supuesto%de%que%verano%es%peak%
%
%
Reemplazando%valores%en%π%(qi,%qv)%se%tiene%que%%
π%=%29,25%
%
a. Obtenga# los#precios,# las# cantidades#y#el#beneficio#de#equilibrio#de#
largo#plazo#para#este#monopolista#suponiendo#que#r#=#$3#y#c#=#$1#
Respuesta:%
%
Estudiamos%caso%2%!%λ1%≥%0%;%λ2=%0%[Verano%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qs%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ2=%0,%%λ1%=%r%
%
5%H%
!!
! %%–%c%H%λ1%=%0%%
5%H%
!!
! %–1H%3=%0%
qs%=%2%
Ps%=%4,5%
%
10%–%2qw%–%c%–%λ2%=%0%%
10%–%2qw%–%1%–%0%=%0%
qw%=%4,5%
Pw%=%5,5%
%
qs%≤qw%%por%lo%tanto%verano%no%puede%ser%peak%%
Estudiamos%caso%3%!%λ1%=%0%;%λ2≥%0%[Invierno%es%peak]%
%
Se%tiene%que%%
K%=%qw%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%como%λ1=%0,%%λ2%=%r%
%
5%H%
!!
! %%–%c%H%λ1%=%0%%
5%H%
!!
! %–1%–%0%=%0%
qs%=%8%
Ps%=%3%
%
10%–%2qw%–%c%–%λ2%=%0%%
10%–%2qw%–%1%–%3%=%0%
qw%=%3%
Pw%=%7%
%
qs%≥%qw%por%lo%tanto%invierno%tampoco%es%un%peak%
%
Estudiamos%caso%4!%λ1,%λ2%≥%0%[Ambas%temporadas%presionan%a%la%demanda]%
!"
!!!!:%Hr%+%λ1%+%λ2%=%0%!%λ1%+%λ2%=%r%
qs%=%qw%=%K%
%
%
5%H%
!
!%%–%c%=%λ1%%
10%–%2K%–%c%=%λ2%
%
Sumando%verticalmente:%
λ1%+%λ2%=%r%%=%3=%5%H%
!
!%%–%1%+%10%–%2K%–%1%%
%
K%=%4%
Pw%=%5%
Ps%=%3,75%
%
Reemplazando%valores%en%π%(qi,%qv)%se%tiene%que%%
π%=%15%
%
4.#La#demanda#por#electricidad#es#Q
d
#=#5#–#P
d
#durante#el#día#y#es#Q
n
#=#4#–#2P
n
#en#
noche.# Ambos# periodos# duran# la# mitad# del# día# (12# horas# cada# uno).# El# costo#
variable# es# de# $0,25# por# unidad# de# producto# en# cada# período,# y# el# costo# de#
capacidad#es#de#$0,75#por#unidad#de# capacidad#por#día.# Los# costos#de# capacidad#
están#hundidos#y#no#se#puede#ajustar#entre#períodos.###
##
a. Si#un#regulador#interviniera#para#fijar#los#precios,#¿?#Cuáles#serían#Pn#y#Pd#que#
maximizan#el#bienestar#social?#
Respuesta:%
%
Graficando%sabemos%que%los%usuarios%del%día%representan%el%Peak%
%
A%los%usuarios%de%%la%temporada%peak%se%les%cobran%todos%los%costos%marginales:%
P%=%Cmg%!%Pd%=%0,25%+%0,75%=%$1%
Q
d
%=%4%=%K%
%
A%los%usuarios%de%la%temporada%baja%sólo%pagan%los%costos%marginales%operativos:%
P%=%Cmg%!%Pn%=%$0,25%
Q
n
%=%3,5%
%
b. Con##el##precio##limitado##a##ser##el##mismo##durante##el##día,##qué##precio##y##
capacidad#maximizarían#el#bienestar#social?##
EXC%Consumidor%(P)%=%(1/2)(2HP)(4H2P)%+%(1/2)(5HP)
2
%%
%
=%(3/2)(11H6P+P2)%%
%
EXC%Productor%(P)%=%P(4H2P)%+%P(5HP)%H%0.25(9H3P)%H%0.75(5HP)%%
%
=%3P(3HP)%H%0.5(12H3P)%%
%
El%EXC%total%es%la%suma%!%(3/2)(HP2+P+7).%%
%
Para%maximizar%el%bienestar%social%tenemos:%
CPO%[P]:%
H3p%+%(3/2)%=%0%
%
Desarrollando%llegamos%a%que%el%bienestar%social%se%maximiza%cuando%P%=%½%
%
Q
n
%=%3%
Q
d
%=%4,5%
%
%
c.####Compare#el#excedente#del#consumidor#y#el#bienestar#social#en#ambos#casos.##
