eym4_05_01

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Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-1
Campo Estacionario
Campos Estacionarios
Se denomina situación estacionaria a aquella en la que no hay variación con el 
tiempo. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
HB
ED
B
D
t
trDtrJtrH
t
trBtrE
rr
rr
r
r
rr
rrrr
rr
rr
µ
ε
ρ
∂
∂
∂
∂
=
=
=⋅∇
=⋅∇
+=×∇
−=×∇
0
,,,
,,
( )
( ) ( )
0
0
0
=⋅∇
=
=
=
=⋅∇
=⋅∇
=×∇
=×∇
J
EJ
HB
ED
B
D
rJrH
rE
r
rr
rr
rr
r
r
rrr
rr
σ
µ
ε
ρ
0
0
≠
=
J
t
r
∂
∂
Existen sin embargo movimientos de carga formando corrientes denominadas 
estacionarias porque no varían con el tiempo. 
Las ecuaciones de Maxwell en situación estacionaria son:
Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-2
Campos Estacionarios
( ) ( )
HB
B
rJrH
rr
r
rrr
µ=
=⋅∇
=×∇
0
Pero ambos campos se estudian de forma independiente.
( )
ED
D
rE
rr
r
rr
ε
ρ
=
=⋅∇
=×∇ 0
0=⋅∇
=
J
EJ
r
rr
σ
El campo eléctrico estacionario produce corrientes estacionarias y éstas 
generan campo magnético estacionario.
Primero hay que determinar E
A partir de E de determina J
A partir de J de obtienen H y B
Campo Eléctrico Estacionario
El conjunto de ecuaciones que gobiernan el campo eléctrico estacionario son:
( )
ED
D
rE
rr
r
rr
ε
ρ
=
=⋅∇
=×∇ 0 que son idénticas a las de electrostática. 
φ−∇=E
r
Pero en el interior de los conductores J ≠ 0 y por tanto E ≠ 0 y estos ya no son 
equipotenciales (salvo si σ=∞ , conductores perfectos o superconductores).
Teniendo en cuenta la ley de Ohm se requiere de un campo eléctrico para 
producir una corriente estacionaria: EJ
rr
σ=
El campo eléctrico estático producido por distribuciones de carga no es capaz 
de mantener una corriente estacionaria. 
En efecto, considerando que las armaduras de un condensador cargado se 
conectasen con un conductor, aparecería una corriente de electrones libres 
que se moverían desde la armadura negativa a la positiva. 
Pero la carga de ambas armaduras decrecería progresivamente, en 
consecuencia el campo y también la corriente, que desaparecería al 
descargarse el condensador. 
Por tanto puede definirse un potencial escalar estacionario 
del que se obtiene el campo:
Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-3
Corriente Estacionaria
Pero el campo electrostático es conservativo y no cede energía en un circuito 
cerrado. 
Por tanto para mantener una corriente estacionaria se requiere un campo no 
conservativo o sea no electrostático.
Para producir corrientes estacionarias se usan generadores, dispositivos que 
aportan la energía que se pierde por efecto Joule. 
En general se producirá también un campo electrostático E debido a la 
presencia de distribuciones de carga. 
El campo total será su suma.
La acción de estos generadores se pone de manifiesto a través de un campo 
equivalente E’ no conservativo existente únicamente en el interior de los 
generadores.
Las corrientes estacionarias son solenoidales y por tanto las cargas se 
mueven describiendo un circuito cerrado. 
Sin embargo las cargas en movimiento chocan con la red iónica del medio 
conductor cediéndole energía (efecto Joule) que debe provenir del campo. 
Así pues un campo electrostático no es capaz de mantener una corriente 
estacionaria.
EEEt
rrr
+′=
Generadores
Un ejemplo de generador capaz de mantener la corriente estacionaria entre 
dos armaduras es el de la figura.
Las armaduras del condensador están 
conectadas mediante unos flejes metálicos a 
una cinta transportadora dieléctrica que se 
mueve con un motor o mediante una manivela.
Las cargas positivas transportadas por la 
corriente a través del conductor son conducidas 
a la cinta y transportadas de nuevo a la 
armadura positiva por aquella.
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
EJ
rr
σ=
++++ + + + + +
+
La resistencia que opone el campo a la 
incorporación de estas cargas en la armadura 
positiva es vencida por la fuerza del motor o de 
la manivela que mueve la cinta.
Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-4
Fuerza Electro Motriz
La densidad de corriente será ( )EEEJ t
rrrr
+′== σσ
La circulación a lo largo de una línea de corriente del campo será
( ) ε=⋅′=⋅′=⋅+′=⋅ ∫∫∫∫ generadort ldEldEldEEldE
rrrrrrrrr
Donde ε se denomina fuerza electromotriz del generador y es el trabajo 
aportado por el mismo para mover la unidad de carga entre sus bornes. 
