Electromagnetismo y Análisis Vectorial

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Electromagnetismo
y Análisis Vectorial
Marco A. Merma Jara
http://mjfisica.blogspot.com
Marzo 2019
Teoría de Campos Electromagnéticos
Marco A. Merma Jara
Electromagnetismo
Estudio de los fenómenos 
electromagnéticos ocasionados 
por cargas eléctricas en reposo 
o en movimiento
Marco A. Merma Jara
Modelo electromagnético
• Para construir modelos electromagnéticos
• Pasos
– Paso1. 
• Definir algunas cantidades básicas aplicables al tema
– Paso2
• Especificar las reglas de operación (las matemáticas) de 
estas cantidades
– Paso3
• Postular algunas relaciones fundamentales, basados en 
observaciones experimentales realizadas en 
condiciones controladas y sintetizadas por mentes 
brillantes
Marco A. Merma Jara
El modelo electromagnético
• Enfoque inductivo
– Desarrollo histórico 
– Observación, experimentación, ley física
• Enfoque deductivo
– Razonamiento a partir de fenómenos particulares
– Para llegar a principios generales
– Se parten de axiomas que pueden derivar en leyes 
y teoremas específicos
– Se verifican con observaciones experimentales
Marco A. Merma Jara
Cantidades básicas del modelo electromagnético
Cantidades fuente
Carga eléctrica
Cantidades campo
C106,1e 19
La carga se conserva
La carga está cuantizada
E Intensidad de campo eléctrico
D Densidad de flujo de campo eléctrico
B Densidad de flujo magnético
H Intensidad del campo magnético
Marco A. Merma Jara
Cantidades fundamentales del campo electromagnético
Intensidad del campo eléctrico
Densidad del flujo eléctrico o 
desplazamiento eléctrico
D
Densidad del flujo magnético
Intensidad del campo magnético
B
H
Marco A. Merma Jara
Cantidades fundamentales del campo electromagnético
Marco A. Merma Jara
Unidades del SI y constantes universales
Marco A. Merma Jara
Constantes fundamentales del electromagnetismo
s/m103c 8
Rapidez de la luz 
Permitividad eléctrica
128,85 10 /o F m
 
Permeabilidad magnética
74 10 /o H m 
 
1
o o
c
 

Marco A. Merma Jara
Constantes universales del electromagnetismo
En el espacio libre (vacío)
Marco A. Merma Jara
Escalares y vectores
• Magnitud escalar
– Cantidad física que solo posee magnitud
• Magnitud Vectorial
– Cantidad física que posee magnitud y dirección
• Campo 
– Función que específica una cantidad (física) 
particular en cualquier parte de una región del 
espacio
– Ejemplos
• Campos escalares
• Campos vectoriales
Marco A. Merma Jara
Suma y resta de vectores
Dos vectores A y B Regla del paralelogramo
Cabeza-cola: A+B Cola-cabeza : B+A
Marco A. Merma Jara
Suma y resta de vectores
ˆ ˆ ˆ  

x x y y z zA A a A a Aa
ˆ ˆ ˆ  

x x y y z zB B a B a B a
S⃗=(Ax+Bx) âx+(A y+By) â y+(Az+Bz) âz
Suma
     ˆ ˆ ˆx x x y y y z z zD = A B a + A B a + A B a  

Resta
Marco A. Merma Jara
Producto escalar (punto, interno)
BA
BA
cos AB


Marco A. Merma Jara
Producto escalar
zyx a2a3a2A 
3 4 5x y zB a a a  
(2)(3 ) (3 )(4 ) ( 2)( 5 )A B     
8A B  8B A 
A B B A  
Marco A. Merma Jara
Producto vectorial (cruz, externo)
Marco A. Merma Jara
Regla de la mano derecha
Marco A. Merma Jara
Producto cruz
A⃗×B⃗=
âx â y âz
Ax A y Az
Bx B y Bz
¿
Si A y B vectores
ˆ ˆ ˆ  

x x y y z zA A a A a Aa
ˆ ˆ ˆ  

x x y y z zB B a B a B a
A B = B A  
   
Marco A. Merma Jara
Producto de tres vectores
Producto escalar triple
Marco A. Merma Jara
Productos vectoriales
Triple producto escalar
Triple producto vectorial
Regla bac.cab
     A B×C =B C×A =C A×B  
     A× B C =B A C -C A B  
Si A,B,C son vectores
Marco A. Merma Jara
Operadores vectoriales
El operador nabla
ˆ ˆ ˆx y za a ax y z
  
   
  

Coordenadas cartesianas o rectangulares
Vectores unitarios
Operador Nabla
Marco A. Merma Jara
El operador Nabla
2
A
A
U
U