%
• En%(a),%el%excedente%del%consumidor%es%%
(1/2)(2H0.25)(4H2*0.25)%+%(1/2)(5H1)
2
%=%3.0625%+%8%=%11,0625%
%
No%es%necesario%calcular%el%excedente%del%productor,%ya%que%es%cero%por%construcción.%
%
• Bajo%precios%uniformes%el%excedente%del%consumidor%es:%
(1/2)(2H0.5)(4H2*0.5)%+%(1/2)(5H0.5)
2%
=%2.25%+%10.125%=%12.375.%
%
El%excedente%del%consumidor%es%más%alto%porque%el%excedente%del%productor%es%
negativo:%3*0.5(3H0.5)%H%0.5(12H3*0.5)%=%H1.5%
Con%lo%que%el%excedente%total%es%de%10.875,%MENOR%que%en%(a)%
%
Conclusión:%el%excedente%social%es%menor%cuando%se%limita%a%que%el%precio%sea%uniforme%
en%ambas%temporadas,%aunque%el%productor%tenga%pérdidas%
%
%
%
5.%Un%hotel%opera%de%manera%continua%durante%el% invierno%y%el%verano.%Sea%qs%% y%qv%
el% numero% de% turistas% en% verano% e% invierno,% respectivamente.% Las% funciones% de%
demandas%inversas%son:%
%
Verano:%ps%=%120%–%2qs%–%qw%
Invierno:%pw%=%120%–%3qw%–qs%
%
Suponga%que%es%µ0%=%µk%=%$20,%µk%y%los%costos%fijos%Ø=$1000%
%
a. Hallar%los%%precios,%%cantidades%%e%%inversión%%en%%capacidad%%que%%maximizan%%el%
beneficio%del%monopolista%para%cada%una%de%las%temporadas.%
Respuesta:%
%
Los%ingresos%marginales%son:%
%
IMGSS%=%
!!!
!!! %%=%120%–%4q
s
%H%q
w
%
IMGSW%=%
!!!
!!!%%=%Hq
s
%%
IMGWS%=%
!!!
!!! %%=%Hq
w
%%
IMGWW%=%
!!!
!!! %%=%120%–%6q
w
%–%q
s%
%
Suponemos%que%Verano%es%peak%
IMGSS%+%IMGWS%=%µ0%+%µk%
120%–%4q
s
%H%q
w
%H%q
w
%=%20%+%20%
4q
s
%+%2q
w%
=%80%% % [1]%
%
IMGWW%+%IMGSW%=%µ0%
120%–%6q
w
%–%q
s
%H%q
s
%=%20%
2q
s
%=%100%H%6%q
w
%
4q
s
%=%200%H%12%q
w%%
% [2]%
%
reemplazando%[2]%en%[1]%se%tiene:%
q
w%
=%12%
q
s
%=%14%
%
q
s
%≥%q
w%
por%lo%tanto%se%confirma%hipótesis%de%que%verano%es%peak.%
%
Reemplazando% las% cantidades% en% las% funciones% de% demanda% se% obtienen% los% precios%
óptimos:%
%
ps%=%84%
pw%=%70%
%
π%=%(84%H%20)*14%+%(70%H%20)*12%–%20*14%–%1000%=%216%
%
%
%
b. Resolver#(a)#pero#ahora#suponiendo#que#µ0#=#$20,#µk#=#$40#y#Ø=$500#
Suponemos!que!Verano!es!peak!
IMGSS%+%IMGWS%=%µ0%+%µk%
120%–%4q
s
%H%q
w
%H%q
w
%=%20%+%40%
4q
s
+%2q
w%
=%60% % % [1]%
%
IMGWW%+%IMGSW%=%µ0%
120%–%6q
w
%–%q
s
%H%q
s
%=%20%
2q
s
%=%100%H%6%q
w
%
4q
s
%=%200%H%12%q
w%%
% [2]%
%
reemplazando%[2]%en%[1]%se%tiene:%
q
w%
=%26%
q
s
%=%H28%!%verano%no%puede%ser%peak%
%
Suponemos!que!Invierno!es!peak!
IMGWW%+%IMGSW%=%µ0%+%µk%
120%–%6q
w
%–%q
s
%H%q
s
%=%20%+%40%
q
s
%+%3q
w%
=%30
%
% %%%%%%%%%%%%%[1]%
%
IMGSS%+%IMGWS%=%µ0%%
120%–%4q
s
%H%q
w
%H%q
w
%=%20%%
2q
s
+%q
w%
=%50% % % [2]%
%
%
reemplazando%[2]%en%[1]%se%tiene:%
q
w%
=%2%
q
s
%=%24%!%invierno%no%puede%ser%peak%
%
Shifting!Peaks:!
ΣIMG%=%2µ0%+%µk%
120%–%4K%H%K%H%K%+%120%–%6K%–%K%H%K%=%80%
K!=!160/14!=!11,4!
!
ps%=%85,7%
pw%=%74,3%
%
π%=%412%
%
%
%
%
%
%