06 - Paola Gallo Franco

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Factores
J. Tessada
2-2018
Motivación
APT con un
factor de
riesgo
APT Multi-
factorial
Tests
empı́ricos del
APT
Problemas
prácticos del
APT
Modelo de
Fama y
French (FF)
Finanzas I
Modelos de Factores
José Tessada
Escuela de Administración
Octubre 2018
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Factores
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Motivación
APT con un
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riesgo
APT Multi-
factorial
Tests
empı́ricos del
APT
Problemas
prácticos del
APT
Modelo de
Fama y
French (FF)
Temas
1 Motivación
2 APT con un factor de riesgo
3 APT Multi-factorial
4 Tests empı́ricos del APT
5 Problemas prácticos del APT
6 Modelo de Fama y French (FF)
Fama y French – 3 Factores
Carhart – 4 Factores
Lecturas: BKM capı́tulos 8.1-8.2, 10 y 13 (lectura rápida).
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APT
Problemas
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APT
Modelo de
Fama y
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Intuición
APT = Arbitrage Pricing Theory
S.Ross desarrolla la idea en 1976 en su paper “Return,Risk and Arbitrage”
Es una teorı́a sobre retornos esperados alternativa al CAPM
Las grandes fuerzas que determinan los precios en el APT son la diversificación y el
arbitrage
Pero, necesitamos un modelo estadı́stico de los retornos
Las conclusiones a las que llega el APT pueden ser similares a las del CAPM, pero
partiendo de supuestos muy distintos
En este caso también tenemos una SML (potencialmente multidimensional)
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French (FF)
Supongamos el siguiente modelo estadı́stico para retornos:
Rit − RF = αi + βi(Rct − RF) + eit ∀i (1)
Esto se puede parecer al CAPM a primera vista, pero no es necesariamente CAPM
No hemos dicho que Rc sea el retorno de mercado
El coeficiente βi es sólo el coeficiente de una regresión lineal, no el beta del CAPM
En el fondo, tenemos un modelo estadı́stico de los retornos, no una ecuación de
equilibrio
Rct es el retorno de un activo o portafolio que captura los movimientos comunes
entre activos
eit es el retorno residual después de “limpiar” las fuentes de co-movimiento entre
activos
En promedio este residuo es cero: E(ei) = 0.
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Problemas
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APT
Modelo de
Fama y
French (FF)
El gran supuesto del APT es que esos residuos no están correlacionados a través de
activos, es decir,
E(eiej) = 0 para todo activo i 6= j (2)
Esto implica que Rc es capaz de capturar los movimientos comunes en un grupo
grande de activos
=⇒ residuos son independientes o idiosincráticos
El retorno de un activo puede desviarse de αi + βi(Rct − RF), pero esa desviación no
ocurrirá simultáneamente para todo un grupo de activos (o si no deberı́a estar
capturada por Rc).
Si este modelo estadı́stico se cumple, entonces la covarianza entre los retornos de 2
activos es:
Cov(Ri, Rj) = βiβjV(Rc) (3)
La principal implicancia del APT es que los αi de activos individuales deben ser
aproximadamente cero. ¿Por qué?
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Consideremos que existen N activos. Si formamos un portafolio equal-weighted con
estos activos su retorno es:
Rpt − RF = αp + βp(Rct − RF) + ept
donde
αp =
α1
N
+ ... +
αN
N
βp =
β1
N
+ ... +
βN
N
ep =
e1
N
+ ... +
eN
N
¿Cuánto es el riesgo idiosincrático de este portafolio?
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Las covarianzas no aparecen en esta fórmula porque hemos asumido que los
residuos ei no están correlacionados a través de activos
Tomemos σ2máx = máx(σ
2
1 , ..., σ
2
N) :
Var(ep) ≤
σ2máx
N
Pero σ
2
máx
N → 0 cuando N → ∞. Entonces, la varianza idiosincrática de este
portafolio también tiende a cero
Dado que la varianza del residuo tiende a cero y ya tenı́a media cero, podemos
escribir el retorno del portafolio como:
Rpt − RF = αp + βp(Rct − RF)
Pero, ¿puede ser αp distinto de cero?
