Eym2_a

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J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-1
Ecuaciones generales
Modelo de Maxwell
• Introducción
• Fuentes de campo:
– Carga eléctrica. Corriente eléctrica. 
– Ecuación de continuidad.
• Definición del campo electromagnético.
• Ecuaciones de Maxwell.
– Forma Integral. Forma diferencial.
• Ecuaciones de estado.
– Influencia sobre los materiales.
– Clasificación de medios.
– Ley de Ohm. Constante de relajación.
• Condiciones en las interfases.
• Linealidad de las ecuaciones de Maxwell.
• Balance energético: Teorema de Poynting.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-2
Introducción
• El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones 
de Maxwell junto con las ecuaciones de estado.
• Es un modelo modelo macroscópico: 
– Los materiales se consideran continuos.
– En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de 
partículas elementales en los recintos habituales permite considerarlos 
continuos.
• Hay dos formas de expresar las ecuaciones de Maxwell:
– Integral:
» Flujos y circulaciones.
– Diferencial:
» Divergencias y rotacionales.
• Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes.
– Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente.
– Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-3
Carga eléctrica.
• Se supone conocido el concepto de carga eléctrica.
– El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral.
» Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen.
• Unidad: Culombio ó Coulomb (C)
– Es una unidad muy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra 
puesta a 1V es del orden de 0.7 mC
• Se puede considerar que los portadores de carga básicos son los 
protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa.
– En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela.
– Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones.
– En los metales existen electrones libres que se pueden desplazar entre 
una red de iones.
– En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-4
Densidad de carga eléctrica volumétrica.
• Magnitud diferencial o puntual asociada:
Densidad de carga por unidad de volumen:
– Definición:
– Unidades: (C/m3)
– Relación con la carga encerrada en un volumen: 
( )
dV
dq
V
q
limr
V
=
∆
∆
=ρ
→∆ 0
r
( )∫∫∫∫∫∫ ρ== VV dVrdqq
r
dV
dq
r
r
O V
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-5
Otros tipos de distribuciones de carga
• Carga puntual:
– Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de 
dimensiones muy pequeñas frente a la distancia de observación.
– La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se 
encuentra la carga:
» Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q en 
su interior:
» Su densidad se puede representar por una δ tridimensional: δ3
( ) ( ) ( )q
q
q
V
rrqr
Vr
Vrq
dVrq
rrr
r
r
r
−δ=ρ⇒
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=ρ= ∫∫∫ 3;0
;
r
rq
O V
q
( )
( )
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=−δ
≠=δ
∫∫∫ Vr
Vr
dVrr
rr
q
q
V q
r
r
rr
rr
;0
;1
0;0
3
3
( ) ∞=
∆
=
∆
∆
=ρ
→∆→∆ V
q
lim
V
q
limr
VV 00
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-6
Distribución superficial de carga.
• Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una 
de sus dimensiones es despreciable frente a la distancia de 
observación.
– Caso típico: carga en la superficie
de un conductor.
– Densidad de carga superficial:
– Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los 
puntos de la superficie.
– Se puede representar por una δ.
» si la superficie está definida por ui= uS :
dS S
O
dqr
r
( ) 2
0
mC
dS
dq
S
q
limr
S
S =∆
∆
=ρ
→∆
r
dS
dV
ρS
( ) ( ) ∞=
∆
∆
ρ=
∆
∆
=ρ
→∆→∆ V
S
rlim
V
q
limr S
VV
rr
00
( ) ( ) ( )ruur SSn
rr
ρ−δ=ρ
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EyM 2a-7
Distribución lineal de carga
• Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que dos 
de sus dimensiones son despreciables frente a la distancia al punto 
de observación.
– Caso típico: carga de un hilo conductor.
– Densidad de carga lineal:
– Dificultad: la densidad de carga 
volumétrica no está definida en los 
puntos de la línea.
