1 Matemáticas financieras - Benito Campuzano Beltrán

Vista previa del material en texto

Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Capítulo 1 
Matemáticas Financieras 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor tiempo del dinero 
• En un mundo sin inflación, qué preferimos, ¿100 hoy o 100 en un 
año más? 
 
• La tasa de interés ofrecida por el banco determina el costo de 
oportunidad de fondos. 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor tiempo del dinero 
• Valor futuro: es el valor alcanzado por un capital invertido al final del 
período analizado. 
 
• Es el valor a recibir en el futuro que es financieramente equivalente 
a cierta cantidad de dinero hoy. 
 
• VF = P + Pr = P (1+r) 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor tiempo del dinero 
• Una persona debiera de estar indiferente entre recibir P hoy o P 
(1+r) en un año más. 
• Supongamos tasa de interés = 20% 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
 ¿Qué pasa si queremos invertir a más de un período? 
 
• Interés simple: no considera la reinversión de los intereses de los 
períodos intermedios. 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• Equivalencia de tasas con Interés Simple: 
– Si hoy tengo 1.000 ¿Qué tasa anual, semestral, trimestral y 
mensual debiese recibir para obtener 1.100 en un año más? 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• Interés compuesto: 
– Considera la reinversión de los intereses ganados en un período. 
– Financieramente es la definición de interés más adecuada para 
trabajar, porque al no retirar los intereses los estamos 
reinvirtiendo. 
 
• ¿Cómo calculamos el valor futuro de $P en n años más? 
 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• Equivalencia de tasas con Interés Compuesta: 
– Si hoy tengo 1.000 ¿Qué tasa anual, semestral, trimestral y 
mensual debiese recibir para obtener 1.100 en un año más? 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• ¿Cuál es el valor futuro de $10.000 en 4 años más si la tasa de 
interés anual es de 10%? Compare la respuesta utilizando interés 
simple vs interés compuesto 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• El “poder” del interés compuesto 
 Si tengo 1.000.000 en t=0 
Método Simple 
Años 
Tasa de Interés 
7.000.000 7,5% 10,0% 12,5% 15,0% 17,5%
5 1.375.000 1.500.000 1.625.000 1.750.000 1.875.000 
10 1.750.000 2.000.000 2.250.000 2.500.000 2.750.000 
15 2.125.000 2.500.000 2.875.000 3.250.000 3.625.000 
20 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000 4.500.000 
25 2.875.000 3.500.000 4.125.000 4.750.000 5.375.000 
30 3.250.000 4.000.000 4.750.000 5.500.000 6.250.000 
35 3.625.000 4.500.000 5.375.000 6.250.000 7.125.000 
40 4.000.000 5.000.000 6.000.000 7.000.000 8.000.000 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• El “poder” del interés compuesto 
 Si tengo 1.000.000 en t=0 
267863546,2 7,5% 10,0% 12,5% 15,0% 17,5%
5 1.435.629 1.610.510 1.802.032 2.011.357 2.239.697 
10 2.061.032 2.593.742 3.247.321 4.045.558 5.016.244 
15 2.958.877 4.177.248 5.851.778 8.137.062 11.234.869 
20 4.247.851 6.727.500 10.545.094 16.366.537 25.162.705 
25 6.098.340 10.834.706 19.002.602 32.918.953 56.356.844 
30 8.754.955 17.449.402 34.243.305 66.211.772 126.222.273 
35 12.568.870 28.102.437 61.707.547 133.175.523 282.699.689 
40 18.044.239 45.259.256 111.199.004 267.863.546 633.161.741 
Método Compuesto 
Años 
Tasa de Interés 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Tasas de Interés 
• Diferencias de ambas tablas: 
 interés compuesto – interés simple 
 
 
 
 
 
 
 
 Por lo tanto, ¿Qué parámetros me hacen acentuar la diferencia 
entre ambos tipos de interés? 
 
- 7,5% 10,0% 12,5% 15,0% 17,5%
5 60.629 110.510 177.032 261.357 364.697 
10 311.032 593.742 997.321 1.545.558 2.266.244 
15 833.877 1.677.248 2.976.778 4.887.062 7.609.869 
20 1.747.851 3.727.500 7.045.094 12.366.537 20.662.705 
25 3.223.340 7.334.706 14.877.602 28.168.953 50.981.844 
30 5.504.955 13.449.402 29.493.305 60.711.772 119.972.273 
35 8.943.870 23.602.437 56.332.547 126.925.523 275.574.689 
40 14.044.239 40.259.256 105.199.004 260.863.546 625.161.741 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
• La pregunta ahora es al revés: ¿Qué valor en dinero es 
financieramente equivalente a un flujo que se recibirá en el próximo 
período? 
 