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Si αp > 0 hay una oportunidad de arbitraje:
Compro el portafolio p y vendo (posición corta) βp unidades del portafolio c
¿Cuánto es el retorno de esta estrategia?
Lo mismo ocurre si αp < 0
El APT dice que todo portafolio diversificado debe tener αp = 0
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Los activos individuales pueden tener alfas distintos de cero, pero “no por mucho”
Deben ser aproximadamente cero
¿Por qué? De lo contrario se puede convertir en una oportunidad de arbitraje
Entonces, para la mayorı́a de activos:
Rit − RF ≈ βi(Rct − RF) + eit
En promedio:
E[Rit − RF] ≈ βiE[Rct − RF]
Si Rc = Rm, es decir, si el portafolio c corresponde al mercado, llegamos a la misma
ecuación del CAPM, pero con supuestos absolutamente distintos
En este caso lo importante no serı́a que el mercado fuera un portafolio eficiente, si
no que fuera capaz de agotar las fuentes de movimiento común entre activos
Modelamos las covarianzas, ¿por qué?
No nos importa la crı́tica de Roll: no importa si mi medida de mercado de verdad
considera toda la riqueza existente, si no sólo si cumple los requisitos estadı́sticos
que vimos
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En general podemos pensar que es necesario incluir K portafolios o factores para
poder representar las fuentes de movimiento común entre activos
Y la idea es buscar un K <<< al número de activos disponibles a modelar
Los factores no son necesariamente retornos de portafolios, pueden ser variables
macro como la inflación, el crecimiento del PGB, el crecimiento de una cierta
industria (ej: el cobre para Chile), etc.
Sin embargo, es usual representar estos otros factores con portafolios que capturan
esas fuentes de comovimiento entre activos
Por ejemplo: el portafolio “inflación” compra los activos más sensibles a la inflación y
vende corto los activos menos sensibles
Esto tiene ciertas ventajas en la interpretación y la implementación empı́rica del APT,
pero no es un requisito conceptual
Ver en BKM como trabajar modelos en los cuales los factores no son portafolios
La versión multi-factorial del APT es:
Rit − RF = αi + βi1(R1t − RF) + . . . + βiK(RKt − RF) + eit
= αi +
K
∑
k=1
βik(Rkt − RF) + eit
El supuesto clave sigue siendo E(eiej) = 0 para todo activo i 6= j
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Los betas son la çantidad”de cada factor o riesgo que tiene un activo
Los betas pueden ser positivos o negativos. Un beta negativo implica que un activo
es un buen hedge con respecto a un cierto riesgo
La implicancia clave del APT es que los alfas son aproximadamente cero para todo
activo, y por lo tanto:
E[Rit − RF] ≈
K
∑
k=1
βikE[Rkt − RF]
Ejemplo:
Supongamos una economı́a con dos factores de riesgo: la sensibilidad al crecimiento del
PGB y la sensibilidad a la inflación
El premio por riesgo de crecimiento es de 5 %, es decir, las acciones más expuestas a este
riesgo ganan en promedio un 5 % más que las menos expuestas
El premio por riesgo de inflación es 3 %
La empresa X tiene un beta-crecimiento de 1.2 y un beta-inflaciónde 0.8
¿Cuánto es el premio por riesgo de la empresa?
