eym1_05

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Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-1
EyM 1-1
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Campos escalares y vectoriales
Operaciones con vectores
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
EyM 1-2
Concepto de campo
• Un campo en Física es la descripción de una determinada 
propiedad (física) de los puntos del espacio.
• Campo Escalar.
– Se puede describir con sólo un número para cada punto.
– Se representa por medio de una función de la posición.
– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. 
Potencial Electrostático...
• Campo Vectorial.
– Para cada punto la propiedad varía con la dirección 
considerada.
– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con 
cada punto del espacio.
– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la 
gravedad...
• El campo electromagnético requiere al menos dos 
campos vectoriales.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-2
EyM 1-3
Como se ha indicado en los objetivos iniciales, el estudio de la Teoría 
Electromagnética implica el manejo del campo electromagnético. 
En el lenguaje de la física se entiende por campo a toda magnitud que 
pueda variar en general punto a punto en el espacio y en el tiempo.
Existen dos tipos de magnitudes que se manejan en física: escalares y 
vectoriales. 
Las magnitudes escalares son aquellas que llevan asociado solamente 
un valor numérico. 
Las magnitudes vectoriales son aquellas que no solo tienen asociado 
un valor numérico sino también una dirección y sentido en el espacio. 
Se designan mediante una letra sobre la que se coloca una flecha A o 
también un guión A, aunque en textos mecanografiados suele utilizarse una 
letra subrayada A o incluso una letra negrilla A. 
Se representan geométricamente por medio de vectores o sea una línea 
terminada con una flecha. La longitud del vector representa su magnitud, que 
se designa bien por la letra del vector A o como |A|, y la flecha indica la 
dirección.
r
A
A
Algebra vectorial
r
A
r
A A=
EyM 1-4
Operaciones sobre Vectores
Igualdad.- Se dice que dos vectores A y B son iguales si y solo si sus 
magnitudes, direcciones y sentidos son iguales. 
Suma.- Dados dos vectores A y B se define el vector C suma de los anteriores 
C = A + B como aquel que se obtiene de la siguiente forma: se coloca el vector 
B a continuación del A y el vector C es el que une el origen del A con el 
extremo del B.
Resta.- Dados dos vectores A y B el vector resta C = A - B es la suma del A con 
el -B
(opuesto del B ) que se define como aquel que tiene la misma magnitud y 
dirección que el B pero sentido opuesto. Su construcción geométrica es 
evidente.
r
A
r
A
r
B −
r
B
r r r
C A B= +
r r r
C A B= −
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-3
EyM 1-5
Operaciones sobre Vectores
Propiedad Conmutativa.- A + B = B + A
r
A
r
B
r r r r r
C A B B A= + = +
r
B
r
A
Propiedad Asociativa.- (A + B ) + C = A + (B + C)
r
A
r
B
r r
B C+
r
Cr r
A B+
( ) ( )
r r r r r r
A B C A B C+ + = + +
EyM 1-6
Operaciones sobre Vectores
Multiplicación y división por un escalar.- Dados un vector A y un escalar m el 
producto mA es un nuevo vector cuyo módulo es |mA|= |m|.|A| y cuya 
dirección es la de A si m>0 o el opuesto si m<0. La división es una 
multiplicación por el inverso del escalar, o sea por 1/m.
Vector unitario.- Dado un vector A el vector unitario según A es aquél que tiene 
su misma dirección y sentido pero módulo unidad. Se obtiene dividiendo el 
vector A por su módulo |A|. Los vectores unitarios suelen designarse con una 
letra minúscula con un símbolo especial superpuesto: â.
Propiedades.-
Conmutativa: m A = A m
Asociativa: m(nA) = (mn)A
Distributiva respecto al escalar: (m+n)A = mA + nA
Distributiva respecto al vector: m(A + B) = mA + mB
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-4
EyM 1-7
Operaciones sobre Vectores
Propiedades importantes del producto escalar:
Producto escalar.- Dados dos vectores A y B el producto escalar de ambos es 
una magnitud escalar cuyo valor es el producto de los módulos de los dos 
vectores por el coseno del ángulo que forman. 
Si designamos por α a dicho ángulo será: 
Geométricamente puede interpretarse como el producto del módulo de un vector 
por la proyección del otro sobre él.
r r r r
A B A B• = cosα
r
A
r
B
α
r
B cosα
Conmutativa: A·B = B·A
Asociativa respecto de la suma: A·(B + C) = A·B + A·C
EyM 1-8
Operaciones sobre Vectores
Producto vectorial.- El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyo 
módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman ambos 
y cuya dirección es la del vector unitario en la dirección de la normal al plano 
que forman los factores y cuyo sentido es el matemático positivo de avance del 
sacacorchos al girar desde el primer factor al segundo.
r r r r
A B A B u× = sin $α
r
A
r
B
α
$u
Geométricamente el módulo del producto 
vectorial representa el área del 
paralelogramo que forman los factores.
Propiedades importantes del producto vectorial:
Conmutativa: A×B ≠ B×A pero A×B = - B×A
Distributiva respecto de la suma: A×(B + C) = A×B + A×C
Asociativa : A × (B × C) ≠ (A × B) × C
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-5
EyM 1-9
Operaciones sobre Vectores
Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo que forman A, B
y C por lo que cumple la siguiente propiedad de rotación del orden de los 
factores: 
Producto mixto escalar y vectorial.- Dados tres vectores A, B y C se define como: 
( ) φθ sincosCBACBA rrrrrr =ו
r
A
r
B
φ
$u
θ
r
C
donde φ es el ángulo formado por B y C
y θ es el ángulo formado por A y la normal 
al plano que forman B y C. 
( ) ( ) ( )ACBBACCBA rrrrrrrrr ו=ו=ו
Producto vectorial doble.-
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA
CBCBA
rrrrrr
rrrr
rr
rrr
•−•=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
••
=××
EyM 1-10
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Campos escalares y vectoriales
Operaciones con vectores
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-6
EyM 1-11
Sistemas de coordenadas
• Hacen falta para describir los puntos del espacio.
• El más simple es el cartesiano:
– Al decir que un punto P tiene coordenadas
x0, y0, z0 se quiere decir que está contenido
en los planos:
– Los vectores unitarios llevan la dirección 
y sentido en que se desplaza el punto 
al incrementar la coordenada 
correspondiente.
– Los vectores unitarios se ordenan de
forma que el producto vectorial del 
primero por el segundo da el tercero:
000 zzyyxx ===
dx
rd
x
rx
x
rr
=
∆
∆
=
→∆
limˆ
0
zyx ˆˆˆ =×
z z= 0
y y= 0
X
Z
Y
$x
$y
$z
P
x x= 0
EyM 1-12
Sistema cartesiano (2)
rr
r rr l+ ∆
∆
r
l
O
– El vector de posición del punto es el vector que 
une el origen de coordenadas con el punto. Sus 
componentes en cartesianas:
– Un desplazamiento a lo largo de una curva se 
puede definir por un vector:
– Si el desplazamiento es de magnitud muy 
pequeña (infinitesimal) se puede representar por:
– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:
» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, 
los tres diferenciales se pueden reducir a una.
zzyyxxr ˆˆˆ ++=r
222 dzdydxldldlddl ++=⋅==
rrr
zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆
r
zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-7
EyM 1-13
Sistemas de Coordenadas 
Curvilíneas Ortogonales
En el manejo de problemas físicos y para simplificar las manipulaciones 
matemáticas es necesario describir los vectores en función de sus 
componentes sobre un conjunto de direcciones de referencia.
Un sistema de coordenadas utiliza la representación de cada punto como 
intersección de tres superficiesmutuamente ortogonales:
u cte
u cte
u cte
1
2
3
=
=
=
Estas superficies se llaman superficies coordenadas del sistema y para que la 
representación de cada punto sea unívoca se requiere que las funciones que 
representan las superficies coordenadas sean:
• independientes 
• uniformes 
• derivables y con derivadas continuas
• admitan función inversa 
EyM 1-14
Sistemas de Coordenadas
Curvilíneas Ortogonales
Las líneas de intersección de las superficies coordenadas se llaman curvas 
coordenadas (u1 , u2 , u3) y en cada punto son ortogonales entre sí. 
Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas, respectivamente 
â1 , â2 y â3 , son ortogonales entre si y coinciden con los vectores unitarios 
normales a las superficies coordenadas Â1, Â2 y Â3 por lo que ambos 
conjuntos forman la base para representar cualquier vector en el sistema de 
coordenadas. 
u1
u2
u3 P
â1
â2
â3
332211
332211
ˆˆˆ
ˆˆˆ
BABABA
BaBaBaB
++=
++=
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-8
EyM 1-15
Sistemas de Coordenadas
Curvilíneas Ortogonales
En general los vectores unitarios cambian de dirección punto a punto en el 
espacio. 
En general las coordenadas no representan distancias: 
Los sistemas de coordenadas de utilización más frecuente son el Cartesiano, el 
Cilíndrico y el Esférico que pasamos a describir. 
por lo que para medir distancias a lo largo de las curvas coordenadas es 
necesario utilizar unos factores de proporcionalidad llamados factores de 
escala: 
dl du
dl du
dl du
1 1
2 2
3 3
≠
≠
≠
dl h du
dl h du
dl h du
1 1 1
2 2 2
3 3 3
=
=
=
EyM 1-16
• El diferencial de volumen:
– En cartesianas:
– En curvilíneas generalizadas ortogonales:
A pesar del aspecto del dibujo,
al ser las dimensiones muy
pequeñas, los lados son
son rectos y ortogonales.
Curvilíneas 
dy
dz
dx
X
Z
Y
dzdydxdV =
u2
u1
u3h2du
2
h3du3
h1du
1
321321 dududuhhhdV =
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-9
EyM 1-17
Sistema de coordenadas Cartesiano
Las superficies coordenadas del sistema son planos paralelos a tres 
planos ortogonales entre si que se toman como referencia.
Sus ecuaciones se designan como:
x cte
y cte
z cte
=
=
=
Por tanto cada punto resulta de la intersección de tres planos y sus 
coordenadas son las constantes correspondientes a los mismos y que 
en general se designan mediante una terna (x,y,z). 
Para poder describir todos los puntos del espacio las tres coordenadas 
deben poder variar entre - ∞ y + ∞. z
x
y
P
EyM 1-18
Sistema de coordenadas Cartesiano
Estos vectores unitarios son constantes en todos los puntos del espacio 
(se mantienen paralelos a los de referencia en todos los puntos).
Las líneas coordenadas son rectas ortogonales entre sí y los vectores 
unitarios llevan sus direcciones y se designan: $, $, $x y z
Cualquier punto del espacio puede designarse mediante su vector de 
posición r que se define como el vector que une el origen del sistema de 
coordenadas con el punto en cuestión. Sus componentes serán las 
coordenadas del punto y por tanto será: rr xx yy zz= + +$ $ $
Las coordenadas son métricas por lo que sus factores de escala son la 
unidad. La diferencial de longitud a lo largo de cada línea coordenada será: 
dx, dy, dz. Las diferenciales de superficie serán: dydz, dzdx y dxdy
respectivamente en las superficies coordenadas x=cte, y=cte y z=cte. La 
diferencial de volumen será: dv = dxdydz.
x
y
z
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-10
EyM 1-19
Ejercicio
Dados dos vectores A y B cuyas componentes cartesianas son conocidas (Ax, 
Ay, Az) y (Bx, By, Bz) obtenga la expresión de su producto escalar y vectorial
( )( )
AzBzAyByAxBx
zBzyByxBxzAzyAyxAxBA
++=
=++++=⋅ ˆˆˆ.ˆˆˆ
rr
( ) ( ) ( )AyBxAxByzAxBzAzBxyAzByAyBzx
BzByBx
AzAyAx
zyx
BA −+−+−==× ˆˆˆ
ˆˆˆ
rr
EyM 1-20
Ejercicio
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )BACCAB
BzAzCzzBzAzCzzByAyCyyByAyCyyBxAxCxxBxAxCxx
AyByAxBxCzzAzBzAxBxCyyAzBzAyByCxxAyCyAxCxBzzAxCxAzCzByyAzCzAyCyBxx
AyBzCyAyByCzAxBxCzAxBzCxzAxByCxAxBxCyAzBzCyAzByCzy
AzBxCzAzBzCxAyByCxAyBxCyx
ByCxBxCyBxCzBzCxBzCyByCz
AzAyAx
zyx
CBA
rrrrrr
rrr
•−•=
=−+−+−+
++−+−+−+++++=
=+−−++−−+
++−−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=××
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
Usando las componentes cartesianas de A , B y C demuestre la igualdad:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BACCABCABA
CBCBA
rrrrrr
rrrr
rr
rrr
•−•=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
••
=××
( ) ( ) ( )ByCxBxCyzBxCzBzCxyBzCyByCzx
CzCyCx
BzByBx
zyx
CB −+−+−==× ˆˆˆ
ˆˆˆ
rr
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-11
EyM 1-21
Sistema de coordenadas Cilíndricas
Las superficies coordenadas del sistema son: 
. Planos z = cte. 
. Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo
φ con el semiplano xz que se toma como referencia. 
. Cilindros de eje el z y radio ρ. 
x
P
y
z
ρ
φ
z
$z
$φ
$ρ
Las coordenadas del sistema serán ternas de valores 
ρ, φ, z. Para describir unívocamente todos los puntos 
del espacio las coordenadas deberán variar en los 
márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ < 2π y - ∞ < z < + ∞. 
EyM 1-22
Sistema de coordenadas Cilíndricas
La relación entre las coordenadas del sistema cilíndrico con las del cartesiano 
puede expresarse fácilmente observando que aquel se obtiene de éste 
mediante un giro de ángulo φ alrededor del eje z. La relación puede expresarse 
pues por medio de la correspondiente matriz de giro. Así los vectores unitarios 
se relacionan como:
x
y
z
ρ
φ
z
$z
$φ
$ρ
$y
$x
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z
y
x
sin
sin
z ˆ
ˆ
ˆ
100
0cos
0cos
ˆ
ˆ
ˆ
φφ
φφ
φ
ρ
Nótese que la matriz de giro es unitaria y por tanto
su inversa es igual que su transpuesta. Pueden 
obtenerse por tanto las relaciones:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
ysinx
sinyx
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφφ
φφρ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+=
−=
zz
siny
sinx
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφφρ
φφφρ
φ
φ
$z$φ
$y
$ρ
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-12
EyM 1-23
Sistema de coordenadas Cilíndricas
En cilíndricas el vector de posición de un punto se expresará como:
rr zz= +$ $ρρ
Por tanto:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z
sin
sin
z
y
x
0
100
0cos
0cos ρ
φφ
φφ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
zz
siny
x
φρ
φρ cos
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+=
−
zz
x
y
yx
1
22
tgφ
ρ
Las coordenadas ρ y z son métricas, por lo que su factor de escala es la 
unidad, mientras que la coordenada φ es angular y su factor de escala es el 
radio del arco que se describe con su variación, o sea ρ.
Por tanto las diferenciales de longitud a lo largo de las líneas coordenadas son:
dzdlddlddl z === ,, φρρ φρ
Las diferenciales de superficie son:
ρφρρφρ φρ dddSdzddSdzddS z === ,,
Y la diferencial de volumen es: dzdddV ⋅⋅= φρρ
EyM 1-24
Ejercicio
Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función 
de sus coordenadas cilíndricas.
Obtener geométricamente las coordenadas cilíndricas de un punto en función 
de sus coordenadas cartesianas.
Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores 
unitarios en cilíndricas.
Obtener geométricamente las componentes cilíndricas de los vectores unitarios 
en cartesianas.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-13
EyM 1-25
Ejercicio
Obtener el área lateral y el volumen de un cilindro de radio R y altura H .