– Se puede representar por una δ2:
» si la línea está definida por ui= ul,i y uj= ul,j : 
( ) mC
0 dl
dq
l
q
limr
l
L =∆
∆
=ρ
→∆
r
( ) ( ) ∞=
∆
∆
ρ=
∆
∆
=ρ
→∆→∆ V
l
rlim
V
q
limr L
VV
rr
00
dl
CO
dq
r
r
( ) ( ) ( ) ( )ruuuur Ljljili rr ρ−δ−δ=ρ ..
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-8
• La corriente eléctrica es la carga en movimiento.
• La magnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica 
es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que 
atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (Magnitud integral)
– La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que 
equivale a un flujo de 1 Coulomb en 1 segundo.
– En un metal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad 
media depende del campo eléctrico existente:
– Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan.
– En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y 
negativos.
» Sus velocidades medias dependen del campo eléctrico pero no 
tienen por qué coincidir.
– Otro tanto se puede decir de los semiconductores.
A
dt
dq
I =
Corriente Eléctrica
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EyM 2a-9
Densidad de corriente volumétrica
• Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto.
• Definición:
– Es un vector:
» definición por componentes:
• Unidades: Amperio/metro2, es decir, A/m2
• Relación con la intensidad de corriente:
• Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica.
– Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de 
una superficie en la unidad de tiempo.
– Corriente volumétrica porque las cargas se mueven dentro de un volumen.
dS S
dI
$n
dS
dI
S
I
limJn
S
=
∆
∆
=⋅
→∆ 0
ˆ
r
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅== SSS SdJdSnJdII
rrr
ˆ
OjO
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EyM 2a-10
Densidad de corriente volumétrica (2)
• Suponiendo un único tipo de portadores:
» densidad de carga asociada: ρ
» Velocidad media de desplazamiento:
• La carga ∆q que atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t
a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida 
en el volumen ∆V :
• Puesto que la superficie es arbitraria:
• En el caso de varios tipos de portadores:
• Unidades: A/m2
v
r
∆Sρ
r
v
r
v n t⋅ $∆
$n
r
v t∆
nv
dSdt
dtdSnv
tS
V
lim
tS
q
limnJ
SS
ˆ
ˆ
ˆ
00
⋅ρ=
⋅ρ
=
∆∆
∆ρ
=
∆∆
∆
=⋅
→∆→∆
r
rr
vJ
rr
ρ=
∑∑ ρ==
i
ii
i
i vJJ
rrr
OjO
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-11
• La corriente superficial es una aproximación de una corriente que 
circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto 
de observación.
• La densidad de corriente superficial
caracteriza este tipo de distribuciones.
» l es la intersección de la superficie
por la que circula la corriente con 
la que se utiliza para el cálculo de 
la intensidad.
» está contenido en la superficie 
por la que circula la corriente y 
es normal a l
• Unidades: A/m
– Amperios/(Unidad de anchura)
• Relación con la intensidad:
Distribuciones de corriente superficial
dl
dI
l
I
limJn
l
S =∆
∆
=⋅
→∆ 0
ˆ
r
∫∫ ⋅== LL dlnJdII ˆ
r
$n
OjO
dIδ>0
dlnJSdJdI δ⋅=⋅= ˆ
rrr
dl
n̂
dIδ=0
ldJdI S
rr
⋅=
dl
n̂
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EyM 2a-12
Distribuciones filiformes.
• Son una aproximación de las corrientes que circulan a lo largo de un 
recinto de dimensiones transversales despreciables frente a la 
distancia al punto de observación.
– Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor.
• Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I, y el 
vector unitario .
l̂ I
S
Il̂
∫∫ ⋅=
s
SdJI
rr
l̂
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-13
Ley de conservación de la carga:
Ecuación de continuidad
• Ley de conservación de la carga:
La carga no se crea ni se destruye.
– Ecuación de continuidad en forma integral.
» Para cualquier volumen V la disminución de la carga encerrada es 
igual a la carga que fluye fuera de él,la corriente saliente. 