• Valor Presente: el valor en dinero a recibir hoy que es 
financieramente equivalente a un flujo que se recibirá en el futuro. 
 
• Valor presente de un flujo que se recibirá en un período más. 
 
 VP = F 
 (1 + r) 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
• VP de un Flujo que se recibirá en n períodos más: 
– Interés Simple: 
 
 
 
– Interés Compuesto: 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
• ¿Cuál es el valor presente de $20.000 a recibir en 5 años más si la 
tasa de interés anual es de 10%? Compare la respuesta utilizando 
interés simple vs interés compuesto. 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
• De varios flujos: 
 
 
 
• Si tenemos el siguiente patrón de flujos, ¿cómo calculamos su VP? 
Suponga una tasa de 10%. 
 
 
 
 
t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
100 20 10 80
 
• ¿Cómo comparo distintos patrones de flujo en el tiempo? 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
 Flujo en 1 Flujo en 2 Flujo en 3 Flujo en 4 Flujo en 5 VP (r = 5%) VP (r = 10%) VP (r = 25%) 
A $ 0 $ 50 $ 100 $ 0 $ 0 
B $ 50 $ 50 $ 50 $ 0 $ 0 
C $ 50 $ 100 $ 0 $ 0 $ 0 
D $ 40 $ 40 $ 40 $ 40 $ 40 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
• ¿Hay alguna tasa que me deje indiferente entre dos patrones de 
flujos? 
Valor Presente 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Valor Presente 
• ¿Qué pasa cuando hay distintas tasas para distintos períodos? 
 
 
 
• ¿Cómo calculamos el valor presente de los siguientes flujos? 
t=1 t=2 t=3
Flujos 100 30 80
Tasa 10% 5% 3%
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Casos Particulares 
Perpetuidad 
• Perpetuidad: flujo que se repite hasta el infinito, ¿cómo calculo su 
VP? 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Casos Particulares 
Anualidad 
• Anualidad: un mismo flujo se va repitiendo constantemente en el 
tiempo con un plazo finito. 
 
 
 
 
• Suponga flujos de $50 mensuales por dos años a una tasa 
mensual de 1%. ¿Cómo calculo su VP? ¿Cambia el valor si el 
primer pago es hoy? ¿Y si es en dos meses más? 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Otros Casos Particulares 
• Crecimiento: el flujo ya sea de una perpetuidad o de una 
anualidad va creciendo en el tiempo a una tasa constante g. 
 
 
 
 
– Perpetuidad con crecimiento: 
 
 
 
– Anualidad con crecimiento: 
 
 
 
 
 
 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Ejemplos 
Ejemplo 1 
 Un bono paga flujos anuales de $180.000 desde el año 1 hasta el 
año 25. Entre el año 26 y el año 40 los flujos presentarán un 
crecimiento del 3% anual. A partir del año 41 los flujos se mantienen 
estables hastaperpetuidad. Si la tasa de descuento es de 8% 
anual. ¿Cuál es el valor presente de este bono? 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Ejemplos 
Ejemplo 2 
 Señor: "Ud. puede comprar en tres cuotas mensuales iguales (la 
primera pagadera hoy), cualquiera de los bienes de la tienda, sin 
intereses. Ahora bien, si usted decide pagar al contado esa es 
otra cosa. En ese caso le hacemos un descuento de 5% sobre el 
precio de lista (que es igual a la suma de las cuotas)“ 
 
 ¿Se trata realmente de un crédito sin intereses? Calcule en base 
anual. Para simplificar, asuma que cada cuota es igual a $1. 
 
Marta Del Sante Arrau Contabilidad II 
Ejemplos 
Ejemplo 3 
• Supongamos el siguiente patrón de flujos: 
– Flujo hoy : - $ 250 
– Flujo en un año : $ 200 
– Flujo en dos años : $ 80 
 
¿Cuál es el VP si la tasa es: 3%, 10% ó 20%?