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Los tests del APT son una generalización de los tests del CAPM
La clave del test son los alfas o las desviaciones de los retornos promedio respecto
del modelo bajo consideración
Un buen modelo es el que nos da alfas más chicos, ojalá cero
Si los alfas son distintos de cero (en un sentido estadı́stico) rechazamos la versión
del APT y buscamos otros factores o agregamos factores
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La clave del APT es poder capturar las fuentes de movimiento común entre activos
El APT es como un “fishing license” (Fama) en el sentido que es una carta blanca
para empezar a meter más y más factores hasta que se representen todas las fuentes
de movimiento común
Un primer problema empı́rico es que ha sido muy difı́cil encontrar un set de
factores que sea capaz de capturar todas las fuentes de movimiento común y
entregar residuos absolutamente idiosincráticos
Otro problema más conceptual es que el APT no nos dice qué portafolios o factores
deberı́an cumplir los requisitos estadı́sticos que se piden
Los factores son definidos de acuerdo a sus propiedades estadı́sticas, pero no
necesariamente de acuerdo a la intuición económica que hay detrás
Por ejemplo, si el factor que encuentro es el número de dı́as en que el mercado estuvo
abierto: mientras produzca residuos idiosincráticos no me importa la causa que está
detrás de su importancia
La estadı́stica usa datos históricos: si no hay intuición detrás no sabemos si el factor que
encontramos se mantendrá en el futuro o si fue simplemente una correlación espúrea
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Carhart – 4
Factores
Es el modelo APT más popular en el mercado de USA
Ventajas: es simple y ha sobrevivido múltiples tests en USA y otros mercados
desarrollados
Desventajas: las de todo modelo APT. En pocas palabras, no es todavı́a claro qué
riesgos de verdad representan los factores encontrados por FF
El modelo de FF considera 3 factores de riesgo:
1 Retorno de un ı́ndice de mercado al estilo CAPM
2 Retorno de un portafolio que compra acciones con alta razón libro-bolsa
(book-to-market) y vende acciones con baja razón libro-bolsa
3 Retorno de un portafolio que compra acciones de baja capitalización bursátil y vende
acciones de alta capitalización bursátil
El segundo factor es la diferencia de retorno entre las acciones “value” y “growth”,
y se le conoce como “value spread”
El tercer factor es el “size spread”
Estos 3 factores capturan más del 90 % de la variación de retornos en portafolios
americanos =⇒ No hay mucha variación común que quede afuera
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Para cada activo:
Rit − RF = αi + βim(Rmt − RF) + βiHMLHMLt + βiSMBSMBt + eit
donde
HMLt = Rhigh,t − Rlow,t
SMBt = Rsmall,t − Rbig,t
Como todo modelo APT, la predicción es que αi = 0
La justificación de HML y SMB es la observación empı́rica de que el tamaño y la
razón B/M predicen retornos empı́ricamente
Esto significa que deberı́an estar capturando fuentes de comovimiento entre
acciones. . . ¿cuáles?
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Algunas interpretaciones “racionales” del modelo de FF, es decir, que consideran la
existencia de un trade-off riesgo-retorno, son:
B/M: acciones value tienen mayor riesgo de quiebra. La evidencia al respecto no es
concluyente
Tamaño: empresas más chicas son menos lı́quidas y por eso reciben un premio De
verdad el size spread fue documentado a principios de los 80s y ha desaparecido en las
décadas recientes: ¿aumento de liquidez? ¿Eficiencia de mercado al darnos cuenta de
esta “anomalı́a”?
La interpretación behavioral es que HML no representa un factor de riesgo si no la
sobre-demanda de inversionistas irracionales por acciones “growth” que son
consideradas como ”glamorosas”. No es que tengan menor riesgo, sino que son más
”sexy”. Ejemplo: Yahoo vs. una compañı́a de agua potable, ¿Amazon versus Sears?
Es difı́cil testear las hipótesis racionales versus irracionales, la evidencia no es
concluyente todavı́a
A pesar de las carencias teóricas, el modelo de FF sigue siendo muy útil para
asignación de portafolios, creación y evaluación de fondos mutuos, calcular tasas de
descuento para evaluación de proyectos
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Cumulative return by BE/ME 1926-2005 
(log scale)
0.1
1
10
100
1000
10000
100000
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26
07
19
28
12
19
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05
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10
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36
03
19
38
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41
01
19
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45
11
19
48
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19
50
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02
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03
19
67
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19
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01
19
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06
19
74
11
19
77
04
19
79
09
19
82
02
19
84
07
19
86
12
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89
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19