– Ecuación de continuidad en forma diferencial.
» Si V permanece fijo en el tiempo:
» Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen:
$n
dV
dq
r
r
O
V
S
r
J
0=
∂
∂ρ
+⋅∇
t
J
r
0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ρ
+⋅∇=+⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ρ
=ρ=⇒ρ=
⋅∇=⋅=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
V
VVV
VS
dV
t
J
dt
dq
I
dV
dt
d
dV
dt
d
dt
dq
dVq
dVJSdJI r
rrr
⇔−=
dt
dq
I 0=+
dt
dq
I
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EyM 2a-14
Definición del campo electromagnético
• La definición del campo electromagnético requiere cuatro vectores:
– : Intensidad de campo eléctrico (V/m)
– : Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento
eléctrico (C/m2)
– : Densidad de flujo magnético (wb/m2)
– : Intensidad de campo magnético (A/m)
• La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz.
– Si una carga q se mueve a velocidad en el seno de un campo 
electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor:
• Fuerzas sobre distribuciones volumétricas:
E
r
D
r
B
r
H
r
v
r
( )BvEqF rrrr ×+=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫
×+ρ=×ρ+ρ=
=×+=
VVVV
QQ
dVBJdVEdVBvdVE
dqBvdqEF
rrrrrr
rrrr
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EyM 2a-15
Ecuaciones de Maxwell
• Son cuatro.
– A Maxwell se debe sólo un término de una de ellas.
• Ecuaciones de Maxwell
Forma Integral Forma Diferencial
Ley de Gauss qSdD
S
=⋅∫∫
rr
ρ=⋅∇ D
r
Ley de Faraday
∫∫∫ ⋅∂
∂
−=⋅
SC
SdB
t
ldE
rrrr
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
r
Flujo del campo
Magnético
0=⋅∫∫S SdB
rr
0=⋅∇ B
r
Ley de Ampère
∫∫∫ ⋅∂
∂
+=⋅
SC
SdD
t
IldH
rrrr
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
r
rr
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-16
Ley de Gauss
• Enunciado:
– El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, , a través una 
superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior.
• Es fácil pasar de su forma integral a la diferencial:
– Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios:
• La densidad de carga es la fuente escalar del campo : las líneas 
tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de 
carga negativa.
qSdD
S
=⋅∫∫
rr dV
V S
$n
r
D
dS
⇒ρ=⋅∇⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ρ=
⋅∇=⋅
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫
VV
V
V
Gauss
S dVdVD
dVq
dVDSdD r
rrr
ρ=⋅∇ D
r
D
r
D
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-17
Ley de Faraday
• Relaciona el campo con la variación temporal del campo .
– La circulación del campo a lo largo de un contorno C es igual a la 
menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través 
de una de las superficies limitadas por C.
– Si se supone que la superficie S permanece fija
y que sólo contiene puntos ordinarios:
– La variación temporal de es fuente vectorial del campo .
∫∫∫ ⋅∂
∂
−=⋅
SC
SdB
t
ldE
rrrr
dS
S
C
$n
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
⇒⋅
∂
∂
−=⋅×∇
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅
∂
∂
=⋅
∂
∂
⋅×∇=⋅
=
∂
∂
SS
S
t
S
S
S
Stokes
C
Sd
t
B
SdE
Sd
t
B
SdB
t
SdEldE
r
r
rr
r
r
rr
rrrr
0 t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
r
E
r
B
r
B
r
B
rE
r
E
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-18
Ecuación del flujo del campo magnético
• Las líneas de campo magnético son cerradas:
– Para toda superficie:
– Y si sólo contiene puntos ordinarios:
– Equivale a negar la existencia de monopolos o cargas magnéticas.
0=⋅∫∫S SdB
rr
⇒=⋅∇=⋅ ∫∫∫∫∫ 0VS dVBSdB
rrr
0=⋅∇ B
r
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-19
• Relaciona el campo con la variación temporal del campo y la 
corriente.