Cuando el generador esta en circuito abierto no hay corriente y por tanto en 
su interior: 00 =+′⇒= EEJ
rrr
+ -
E
r
E′
r
12
12
2
1
2
1
φφε −=⋅−==⋅′ ∫∫ ldEldE
rrrr
Y por tanto la fuerza electromotriz de un generador es la 
diferencia de potencial entre sus bornes en circuito abierto.
La circulación del campo total sobre una línea cerrada ya no es cero y por 
tanto el campo total no es conservativo. 
Condiciones de Continuidad
Cuando se presenta un cambio abrupto de conductividad entre dos medios 
las condiciones de salto son las siguientes:
( ) ( ) 000 112212 =−⋅⇒=−⋅⇒=⋅∇ EEnJJnJ
rrrrrrr σσ
( ) 012 =−× EEn
rrr
12 φφ =
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=−⋅=
1
2
2
1
221122 1 σ
σ
ε
εεεερ EnEEns
rrrrr
Por tanto en general hay una densidad superficial de carga.
0000 111122 =⇒=⋅=⋅⇒=⇒= n
EnJnJ
∂
∂φσσ
rrrrr
En el caso de la superficie entre un conductor (1) y un dieléctrico (2), (σ2=0):
Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-5
Resistencia
Integrando a lo largo de una línea de corriente se había encontrado que:
∫∫
⋅
=⋅=−==
σ
φφε ldJldEfem t
rr
rr
12
Admitiendo que la densidad de corriente se distribuyese uniformemente en la 
sección transversal del circuito y que J || dl resulta:
dl
S
IdlJldJ ==⋅
rrr
Es decir que la fuerza electromotriz del generador y la corriente están 
relacionadas mediante un parámetro esencialmente geométrico, y 
dependiente de la conductividad del medio, que se denomina Resistencia. 
∫∫
∫
⋅
⋅
=
−
==
tS
C
SdE
ldE
II
VR rr
rr
σ
φφ 120
Siendo St una sección transversal y C un 
trayecto entre S2 y S1.
En general, dado un volumen conductor V conectado a un circuito a través de 
dos electrodos conductores perfectos S1 y S2, la resistencia será:
IR
S
dlIldJ ==⋅=− ∫∫ σσφφ
rr
12
S2 S1
r
E
St
V
V0
C
Se necesita E para calcular R
Campo Eléctrico Estacionario
Para determinar la distribución de corrientes estacionarias basta con 
determinar la distribución del campo eléctrico estacionario.
Supóngase en primer lugar una región V de conductor homogéneo con 
conductividad σ limitado por la superficie Slat + S1 + S2 , donde las superficies 
S1 y S2 son equipotenciales (formadas por conductores perfectos).
En el conductor, bajo condiciones de 
campo estacionario no hay densidades 
volumétricas de carga. En efecto:
}
0
0
=⋅∇=⋅∇=⋅∇= JED
rrr
σ
εερ
Por tanto el potencial deberá satisfacer la 
ecuación de Laplace: 0=∆φ
Las c-c sobre S1 y S2 serán: 0
21
,,0 V
SS
== φφ
2S
1S
E
r
tS
V
0V
latS
Sobre Slat hay que considerar que todas las líneas de 
corriente deben estar contenidas en V. Por tanto:
latS
nr
J
r
V 00 =−=⋅∇−=⋅⇒=⋅
lat
latlatlat
S
SSS n
nnEnJ
∂
∂φσφσσ rr
rrr
Electricidad y Magnetismo Campo Estacionario 
16/01/2006 EyM 4-6
Conductor Cilíndrico
x
z
y
L
S
V
Sea un conductor cilíndrico de sección transversal 
constante y área S, de longitud L y con 
conductividad σ. Las superficies z=0 y z=L están a 
potenciales V y 0 respectivamente. La c-c sobre la 
superficie lateral se cumple si
00 =⇒==
latS
nyx ∂
∂φ
∂
∂φ
∂
∂φ
Por tanto el potencial será solución de:
BAz
zzyx
+=⇒==++=∆ φ
∂
φ∂
∂
φ∂
∂
φ∂
∂
φ∂φ 02
2
2
2
0
2
2
2
2
48476
Aplicando c-c se obtiene: ( ) z
L
VEzL
L
V ˆ=⇒−=
r
φ
La corriente total que atraviesa cualquier sección transversal será:
S
L
VdSzESdJI
tt SS
σσ =⋅=⋅= ∫∫∫∫ ˆ
rrr
Y la resistencia:
( ) S
L
SLV
V
I
VR
σσ
1
===
Resistencia de una Espira
Sea una espira semicircular de radio interior R y sección transversal 
rectangular de dimensiones axb como se indica en la figura. Si el potencial es 
constante en ϕ = 0 y en ϕ= π la condición sobre la superficie lateral se cumple 
si:
00 =⇒==
latS
nz ∂
∂φ
∂
∂φ
∂ρ
∂φ
Por tanto el potencial será solución de:
BA +=⇒==∆ ϕφ
∂ϕ
φ∂
ρ
φ 01 2
2
2
Y aplicando el resto de c-c: 0,0 == == πϕϕ φφ V ( )ϕππφ −=
V
R a
b
x
z
El campo eléctrico estacionario es: ϕ
ρπ
ϕ
∂ϕ
∂φ
ρ
φ ˆ1ˆ1 VE =−=−∇=
r
La corriente total: ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=⋅=⋅= ∫ ∫∫∫
+
= = R
aRbVdzdVSdEI
aR
Rr
b
zSt
lnˆˆ1
0 π
σρϕϕ
ρπ
σσ
rr
La resistencia:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
==
R
abI
VR
1ln
1 π
σ ab
RR
R
a
R
a π
σ
11ln ≅⇒+≅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + L
se obtiene:
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16/01/2006 EyM 4-7
Dualidad Resistencia-Capacidad
Sean dos electrodos a potenciales 0 y V como se indica en la figura. 