R
H
x
y
z
dz
ϕϕρ Rdd =
dzddS ϕρ=
EyM 1-26
Ejercicio
Obtener la longitud de media circunferencia usando cartesianas y cilíndricas .
( ) ( ) ( )
∫
∫
+=
=⇒=====
++==
C
zyx
C
dydxL
dzctezhhh
duhduhduhdldlL
22
2
33
2
22
2
11
00;1
;
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-14
EyM 1-27
Las coordenadas del sistema serán ternas de valores r, θ, φ. Para describir 
unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deben variar en 
los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π
Sistema de coordenadas Esféricas
Las superficies coordenadas del sistema son: 
. Semiplanos que contienenal eje z y forman ángulo φ con el xz. 
. Esferas con centro en el origen y radio r. 
. Conos de eje el z, vértice en el origen y ángulo θ con el semieje z 
positivo.
y
z
r
φ
P
θ
x
$z
$φ
$ρ
r̂
$θ
x
y
z
r
φ
P
θ
θ
EyM 1-28
Sistema de coordenadas Esféricas
La relación entre las coordenadas del sistema esférico y las del cilíndrico 
puede expresarse fácilmente observando que aquél se obtiene de éste 
mediante un giro de ángulo θ alrededor del eje φ que es común a ambos 
sistemas. 
La relación puede expresarse mediante una matriz de giro y los vectores 
unitarios se relacionan (obsérvese el orden de los vectores) mediante:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
zsin
sin
r ˆ
ˆ
ˆ
cos0
010
0cos
ˆ
ˆ
ˆ
φ
ρ
θθ
θθ
φ
θ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
+=
φφ
θρθθ
θρθ
ˆˆ
ˆˆcosˆ
ˆcosˆˆ
zsin
zsinr
Si se sustituyen los vectores unitarios en cilíndricas en función de los 
cartesianos obtendremos la relación entre los vectores unitarios en esféricas 
y los cartesianos: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z
y
x
sinsinsin
sin
sinsin
z
y
x
sin
sin
sin
sin
r ˆ
ˆ
ˆ
coscos
0cos
coscoscos
ˆ
ˆ
ˆ
100
0cos
0cos
cos0
010
0cos
ˆ
ˆ
ˆ
θφθφθ
φφ
θφθφθ
φφ
φφ
θθ
θθ
φ
θ
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-15
EyM 1-29
Sistema de coordenadas Esféricas
Como la matriz de giro es producto de dos matrices unitarias es también unitaria 
y su inversa es igual a su transpuesta por lo que: 
Por tanto:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
−+=
++=
yxsin
zsinysinx
zysinsinxsinr
ˆcosˆˆ
ˆˆcosˆcoscosˆ
ˆcosˆˆcosˆ
φφφ
θφθφθθ
θφθφθ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
rsin
sinsinsin
sinsin
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
cos0
coscos
coscoscos
ˆ
ˆ
ˆ
φ
θ
θθ
φθφφθ
φθφφθ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
++=
−+=
θθθ
φφθφθφθ
φφθφθφθ
ˆˆcosˆ
ˆcosˆcosˆˆ
ˆˆcoscosˆcosˆ
sinrz
sinrsinsiny
sinrsinx
El vector de posición será : por lo quezzyyxxrrr ˆˆˆˆ ++==r
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
rsin
sinsinsin
sinsin
z
y
x
0
0
cos0
coscos
coscoscos
θθ
φθφφθ
φθφφθ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
θ
φθ
φθ
cos
cos
rz
sinrsiny
rsinx
EyM 1-30
Sistema de coordenadas Esféricas
La coordenada r es métrica y su factor de escala es la unidad. 
Las coordenadas θ y φ son angulares y sus factores de escala son los radios de 
los arcos que se describen, respectivamente r y r sen(θ). 
La diferencial de volumen será:
dV= r2sen(θ) dr dθ dφ. 
x
y
z
r
φ
dr
dφ
dθrsinθ
θ
Las diferenciales de superficie serán, sobre superficies r constante, θ constante 
y φ constante, por tanto: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
θ
φθ
φθθ
φ
θ
rd
)drsen( d
)drsen( rd
drdS
rdS
dSr
Las diferenciales de línea serán: φθθ φθ drsindlrddldrdlr === ,,
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-16
EyM 1-31
Ejercicio
Obtener geométricamente las coordenadas cartesianas de un punto en función 
de sus coordenadas esféricas.
Obtener geométricamente las coordenadas esféricas de un punto en función de 
sus coordenadas cartesianas.
Obtener geométricamente las componentes cartesianas de los vectores 
unitarios en esféricas.
EyM 1-32
Ejercicio
Obtener el área y el volumen de una esfera de radio R.
La superficie es la de una superficie r=cte (r=R). Por lo tanto:
( )( ) ϕθθϕθθ ddsenrdrsenrddS
cter
2==
=
( )
( )( ) 22
0
2
2
0 0
2
0
2
0
2
0
2
0
4112
cos2
RR
RdsendRddsenrdSS
ππ
θπθθϕϕθθ π
π
ϕ
π
θ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
=+−−=
=−==== ∫ ∫∫ ∫∫ ∫
= == == =
3
4
22
3
3
32
0 00
2
0
2
0 0
2
R
RdsenddrrdrddsenrV
R
r
R
r
π
πθθϕϕθθ
π
ϕ
π
θ
π
θ
π
ϕ
=
=== ∫ ∫∫∫ ∫ ∫
= === = =
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-17
EyM 1-33
Ejercicio
Obtener el área y el volumen de un cono de altura H y radio de la base R .
y
z R
θ0
x
H
dr
rsenθ0dφ
ϕθθ drdrsendS 0=
22
22
22
0
2
0
0 22
22
HRR
HR
HR
RdrdrsenS
HR
r
lat
+=
+
+
== ∫ ∫
+
= =
π
πϕθ
π
ϕ
dφ
y
x
z R
θH
r
ϕθθ ddrdsenrdV 2=
3
1
32
cos
3
2
cos3
2
2
2
223
0
23
0
3
32
0
cos
0
2
0
0
00
HR
H
HRHH
dsenHdrrdsendV
H
r
ππθπ
θ
θ
θπθθϕ
θ
θ
θ
π
ϕ
θθ
θ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
==
−
== ==
∫∫ ∫∫ θcos
Hr =
EyM 1-34
Ejericio
( ) 0cosˆˆcosˆˆˆ
2
0
2
0
=+−=+−== ∫∫∫∫∫ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ππ
dydsenxdysenxdld
CC
C
r
X
Y
( ) ( )22 ϕρρ dddl += ϕϕρ dd cos=
( ) ( ) ϕρϕϕϕρϕϕ dddddl =+=+= 2222 coscos
πϕ
π
ϕ
== ∫∫
=0
ddl
C
φρ sen=
=∫Cdl
Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva 
definida entre 0 y π.
=∫C ld
r
22
2222
2
1
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⇒=+⇒=⇒= yxyyxsensen φρρφρ
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-18
EyM 1-35
Ejercicio cont.
ϕϕρφρ ddsen cos=⇒=
Gráficamente también se ve que la integral es la suma de vectores longitud a lo largo de la 
línea por lo que el resultado es la diferencia entre el vector de posición del punto final y el 
del punto inicial. Si ambos coinciden el resultado es nulo (ocurre para cualquier contorno 
cerrado).
También se ve gráficamente que para cada elemento diferencial hay uno simétrico cuya 
suma da cero. Por tanto la integral es cero.
También se puede hacer analíticamente de la siguiente forma:
0
2
ˆ2
2
2ˆcos2ˆ2cosˆ
0
2
000
=+=+= ∫∫∫
ππππ ϕϕϕϕϕϕϕ senysenxdsenydxld
C
r
ϕϕρρρ ˆˆ ddld +=
r
ϕϕϕ
ϕϕρ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
ysenx
senyx
+−=
+=
( ) ( )
( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕρρϕϕϕρρϕ
dsenydsenx
ddsenydsendxld
cos2ˆcosˆ
cosˆcosˆ
22 +−=
++−=
r
EyM 1-36
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Campos escalares y vectoriales
Operaciones con vectores
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-19
EyM 1-37
Representación del Campo
Anteriormente se estableció el concepto de campo escalar y campo vectorial 
como magnitudes físicas de carácter escalar y vectorial respectivamente. 