– La circulación del campo a lo largo de un contorno C es igual a la 
derivada con respecto al tiempo del flujo del campo a través de una 
de las superficies limitadas por C más la corriente.
– Si se supone que la superficie S permanece fija y 
que sólo contiene puntos ordinarios:
• La variación temporal de y la densidad de corriente, ,son fuentes 
vectoriales del campo .
H
r
D
r
dS
S
C
$n
∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
⇒⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=⋅×∇⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⋅=
⋅
∂
∂
=⋅
∂
∂
⋅×∇=⋅
=
∂
∂
SS
S
S
t
S
S
S
Stokes
C
Sd
t
D
JSdH
SdJI
Sd
t
D
SdD
t
SdHldH
r
r
rrr
rr
r
r
rr
rrrr
0
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
r
rr
∫∫∫ ⋅∂
∂
+=⋅
SC
SdD
t
IldH
rrrr
H
r
D
r
D
r
J
r
H
r
Ley de Ampère
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-20
• El término es la contribución de Maxwell.
• Se puede justificar su necesidad:
– Supongamos que el campo eléctrico es nulo 
fuera del condensador y escogamos una 
superficie que corte al conductor:
– Si con el mismo contorno se escoge una 
superficie que que pase entre las armaduras:
– Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación 
de carga en el condensador es fácil obtener un término que conduce al 
resultado correcto:
Ley de Ampère (2)
tD ∂∂
r
∫∫∫ ⋅=⋅=
1
0 SC
SdJldHI
rrrr
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
⋅
∂
∂
=⋅=⇒=⋅
∂
∂
+⋅−⇒
⇒=⋅
∂
∂
+⋅⇒=
∂
∂
+
+−=
+−=
2121
0
21
21
0
00
SSSS
SSS
SSS
S
S
SdD
t
SdJISdD
t
SdJ
SdD
t
SdJ
t
q
I
rrrrrrrr
rrrr
0
2
0 =⋅≠⋅= ∫∫∫ SC SdJldHI
rrrr
I0
q+
S1
I0
C
n̂
I0
q+
S2
I0
C
n̂
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-21
– trabajando un poco: 
– resulta que y varían de forma que se compensan sus variaciones 
desde el punto de vista de cálculo de sus flujos.
– Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de 
Ampère clásica de esta forma:
– Está fue la aportación de Maxwell.
– Esta aportación permitió la predicción de la propagación de ondas 
electromagnetismo y fue la confirmación experimental de la existencia de 
éstas (Hertz 1886) lo que confirmó la validez de este término.
Ley de Ampère (3)
0
0
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⋅∇=⋅∇
∂
∂
+⋅∇⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ρ=⋅∇
=
∂
ρ∂
+⋅∇
D
t
JD
t
J
D
t
J rrrr
r
r
tD ∂∂
r
J
r
t
D
JH
cte
t
D
J
JH
∂
∂
+=×∇⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
∂
∂
+
=×∇ rrrr
r
rr
?
J.L. Fernández Jambrina
EyM 2a-22
Redundancia en las ecuaciones de Maxwell
• Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las 
ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad:
– Calculando la divergencia de la Ley de Faraday:
– Calculando la divergencia de la Ley de Ampère:
– La experiencia dice que ambas constantes son nulas.
cteBB
tB
tt
B
E
t
B
E =⋅∇⇒=⋅∇
∂
∂
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅∇
∂
∂
=
∂
∂
⋅∇
=×∇⋅∇
⇒
∂
∂
−=×∇
rr
r
r
rr
r
0
0
( )
( ) cteDD
t
D
t
D
t
J
t
D
J
H
t
D
JH Ec
Cont
+ρ=⋅∇⇒=⋅∇+ρ−
∂
∂
⇒
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅∇+ρ−
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+⋅∇=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⋅∇
=×∇⋅∇
⇒
∂
∂
+=×∇
rr
rrr
r
r
r
r
rr
0
0
.
.