Si A es un campo vectorial
Si U es un campo escalar
Divergencia
Rotacional
Gradiente
Laplaciano
Marco A. Merma Jara
Divergencia
Si A es un campo vectorial
 ∇ ⋅ A⃗=( ∂ ∂x âx+
 ∂
 ∂ y
â y+
 ∂
 ∂z
âz) ⋅ (Ax âx+A y â y+Az âz)
Donde q
es la fuente
Marco A. Merma Jara
Rotacional
Si A es un campo vectorial
 ∇× A⃗=
âx â y âz
 ∂
 ∂x
 ∂
 ∂ y
 ∂
 ∂ z
A x A y A z
Marco A. Merma Jara
Gradiente de un campo escalar
V
( )x y zV a a a Vx y z
  
   
  
Marco A. Merma Jara
Identidades nulas
0)V( 
Si V es un campo escalar
Si el rotacional de un campo vectorial es nulo, entonces el campo escalar puede 
expresarse como el gradiente de un campo escalar
0A Si
Entonces existe un campo escalar V, tal que
A V 
Marco A. Merma Jara
Identidad
0)A( 
La divergencia de cualquier rotacional de cualquier campo vectorial es nulo
Si la divergencia de un campo vectorial es nulo, entonces el 
campo vectorial es solenoidal y puede expresarse como el 
rotacional de otro campo vectorial
B A 
0B  Si
Entonces
Marco A. Merma Jara
Clasificación de campos
Marco A. Merma Jara
Teorema de Helmholtz
Un campo vectorial está
determinado si su divergencia y 
su rotacional están especificados 
en todos ,los puntos
Marco A. Merma Jara
Sistemas de coordenadas ortogonales
Las leyes del electromagnetismo son independientes del sistema de 
coordenadas
Cuando tres superficies son mutuamente perpendiculares, se tiene Un 
sistema de coordenadas ortogonales
• Existen muchos sistemas de coordenadas ortogonales
Los principales
1. Sistema de coordenadas cartesianas ( rectangulares)
2. Sistema de coordenadas cilíndricas
3. Sistema de coordenadas esféricas
Marco A. Merma Jara
Coordenadas cartesianas
x
y
z
ˆ ˆ ˆ, ,x y za a a
Vectores unitarios cartesianos
( , , )P x y z
ˆ ˆ ˆx x y y z zA A a A a A a  

Componentes 
, ,x y zA A A
Marco A. Merma Jara
Ejercicio 
Dado un vector
ˆ ˆ ˆ2 2 2x y zA a a a  

a) Determine su magnitud
b) Determine la expresión del vector unitario
c) Determine el ángulo que forma el vector A con el eje z
Marco A. Merma Jara
Coordenadas cilíndricas
ˆ ˆ ˆ, ,  za a a
Vectores unitarios cilíndricos
Componentes
ˆ ˆ ˆ
ρ ρ z zA = A a + A a + A a 

ρ j zA , A , A
cos x = ρ y = ρsen
z = z
 
2 2 1
y
ρ = x + y = tg z = z
x
 ρ r
Marco A. Merma Jara
Coordenadas esféricas
r=√x2+ y2+z2
θ =tg− 1√x
2
+ y2
z
ϕ=tg − 1
y
x
x=r senθ cosϕ
y=r senθ senϕ
z=r cosθ
Marco A. Merma Jara
Relación entre coordenadas
Marco A. Merma Jara
Relaciones entre coordenadas
Transformación del vector A de cartesianas a cilíndricas
Transformación del vector A de cilíndricas a cartesianas
Marco A. Merma Jara
Relación entre coordenadas
Cartesianas a esféricas
De esféricas a cartesianas
Marco A. Merma Jara
Ejercicio: Expresar el vector B en coordenadas cartesianas y cilindricas. Halle 
B(-3,4,0) y B(5,π/2 ,-2)
10
cosr θB = a + r θa + ar 
Solución
Marco A. Merma Jara
Los tres sistemas de coordenadas
Marco A. Merma Jara
Teorema de la divergencia
V Volumen
A Campo 
vectorial
S Área
A Campo 
vectorial 
AdV = A dS 
Marco A. Merma Jara
Teorema de Stokes
S :Área
A: Campo 
vectorial
l :elemento del 
camino (línea)
C: Camino 
recorrido
∮S ∇× A⃗ dS=∮C A⃗ ⋅ d l⃗
Marco A. Merma Jara
Nabla
Coordenadas cartesiana (x,y,z)
Marco A. Merma Jara
Nabla
Coordenadas cilíndricas ( , , )r z
Marco A. Merma Jara
Nabla
Marco A. Merma Jara
Identidades 
Marco A. Merma Jara
Referencias
• David K. Cheng, Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería
• Matthew N. O. Sadiku , Elementos de Electromagnetismo, 3ra Edición