En general estas magnitudes varían en el espacio y en el tiempo siendo 
necesaria su representación algébrica y gráfica. 
Normalmente la representación gráfica en función del tiempo suele hacerse 
mediante una sucesión de representaciones gráficas espaciales 
correspondientes a sucesivos instantes de tiempo que permiten así dar una 
idea de la evolución del campo. 
Para cada instante de tiempo la representación gráfica del campo escalar se 
hace mediante el uso de las superficies isotímicas o de igual valor del campo.
Para un campo bidimensional las superficies isotímicas se reducen a curvas 
isotímicas. Es bien conocido el ejemplo de las curvas de nivel de los mapas 
geográficos que representan la altura de los diversos puntos de una región. 
x
y
h y
x
h1 h2 h3
EyM 1-38
Representación del Campo
2
0.004
M
1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
1.819
1.819
1.637
1.637
1.637
1.456 1.456
1.456
1.274 1.274
1.274
1.274
1.093
1.093
1.093
1.093
1.093
0.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.911
0.73
0.730.73
0.73
0.73
0.73
0.73
0.73
0.549
0.5490.549
0.549
0.549
0.549
0.549
0.549
0.367
0.367
0.3670.367
0.186
0.186
0.1860.186
M
Las figuras muestran la representación de la superficie
y de sus curvas de nivel. 
1010
10
10cos
10
10cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
yxz
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-20
EyM 1-39
Representación del Campo
Para los campos vectoriales suele recurrirse a la utilización de las líneas de 
campo, aquellas en las que el campo es tangente a las mismas en todos sus 
puntos. 
Tal como indica esta definición, las líneas de campo permiten dar una idea de 
la dirección del campo en los puntos de una región. Para añadir información 
sobre el sentido del campo se superpone una punta de flechaa las líneas de 
campo en el sentido del mismo.
Para dar una idea de la magnitud del campo en la zona de representación, se 
recurre a poner mayor densidad de líneas de campo allí donde éste es más 
intenso, de manera que la densidad de líneas sea proporcional al módulo del 
campo.
ω
rv
rv
EyM 1-40
Representación del Campo
A veces resulta más sencilla una representación más directa del campo 
consistente en la elección de una red de puntos dentro de la zona de estudio y 
el dibujo en cada uno de esos puntos del campo como una pequeña flecha que 
marca la dirección y sentido del campo y cuya longitud se hace proporcional a 
su magnitud.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-21
EyM 1-41
Gradiente de un Campo Escalar
La representación algébrica de un campo escalar se hace por medio de una 
función f(r) = f(u1,u2,u3) que expresa el valor del campo en cada punto.
Un desplazamiento elemental desde un punto r a un punto próximo r + dr se 
expresa mediante 333222111 ˆˆˆ duahduahduahrd ++=
r
El campo habrá variado su valor en
[ ]
( ) rdfd
duahduahduaha
u
f
h
a
u
f
h
a
u
f
h
du
u
fdu
u
fdu
u
fdf
r
⋅=
++⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=
++=
gra
ˆˆˆˆ1ˆ1ˆ1 3332221113
33
2
22
1
11
3
3
2
2
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
De esta manera se define el gradiente de un campo escalar como una magnitud 
vectorial que nos permite calcular la variación direccional del campo.
u1
u2
u3
O
P f=cte
rr drr
EyM 1-42
Gradiente de un Campo Escalar
La dirección del gradiente indica la dirección de máxima variación del campo 
ya que df = grad f ·dr es máximo si dr es paralelo a grad f.
Si el desplazamiento se realiza sobre una superficie de campo constante 
(isotímica) entoces df = 0 = grad f ·dr lo que implica, si dr ≠ 0 y grad f ≠ 0 (o sea f 
≠ cte), que grad f es perpendicular a dr cualquiera que sea dr sobre la superficie 
isotímica. Por lo tanto la dirección de grad f es perpendicular al plano tangente 
sobre la superficie isotímica y tiene la dirección de la normal a dicha superficie.
P
f=cte
$n
drr
Veamos que indica el módulo del gradiente:
( ) ( ) αcosgragra rdfdrdfddf rr =⋅=
donde α es el ángulo entre ambos vectores. Por tanto:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= rd
dfmaxfd rgra que se produce si α = 0.
En resumen: el módulo del gradiente es la máxima variación posible del campo 
para un desplazamiento diferencial, que debe hacerse a lo largo de la dirección 
del gradiente que, a su vez, es la dirección perpendicular a las superficies 
isotímicas del campo.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-22
EyM 1-43
Ejercicio
La figura muestra las líneas φ = cte de un pozo de potencial. Superponga una 
representación de las líneas de campo mostrando claramente (indique 
cómo) su dirección, intensidad y simetría.
E
r
ϕgradE −=
r
Las líneas de campo deben ser perpendiculares a las equipotenciales y su sentido 
hacia potenciales decrecientes. Debe representarse mas densidad de líneas donde el 
campo es más intenso que es donde están más próximas las equipotenciales
EyM 1-44
Ejercicio
22),,( yx
zzyxf
+
=
Dada la siguiente función f calcule su gradiente en coordenadas cilíndricas.
Primero transformamos la ecuación a coordenadas cilíndricas: 2),,( ρ
zzyxf =
( )
z
z
fffz
z
fy
y
fx
x
f
a
u
f
h
a
u
f
h
a
u
f
h
fgrad
ˆˆ1ˆˆˆˆ
ˆ1ˆ1ˆ1 3
33
2
22
1
11
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
++=
ϕ
ϕρ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
La expresión del gradiente en curvilíneas, cartesianas y cilíndricas es:
( ) zzz
z
ffffgrad ˆ1ˆ2ˆˆ1ˆ 23 ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕρ
ρ
ρ
+
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-23
EyM 1-45
Fuentes de un Campo Vectorial
Dada la existencia de un campo vectorial A(r) resulta necesario averiguar la 
existencia y naturaleza de sus fuentes en determinadas regiones del espacio. 
El ejemplo del campo de velocidades de un fluido incompresible, por ejemplo 
agua, permite dar una idea intuitiva del objeto de nuestro estudio.
Sea un estanque lleno de agua en reposo y planteémonos la manera de 
provocar el movimiento del agua para crear así nuestro campo de velocidades. 
Abriendo un agujero en la base del estanque el agua saldrá por dicho agujero 
creándose el campo de velocidades. Las líneas de campo evidentemente 
convergen hacia el agujero que constituye un sumidero para dichas líneas. 
El efecto opuesto se produce si a través del agujero introducimos agua en el 
estanque: ahora las líneas de campo divergen de la fuente que hemos creado. 
Este tipo de agentes productores de campo reciben por razones obvias el 
nombre de fuentes de tipo divergencia. 
EyM 1-46
Divergencia de un Campo Vectorial
Para averiguar si en una región existen fuentes o sumideros del campo habrá
que rodear dicha región por una superficie y medir si a través de dicha superficie 
entra más agua de la que sale o viceversa. En el primer caso habrá un sumidero 
mientras que en el segundo habrá una fuente. La medida del agua que entra o 
sale a través de la superficie se realiza por medio del caudal o flujo de agua 
sobre la superficie. 
Se define el flujo del campo A(r) sobre una superficie elemental , 
donde es el vector unitario normal al elemento de superficie, como: 
ndSSd ˆ=
r
$n
( ) SdrAflujod
rrr
⋅= )(
Si la superficie a considerar es cerrada el sentido de es hacia el exterior del 
volumen encerrado por la superficie, estando indeterminado en el caso de 
superficies abiertas.