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growth
value
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Cumulative return by size 1926-2005 
(log scale)
0.1
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100
1000
10000
100000
19
26
07
19
28
12
19
31
05
19
33
10
19
36
03
19
38
08
19
41
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19
43
06
19
45
11
19
48
04
19
50
09
19
53
02
19
55
07
19
57
12
19
60
05
19
62
10
19
65
03
19
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08
19
70
01
19
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19
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19
82
02
19
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07
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89
05
19
91
10
19
94
03
19
96
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99
01
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01
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Factores
Cumulative returns by size 1985-2005 
(log scale)
1
10
100
19
85
01
19
85
09
19
86
05
19
87
01
19
87
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01
19
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09
19
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19
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01
19
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09
19
92
05
19
93
01
19
93
09
19
94
05
19
95
01
19
95
09
19
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19
97
01
19
97
09
19
98
05
19
99
01
19
99
09
20
00
05
20
01
01
20
01
09
20
02
05
20
03
01
20
03
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20
04
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01
20
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Factores
Una fuente de movimiento común que los factores de FF no capturan es el
momentum
Consideremos el portafolio UMD:
UMDt = Rup,t − Rdown,t
Las acciones “up” son las acciones ganadoras en los últimos 12 meses y las acciones
“down” son las perdedoras
Este portafolio tiene un premio por riesgo sustancial a pesar de usar sólo
información histórica (en la próxima clase hablaremos de eficiencia)
Es usual hoy en dı́a considerar un modelo de FF aumentado con este cuarto factor
UMD
Tampoco ha sido fácil entender qué riesgo captura este factor,y es uno de los
argumentos tradicionales contra la posición de que todo mayor retorno es una
compensación a un riesgo que se está incorporando
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1920 The Journal of Finance R©
Table II
Intercepts and Slopes in Variants of Regression (1) for Equal-Weight
(EW) and Value-Weight (VW) Portfolios of Actively Managed Mutual
Funds
The table shows the annualized intercepts (12 ∗ a) and t-statistics for the intercepts (t(Coef )) for
the CAPM, three-factor, and four-factor versions of regression (1) estimated on equal-weight (EW)
and value-weight (VW) net and gross returns on the portfolios of actively managed mutual funds
in our sample. The table also shows the regression slopes (b, s, h, and m, for RM−Rf , SMB, HML,
and MOM, respectively), t-statistics for the slopes, and the regression R2, all of which are the same
to two decimals for gross and net returns. For the market slope, t(Coef ) tests whether b is different
from 1.0. Net returns are those received by investors. Gross returns are net returns plus 1/12th of
a fund’s expense ratio for the year. When a fund’s expense ratio for a year is missing, we assume
it is the same as other actively managed funds with similar assets under management (AUM).
The period is January 1984 through September 2006. On average there are 1,308 funds and their
average AUM is $648.0 million.
12 ∗ a
Net Gross b s h m R2
EW Returns
Coef −1.11 0.18 1.01 0.96
t(Coef ) −1.80 0.31 1.12
Coef −0.93 0.36 0.98 0.18 −0.00 0.98
t(Coef ) −2.13 0.85 −1.78 16.09 −0.24
Coef −0.92 0.39 0.98 0.18 −0.00 −0.00 0.98
t(Coef ) −2.05 0.90 −1.78 16.01 −0.25 −0.14
VW Returns
Coef −1.13 −0.18 0.99 0.99
t(Coef ) −3.03 −0.49 −2.10
Coef −0.81 0.13 0.96 0.07 −0.03 0.99
t(Coef ) −2.50 0.40 −5.42 7.96 −3.22
Coef −1.00 −0.05 0.97 0.07 −0.03 0.02 0.99
t(Coef ) −3.02 −0.15 −5.03 7.78 −3.03 2.60
each month. The EW portfolio weights funds equally each month. The inter-
cepts in (1) for EW fund returns tell us whether funds on average produce
returns different from those implied by their exposures to common factors in
returns, whereas VW returns tell us about the fate of aggregate wealth invested
in funds. Table II shows estimates of (1) for fund returns measured gross and
net of fund expenses. Net returns are those received by investors. Monthly
gross returns are net returns plus 1/12th of a fund’s expense ratio for the year.
The market slopes in Table II are close to 1.0, which is not surprising since
our sample is funds that invest primarily in U.S. stocks. The HMLt and MOMt
slopes are close to zero. Thus, in aggregate, active funds show little exposure
to the value-growth and momentum factors. The EW portfolio of funds pro-
duces a larger SMBt slope (0.18) than the VW portfolio (0.07). We infer that
smaller funds are more likely to invest in small stocks, but total dollars in-
vested in active funds (captured by VW returns) show little tilt toward small
stocks.
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