$n
dS
$n $n
dS
S
r
A
En el caso del campo de 
velocidades del agua a través de 
dS pasará, por unidad de tiempo, 
un volumen de agua . r
r
v dS⋅
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-24
EyM 1-47
• Definiciones:
– El flujo de un campo vectorial a 
través de una superficie se define como:
» es un vector de módulo dS y dirección
normal a la superficie. Sentido por convenio.
– Si la superficie es cerrada, el 
flujo se representa como:
» Por convenio es saliente del volumen
encerrado por la superficie.
• Interpretación:
– El flujo de un vector a través
de una superficie cerrada 
mide si las líneas de campo 
tienen su origen o su fin en el 
volumen encerrado:
Flujo de un vector a través una superficie
∫∫ ⋅S SdA
rr
Sd
r ∫∫ ⋅S SdA
rr
dS
r
S
s r
A dS
S
⋅ >∫∫ 0
s r
A dS
S
⋅ <∫∫ 0
s r
A dS
S
⋅ =∫∫ 0
dS
r
S
Sd
r
EyM 1-48
Divergencia de un Campo Vectorial
El flujo total sobre una superficie cerrada será: ∫∫ ⋅= S SdrAFlujo
rrr )(
Para investigar si en un punto tenemos o no una fuente rodeamos dicho punto 
por una superficie S, calculamos el flujo sobre S y calculamos el límite de 
dicho flujo cuando hacemos la superficie cada vez más pequeña tendiendo al 
punto.
Es decir calculamos: ∫∫ ⋅→ SS SdrA
rrr )(lim 0
Pero desafortunadamente este límite siempre es nulo si A se mantiene finito.
Para poder seguir obteniendo información acerca de la existencia o no de 
fuentes calculamos una nueva magnitud, relacionada con el flujo y que 
llamamos divergencia del campo, como: 
∫∫ ⋅= → SV SdrAVAdiv
rrrr )(1lim)( 0
siendo V el volumen encerrado por la superficie S. 
Como V es esencialmente positivo el signo de la divergencia será el mismo que 
el del flujo y obtendremos información de la existencia de fuentes o sumideros 
en el punto en cuestión. 
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-25
EyM 1-49
Divergencia de un Campo Vectorial
Puede encontrarse fácilmente la expresión de la divergencia en coordenadas 
curvilíneas ortogonales en un punto P. 
Rodeemos dicho punto por una superficie elemental como indica la figura y 
cuyo volumen es: ∆V = h1h2h3∆u1∆u2∆u3.
u1
u2
u3
P
A
BC
D
E
FG
h1du1
h2du2
h3du3
El flujo de A(u1,u2,u3) = A1â1+ A2â2+ A3â3 sobre la 
superficie PEFG será:
( ) ( )[ ]
( ) 3232132321ˆ
ˆ
uuhhAuuhhaA
PEFGareanA PenPEFG
∆∆−=∆∆−⋅=
⋅=Φ
r
r
Si consideramos ahora la superficie ABCD, el valor 
del flujo se podrá obtener en primera aproximación como:
Flujo(ABCD)=Flujo(PEFG) + Variación Flujo con u1 x Variación u1
( ) ( ) 1323211
323211
1
uuuhhA
u
uuhhAu
u
PEFG
PEFGABCD ∆∆∆+∆∆=∆
Φ−
+Φ−=Φ
∂
∂
∂
∂
Sin embargo la normal hacia el exterior del volumen en ABCD es opuesta a la 
normal en PEFG por lo que:
EyM 1-50
Divergencia de un Campo Vectorial
Por lo tanto será: ( ) 321132
1
uuuAhh
uPEFGABCD
∆∆∆=Φ+Φ
∂
∂
El mismo proceso puede seguirse en el resto de caras con lo que quedará:
( ) ( ) ( ) 321321
3
321213
2
321132
1
uuuAhh
u
uuuAhh
u
uuuAhh
uTotal
∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=Φ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Por tanto la divergencia será: 
( )
( ) ( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=
∆∆∆
Φ
=
→∆
→∆
→∆
321
3
213
2
132
1321
321321
0
0
0
1
lim)(
3
2
1
Ahh
u
Ahh
u
Ahh
uhhh
uuuhhh
Adiv Total
u
u
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
Y en cartesianas: ( ) ( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++= zyx Az
A
y
A
x
Adiv
∂
∂
∂
∂
∂
∂)(
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-26
EyM 1-51
Ejercicio
zxyzyexxA xy ˆˆˆ2 ++=
r
Calcular la div(A) en (-1, 1, 2) siendo
( ) xyxex
z
A
y
A
x
AAdiv xyzyx ++=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 2
r
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 111
2,1,1
311112 −−
−
−−=−+−+−= eeAdiv
r
EyM 1-52
Rotacional de un Campo Vectorial
Otra forma de generar el campo de velocidades en el estanque con agua puede 
ser el giro de un mecanismo con paletas que al rotar provoquen una rotación 
de la masa de agua. Este nuevo tipo de generador de campo recibe el nombre 
de fuente de tipo rotacional.
Para medir la rotación de las líneas de campo se utiliza una herramienta 
matemática que se llama circulación del campo.
( ) ldrAncirculaciod
rrr
⋅=)(
Dada una trayectoria a lo largo de una curva C con un determinado sentido de 
recorrido y un campo vectorial se define la circulación elemental como:( )rA r
r
C
( )rA r
r
dl
r dl es un vector cuyo módulo es la diferencial de arco 
sobre la curva C, cuya dirección es la de la tangente a 
la curva y cuyo sentido es el establecido para el 
recorrido.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-27
EyM 1-53
Rotacional de un Campo Vectorial
Si las líneas de campo no presentan remolinos en 
una determinada dirección, supongamos que son 
paralelas, y tomamos una espira perpendicular al 
campo resultará que en todos los puntos de la 
espira A·dl = 0 al ser A ⊥ dl y por tanto la 
circulación del campo sobre la espira será nula.
( )rA r
r
ld
r
ld
r
C
Por el contrario si el campo presenta remolinos, 
entonces, A·dl ≠ 0 y la circulación será no nula. 
( )rA r
r
ld
r
ld
r
C
Naturalmente que el resultado obtenido dependerá de la orientación de la 
espira (se obtiene la rotación del campo respecto al eje perpendicular al plano 
de la espira), por lo que habrá que situarla en tres posiciones mutuamente 
ortogonales, al hacer la medida, y así se obtendrá una información de tipo 
vectorial.
EyM 1-54
Rotacional de un Campo Vectorial
Si se quiere averiguar si en punto existen o no fuentes de tipo rotacional del 
campo habría que situar tres espiras ortogonales centradas en el punto, medir 
la circulación del campo sobre ellas y obtener el límite cuando las espiras se 
hacen tender al punto.
Sin embargo dicho límite es siempre idénticamente nulo por lo que conviene 
dividir la circulación por el área de la espira que, al tender también a cero al 
tender la espira al punto, permite obtener un límite no idénticamente nulo, de 
valor proporcional a la circulación.
( ) ∫ ⋅=⋅ → CS ldASnArot
rrr 1limˆ
0
Se define así el rotacional de un campo vectorial como un vector cuya 
componente según la normal a una espira C de área S es:n̂
Puede encontrarse fácilmente la expresión 
para el rotacional de un campo vectorial en 
coordenadas curvilíneas ortogonales 
calculando la circulación sobre la espira 
elemental de la figura.
u1
u2
u3
P A
BC
h2du2
h3du3
$a1
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-28
EyM 1-55
Rotacional de un Campo Vectorial
La circulación en el segmento PA será: ( ) 222222 ˆ uhAauhAldACPA ∆=∆⋅=⋅=
rrr
( ) ( ) 3222
3
2223
3
uuhA
u
uhAu
u
CCC PAPABC ∆∆−∆−=∆
−
+−=
∂
∂
∂
∂
La circulación sobre el segmento BC puede obtenerse en primera aproximación 
de la circulación sobre PA teniendo en cuenta que el sentido de circulación es 
el opuesto:
De forma análoga pueden obtenerse: ( )( ) 333333 ˆ uhAauhAldACCP ∆−=−∆⋅=⋅=
rrr
( ) ( ) 2333
2
3332
2
uuhA
u
uhAu
u
CCC CPCPAB ∆∆+∆=∆
−
+−=
∂
∂
∂
∂
Por tanto será: 
( ) ( )
32
3
22
2
33 uu
u
hA
u
hACTotal ∆∆⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∂
∂
∂
∂
Y la componente según del rotacional:1â
( ) ( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∆∆
=⋅
→∆
→∆
3
22
2
33
3232320
01
1limˆ
3
2 u
hA
u
hA
hhuuhh
CaArot Total
u
u ∂
∂
∂
∂r
EyM 1-56
Rotacional de un Campo Vectorial
Finalmente se podrá escribir el rotacional como:
( )
332211
321
21
3
13
2
32
1 ˆˆˆ
hAhAhA
uuu
hh
a
hh
a
hh
a
Arot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
r
Y en cartesianas:
( )
zyx AAA
zyx
zyx
Arot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ˆˆˆ
=
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-29
EyM 1-57
Ejercicio
( )
( ) ( ) ( )yxyzzyxyx
zxyzyx
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
Arot
zyx
2
222
22ˆ00ˆ20ˆ
2
ˆˆˆˆˆˆ
−+−−−=
===
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂r
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xzxArot ˆ4212122ˆ2120ˆ 2
)1,2,1(
=−−−+−−=
−
r
Calcular el rotacional de A en (1, -2, 1) siendo zzyxyzxyxA ˆˆ2ˆ 222 ++=
r
EyM 1-58
Teorema de Gauss
De la definición de divergencia como: ∫∫ ⋅= → SV SdrAVAdiv
rrrr )(1lim)( 0
podemos obtener para un elemento diferencial la expresión:
∫∫∆ ⋅= S SdrAdVAdiv
rrrr )()(
donde ∆S es la superficie que rodea al elemento diferencial.
Supongamos que dicho elemento diferencial es uno de los elementos en que 
se ha dividido una región V rodeada por una superficie S. Si sumamos el 
resultado anterior a todos los elementos del volumen: ∑∫∫∑ ∆ ⋅= S SdrAdVAdiv
rrrr )()(
El sumatorio del primer miembro en el límite, cuando
el número de elementos es muy grande, se transforma
en la integral de volumen de la divergencia.
En el segundo miembro hay que observar que el flujo 
sobre la superficie común de dos elementos de volumen
se cancela, al ser las normales de sentidos opuestos.
Solo quedará el flujo sobre las caras no comunes, que corresponden a la 
superficie S que encierra el volumen. Por tanto quedará:
∫∫∫∫∫ ⋅= SV SdrAdVAdiv
rrrr )()(
V
S
$n
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-30
EyM 1-59
Teorema de Gauss (2)
• Otra forma de demostración:
– El volumen se puede dividir en un número arbitrario,
N, de subvolúmenes. 
– El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes
contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de 
las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el 
flujo a través de la superficie externa.
– Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞),
a partir de la definición de divergencia:
– Por tanto: ( ) ( )∫∫∫∑∫∫ ==⋅ ∞→ V
N
i
iNS
dVAdivVAdivSdA
rrrr
lim
( ) ( ) iS
V
S
S
V
S
VAdivSdA
V
SdA
Adiv
i
i
rrr
rr
r
∫∫
∫∫ =⋅⇒
⋅
=
→
→
→
→
0
0
0
0
limlim
∑∫∫∫∫ ⋅=⋅
N
i
SS i
SdASdA
rrrr
V
S
$n
+ =
EyM 1-60
Ejercicio
Verificar el teorema de Gauss para la superficie de un cubo de lado unidad 
centrado en el origen y con aristas paralelas a los ejes coordenados usando 
el vector xxA ˆ=
r
x
y
z
1)( == ∫∫∫∫∫∫ VV dVdVAdiv
r
( ) 1=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
A
y
A
x
AAdiv zyx
r
Como A solo tiene componente según x solo habrá
flujo sobre las caras x=1/2 y x=-1/2.
( )
( ) 1
2
1
2
11
2
1
2
1
ˆˆˆˆ
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
=−⋅+⋅=⋅
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
−= −=−= −=
−= −=−= −=
z yz y
z y
S
z y
dydzdydz
dydzxxxdydzxxxSdA
rr
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-31
EyM 1-61
Teorema de Stokes
Retomando la definición de la componente del rotacional sobre la normal a una
espira elemental ∆C tenemos: ( ) ∫∆→∆ ⋅∆=⋅ CS ldASnArot
rrr 1limˆ
0
Podemos reescribir: ( ) ∫∆ ⋅=⋅ C ldAdSnArot
rrr
ˆ
Si suponemos que nuestra espira elemental es uno de los elementos en los 
que hemos subdividido una superficie S apoyada en un contorno C, con la 
normala la superficie en el sentido adecuado según el del recorrido sobre C, 
la suma sobre todos los elementos será:
( ) ∑∫∑ ∆ ⋅=⋅ C ldASdArot
rrrr
La suma de los términos del primer 
miembro da una integral sobre la superficie 
S. La suma de los términos del segundo 
miembro se cancela en las caras comunes 
de los diversos contornos elementales y 
solo queda la integral sobre C. Por tanto 
resulta:
( ) ∫∫∫ ⋅=⋅ CS ldASdArot
rrrr
$n
dS
S
C
EyM 1-62
Ejercicio
Verificar el Teorema de Stokes sobre un contorno cuadrado de lado 2, vértice 
en el origen y sobre el plano z=0 siendo zxyyyxxxA ˆˆˆ 22 ++=
r
( ) ( ) ( ) ( )02ˆˆ02ˆ
ˆˆˆ
2
22
−+−−=∂∂∂∂∂∂= xyzyyxyx
xyyxx
zyx
zyx
Arot
r
z
x
y
zn ˆ=r
( ) ( ) 8
22
22ˆ
2
0
22
0
22
0
2
0
===⋅=⋅ ∫ ∫∫∫∫∫
= =
xyxydxdydxdyzArotSdArot
y x
SS
rrr
(1)
(2)
(3)
(4)
La integral de circulación se calcula por tramos. 
En cada tramo dl marca el sentido de circulación y los límites de la integral van 
desde el valor inferior al superior de la variable.
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
4321
ldAldAldAldAldA
C
rrrrrrrrrr
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-32
EyM 1-63
Ejercicio cont.
( ) ( )
2
2
ˆ
2
0
22
0
2
011
====⋅=⋅ ∫∫∫∫
==
xxdxdxAdxxAldA
xx
x
rrr
( ) ( )
8
2
44ˆ
2
0
22
0
2
0
2
2
022
=====⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
===
yydyydyxdyAdyyAldA
yyy
y
rrr
( )
( )
( )
2
2
ˆ
2
0
22
0
2
033
−=−=−=−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫
==
xxdxdxAdxxAldA
xx
x
rrr
( )
( )
( )
( ) 00ˆ
2
0
2
2
0
2
2
044
===−=−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫
=== yyy
y ydyydyxdyAdyyAldA
rrr
80282 =+−+=⋅∫
C
ldA
rr
EyM 1-64
Ejercicio
Verificar el Teorema de Stokes sobre el contorno circular de la figura usando a) 
el círculo inscrito, b) la semiesfera y c) el cilindro mostrados. El campo es:
zzzzyxxyA ˆˆˆˆˆ −=−+−= ϕρ
r
a)
b)
c)
Cálculo de la circulación del vector:
( ) 2
2
0
2ˆˆˆ RdzzldA
C
πϕρϕϕρ
π
ϕ
=⋅−=⋅ ∫∫
=
rr
Cálculo del rotacional:
( ) 2
22
0 0
2
2
22ˆˆ2 RRddzzSdArot
R
Sa
ππϕρρ
π
ϕ ρ
=⋅=⋅=⋅ ∫ ∫∫∫
= =
rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre a):
( ) z
zxy
zyx
zyx
Arot ˆ2
ˆˆˆ
=
−−
∂∂∂∂∂∂=
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-33
EyM 1-65
Ejercicio cont.
a)
b)
c) ( ) ( ) ϕρρϕρρϕρρ dddzdddzzSdArot 2ˆˆˆ2 =+⋅=⋅ rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre c):
El flujo sobre la superficie lateral es cero. El flujo 
sobre la tapa superior del cilindro es:
( ) 2
22
0 0
2
2
222 RRddSdArot
R
Sc
ππϕρρ
π
ϕ ρ
=⋅==⋅ ∫ ∫∫∫
= =
rr
Cálculo del flujo del rotacional sobre b): ( ) ϕθθ ddsenRrzSdArot 2ˆˆ2 ⋅=⋅ rr
( ) 22
2
0
2
0
2 2
2
122cos2 RRdsendRSdArot
bS
ππθθθϕ
π
θ
π
ϕ
===⋅ ∫∫∫∫
==
rr
EyM 1-66
Operador Nabla (∇)
Si se escriben en coordenadas cartesianas las expresiones del gradiente, la 
divergencia y el rotacional tendremos:
( ) ffz
z
y
y
x
x
z
z
fy
y
fx
x
ffgrad ∇=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= ˆˆˆˆˆˆ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( ) AAz
z
y
y
x
x
A
z
A
y
A
x
Adiv zyx
rrr
⋅∇=⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= ˆˆˆ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( ) AAz
z
y
y
x
x
AAA
zyx
zyx
Arot
zyx
rrr
×∇=×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++== ˆˆˆ
ˆˆˆ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Vemos que podemos definir un operador diferencial de carácter vectorial, 
llamado “nabla”, como:
∇≡⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ z
z
y
y
x
x
ˆˆˆ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
con el que se compacta considerablemente la notación.
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-34
EyM 1-67
Operador Nabla (∇)
La simbología introducida en el sistema de coordenadas cartesiano se 
extiende a cualquier sistema de coordenadas considerando que la “forma” del 
operador, en este caso, será diferente para el gradiente, la divergencia y el 
rotacional:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++≡∇ 3
33
2
22
1
11
ˆ1ˆ1ˆ1 a
uh
a
uh
a
uh ∂
∂
∂
∂
∂
∂
( ) ( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++≡∇ 321
3
213
2
132
1321
ˆˆˆ1 ahh
u
ahh
u
ahh
uhhh ∂
∂
∂
∂
∂
∂
332211
321
332211
321
ˆˆˆ
1
AhAhAh
uuu
ahahah
hhh ∂
∂
∂
∂
∂
∂
≡∇
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Conviene resaltar que aunque el operador ∇ tiene carácter vectorial no es un 
vector por lo que su analogía con un vector es simbólica. ∇ no tiene módulo 
ni dirección y por ejemplo el que ∇⋅A = 0 no implica que ∇ ⊥ A.
EyM 1-68
Expresiones de la Divergencia
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
3
213
2
132
1
321
321
1
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhh
A
r
z
A
y
A
x
AA zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
r
z
AAAA z
∂
∂
+
∂ϕ
∂
ρ
+
∂ρ
∂ρ
ρ
=⋅∇ ϕρ
11r
∂ϕ
∂
θ
+
∂θ
θ∂
θ
+
∂
∂
=⋅∇ ϕθ
A
r
A
rr
Ar
r
A r
sen
1sen
sen
11 2
2
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-35
EyM 1-69
• Curvilíneas:
• Cartesianas:
• Cilíndricas Esféricas
332211
321
332211
321
ˆˆˆ
1
hAhAhA
uuu
uhuhuh
hhh
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
z
y
A
x
A
y
x
A
z
Ax
z
A
y
A
AAA
zyx
zyx
A xyzxyz
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
zAAA
z
z
A
ϕρ ρ
∂
∂
∂ϕ
∂
∂ρ
∂
ϕρρ
ρ
=×∇
ˆˆˆ
1
32
2
sen
ˆsenˆˆ
sen
1
ArrAA
r
rrr
r
A
r θ
∂ϕ
∂
∂θ
∂
∂
∂
ϕθθ
θ
=×∇
Expresiones del rotacional
EyM 1-70
Operador Nabla (∇)
Dado su carácter de operador diferencial debe seguir las reglas de la 
notación diferencial. Ello significa que el operador debe escribirse delante de 
la función sobre la que opera, debiendo situarse el resto de factores delante 
del operador para que no haya lugar a equívocos.
Las normas de utilización del operador cuando se aplica a productos de 
funciones consisten en:
a) Utilizar en primer lugar su carácter diferencial escribiendo tantos 
sumandos como factores. En cada sumando el operador actúa sobre sobre un 
factor, lo que se indica por medio de algún símbolo que se sitúa sobre dicho 
factor.
b) Utilizar a continuación su carácter vectorial para reescribir cada sumando 
de acuerdo con la notación diferencial antes mencionada. Para ello deberán 
tenerse en cuenta las propiedades de conmutación y operación de los 
productos: escalar, vectorial, mixto y vectorial doble. Una vez situado al final 
de cada sumando el factor sobre el que actúa el operador (el que lleva el 
símbolo recordatorio), delante de él el operador y delante de éste el resto de 
términos, ya puede suprimirse el símbolo recordatorio. 
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-36
EyM 1-71
Operador Nabla (∇)
La aplicación sucesiva del operador ∇ conduce a nuevos operadores de orden
superior. Así por ejemplo: ( ) ( ) fff ∆=∇⋅∇=∇⋅∇
donde ∆ es un operador diferencial escalar de segundo orden llamado 
“laplaciano” u operador de Laplace.
Su expresión en coordenadas curvilíneas ortogonales resulta:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∆ ∑
= iii i u
f
h
hhh
uhhh
f
∂
∂
∂
∂
2
321
3
1321
1
Este operador escalar puede operar también sobre campos vectoriales en cuyo
caso resulta:
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
EyM 1-72
Laplaciana de un escalar:
Definición y expresiones
• Es la divergencia de su gradiente:
• Curvilíneas:
Cartesianas:
• Cilíndricas:
• Esféricas:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=∆⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⋅∇
++=∇
33
21
322
13
211
32
1321
3
213
2
132
1
321
321
3
33
2
22
1
11 1
1
ˆ1ˆ1ˆ1
u
f
h
hh
uu
f
h
hh
uu
f
h
hh
uhhh
f
u
hhA
u
hhA
u
hhA
hhh
A
u
u
f
h
u
u
f
h
u
u
f
h
U
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
fU
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=∆
2
2
2
2
22
2
2
2 1111
z
fff
z
ffff
∂
∂
∂ϕ
∂
ρ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂
ρ∂
∂ρ
∂ϕ
∂
ρ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂
ρ
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∆
2
2
222
2
2
2
2
2
2
111
11
∂ϕ
∂
θ∂θ
∂θ
∂θ
∂
θ∂
∂
∂
∂
∂ϕ
∂
θ∂θ
∂θ
∂θ
∂
∂
∂θ
∂
∂
θ
f
senr
fsen
senrr
fr
rr
f
sen
fsen
r
fsenr
rsenr
f
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=∆
( ) fff ∆=∇=∇⋅∇ 2
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-37
EyM 1-93
Rotacional del gradiente de un escalar:
• Rotacional del gradiente:
– Es nulo siempre:
– Demostración: 
Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:
Luego el rotacionalde un gradiente siempre debe ser nulo.
0=∇×∇ U
( ) 0==⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫∫
C
CS
dUldU
Stokes
SdU
rr
S
$n
C
EyM 1-95
Ejercicio
Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=∇×∇ φ
0ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
2222
22
≡⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
−
∂∂
∂
=
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂=∇×∇
xyyx
z
xzzx
y
yzzy
x
zyx
zyx
zyx
φφφφ
φφ
φφφ
φ
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-38
EyM 1-97
Divergencia del rotacional de un vector.
• Divergencia del rotacional:
– Basta con tomar volumen arbitrario:
» Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos 
contrarios, el resultado es nulo:
( ) 0=×∇⋅∇ Ar
( )
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=
=⋅×∇=×∇⋅∇
2121
0
CCSS
SV
ldAldASdASdA
SdAdVA
rrrrrrrr
rrr
+
S1
$n
C1
S2
$n
C2V
S
EyM 1-98
Ejercicio
Demostrar utilizando coordenadas cartesianas que 0=×∇⋅∇ A
r
0
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
222222
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂∂
∂
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=∂∂∂∂∂∂⋅∇=×∇⋅∇
yz
A
xz
A
zy
A
xy
A
zx
A
yx
A
y
A
x
A
z
z
A
x
Ay
z
A
y
Axz
z
y
y
x
x
AAA
zyx
zyx
A
xyxzyz
xyxzyz
zyx
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-39
EyM 1-100
Laplaciana de un vector.
• Definición:
• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:
– Limitando el cálculo a su componente x:
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( )[ ] [ ] xxxx
zxzy
zxxy
yz
zyxzyx
A
z
A
y
A
x
A
xAxAxA
z
A
y
A
zx
A
yx
A
x
A
z
A
zy
A
x
A
y
A
z
A
yx
A
zx
A
yx
A
x
A
xz
A
y
A
x
A
xA
∆=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=×∇×∇−⋅∇∇=∆
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=×∇
∂
∂
−×∇
∂
∂
=×∇×∇
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∇=⋅∇∇
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
22
2
2
rrr
rrr
r
EyM 1-101
Laplaciana de un vector. (2)
• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:
– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas 
componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) 
son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo 
original.
• Interpretación: complicada.
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-40
EyM 1-102
Ejercicio
Obtener A
r
×∇×∇( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆ a partir de 
( ) ( )AA
A
AA
rr
r
r
r
∇⋅∇−⋅∇∇=
⋅∇∇⋅∇
∇
=×∇×∇
( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆
EyM 1-103
Ejercicio
Siendo r el vector de posición de un punto (x,y,z) calcule:
( )rr∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzyyxxzzyyxxrr
( )rar∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆˆ =∆+∆+∆=++∆=∆ zzayyaxxazazyayxaxra
r
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-41
EyM 1-104
Ejercicio
Siendo φ un escalar y A y B vectores desarrolle:
( )Arϕ⋅∇ ( ) ( ) AAAAAAA rr&r&r&rr&r ⋅∇+∇⋅=⋅∇+∇⋅=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⋅∇+⋅∇=⋅∇ ϕϕϕϕϕϕϕ
( )Arϕ×∇ ( ) ( ) AAAAAAA rr&r&r&rr&r ×∇+×∇=×∇+∇×−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛×∇+×∇=×∇ ϕϕϕϕϕϕϕ
( )BA rr×⋅∇ ( ) ( ) BAABBABABA rrrr&rrr&rrr ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ×⋅∇=×⋅∇
( )BA rr ⋅∇ ( ) ( ) ( )BAABBABABA &rr&rr&rrr&rrr ⋅∇+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⋅∇=⋅∇+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⋅∇=⋅∇
( )ABAB
ABB
AABBA &
rr&rr
&rrr
&r
&rrr&r ∇⋅+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅−∇=
⋅∇⋅
∇−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×∇×−=×⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×∇
( ) ( ) ( )ABABABBAAB rrrr&rrr&r&rr ∇⋅+×∇×=∇⋅+×⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×∇−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABAABABBA rrrrrrrrrr ∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇
EyM 1-105
Ejercicio cont.
( )BA rr××∇ ( ) ( )BABABA &rrr&rrr ××∇+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ××∇=××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BABABABA
BA
BABA
rrrr&rr&rr
&rr
&rr
&rr ∇⋅−⋅∇=⋅∇−⋅∇=
⋅∇⋅∇
=××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAABABBABA rrrrrrrrrr ∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-42
EyM 1-106
Ejercicio
Si a es un vector constante y r es el vector de posición calcule:
( )rr⋅∇
( )rr×∇
( )ra rr ⋅∇
( )ra rr××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3ˆˆˆ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=++⋅∇=⋅∇ z
z
y
y
x
x
zzyyxxrr
( )
0ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=∂∂∂∂∂∂=×∇
y
x
x
yz
x
z
z
xy
z
y
y
zx
zyx
zyx
zyx
rr
( ) ( ) azayaxazayaxara zyxzyx rrr =++=++∇=⋅∇ ˆˆˆ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) aaarara
rara
ra
rarara
rrr&rr&rr
&rr&rr
&rr
&rr
&rrrr
23 =−=∇⋅−⋅∇=
=⋅∇−⋅∇=
⋅∇⋅∇
=××∇=××∇
( ) ( )( ) axxxaxxxara xx
r
LLL
rr
=+∂∂=++∂∂=∇⋅ ˆˆ
EyM 1-107
Ejercicio
Calcule:
∫∫
Resfera
dSr̂ zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++= ϕθθ ddsenRdS 2=
0
2
2ˆ00cosˆ
ˆcosˆˆ
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=+
++=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
==
====
ππ
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
θπθθθϕ
θθϕϕθθϕϕ
senRzdsendRz
dsendsenRydsendRxdSr
Resfera
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-43
EyM 1-108
Ejercicio
Calcule:
∫∫
Resfera
dSθ̂ zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
22
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
ˆ
4
2
2
2ˆ00ˆ
cosˆcoscosˆˆ
πθθπθθϕ
θθθϕϕθθθϕϕθ
ππ
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
π
θ
π
ϕ
RzsenRzdsendRz
dsendsenRydsendRxdS
Resfera
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+=−
−+=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
==
====
EyM 1-109
Ejercicio
∫= CdlL
Sobre la espiral logarítmica de ecuación situada en el plano z=0
y con 0≤φ<2π calcular:
π
ϕ
ρ −= ae
∫=
C
ldL
rr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )222
2
11
2
11
2
11
dzdd
duhduhduhdl
++=
=++=
ϕρρ
ϕ
π
ϕ
π
ρρ πϕπϕ
πϕ
deadl
dz
dead
z
ae −−
−
+=⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
−=⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
2
11
00
( )( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=−+=+== −
=
−∫∫ 22
2
02
2
0
2
11111111
e
aeadeadlL
C π
ππ
π
ϕ
π
ππϕ
π
ϕ
πϕ
xa
e
axax
e
arrldldL AB
r
r
C
B
A
ˆˆˆ 22 ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=−=−=== ∫∫
rrrrr r
r
ρ
ϕ
Br
r
Ar
r a2ea
Electricidad y Magnetismo Introducción
09/10/2005 EyM 1-44
EyM 1-110
Ejercicio
( ) ( ) 242222Ldl 22B
A
=+++==∫
( )ŷx̂4B2ABLldB
A
+==−==∫
rrrrr
X 
Y 
A:(-2,-2) 
B:(2,2) 
1.Obtenga los valores de las siguientes integrales de línea sobre la curva y=x 
definida entre (-2,-2) y (2,2).
=∫
B
A
dl
=∫
B
A
ld
r
EyM 1-113
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
z
BA
y
BA
x
BABA
BAABABBABA
BAABBA
ABABBABABA
AUAUAUAUAUAU
BABABABA
VUUVUVVUVU
AAAA
UUU
CBDADBCADCBABACCABCBA
ACBCBAABBA
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇⋅
∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
×∇×+∇⋅+×∇×+∇⋅=⋅∇
×∇+×∇=×∇⋅∇+⋅∇=⋅∇
×∇+×∇=+×∇⋅∇+⋅∇=+⋅∇
∇+∇=∇∇+∇=+∇
∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇⋅∇
=∇×∇∆=∇⋅∇
⋅⋅−⋅⋅=×⋅×⋅−⋅=××
×⋅=×⋅×−=×
rrr
rr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
vrrrrvrrrr
0
0
Expresiones varias