Considérense dos situaciones, en la primera de las cuales el medio es un 
dieléctrico de permitividad ε y en la segunda es un medio conductor con 
conductividad σ.
σε ,
0V
1S
Considerando que la superficie S1 envuelve 
totalmente al conductor, la expresión de la 
capacidad en la primera situación es:
V
SdE
V
SdD
V
dS
V
QC SSS
s ∫∫∫∫∫∫ ⋅
=
⋅
=== 111
rrrr
ερ
La expresión de la resistencia en la segunda 
situación:
∫∫∫∫ ⋅
=
⋅
==
11 SS
SdE
V
SdJ
V
I
VR rrrr
σ
Multiplicando ambas expresiones se obtiene:
σ
ε
=RC
Esta analogía entre capacidad y resistencia permite métodos indirectos de 
medida de capacidades a partir de medidas (más simples) de resistencias.
Problema 4-1
Dos medios homogéneos e isótropos caracterizados por las constantes ε1, σ1
y ε2, σ2 están separados por una superficie S. Una corriente estacionaria 
atraviesa S de un medio al otro. Si los ángulos que forma una línea de 
corriente con la normal en el punto de transición son ϕ1 y ϕ2 probar que 
σ2 cot ϕ2 =σ1 cot ϕ1 y calcular la densidad de carga que aparece en S.
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=−⋅=
1
2
2
1
221122 1 σ
σ
ε
εεεερ EnEEns
rrrrr
( ) NN JJJJnJ 1212 00 =⇒=−⋅⇒=⋅∇
rrrr
( )
1
1
2
2
12 0 σσ
TT JJEEn =⇒=−×
rrr
Y dividiendo ambas expresiones:
1122
1
1
1
2
2
2 cotcot ϕσϕσσσ ggJ
J
J
J
T
N
T
N =⇒=ε1, σ1
ε2, σ2
1J
r
2J
r
2ϕ
nr
1ϕ
NJ2 TJ2
NJ1
TJ1
Por otra parte la densidad superficial de carga será:
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Problema 4-2
Una cuba electrolítica cilíndrica de radio interior a y de radio exterior b se llena 
de un electrolito hasta una altura h, y se aplica a los electrodos una diferencia 
de potencial de V voltios, midiéndose una corriente de I amperios. Calcular la 
conductividad del electrolito. Obtener su valor para los siguientes datos: a = 6 
cm, b = 12 cm, h = 20 cm, V = 20 V, I = 70 mA.
Debe determinarse la resistencia. El campo en
el electrolito es como el del condensador 
cilíndrico sin efecto de bordes o del cable 
coaxial:
V
Ia
b
ρ
ρρ
ρ
ρ
∂ρ
∂φ ˆ
ln
ˆˆ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−=−=
a
b
VAE
r
BA +=⇒=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∆ ρφ
∂ρ
∂φρ
∂ρ
∂
ρ
φ ln01
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
a
b
hV
I
a
b
hVaEahI ln
2ln
22
π
σπσσπ
siemens32
3
1093.1
6
12ln
2010202
1070 −
−
−
×=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛×
×××
×
=
π
σ
a b c d
1
2
I0
Problema 4-3
La figura muestra un sistema de conductores semiesféricos por el que circula 
una corriente I0. El conductor interior 0<r<a, y el exterior c<r<d son conductores 
perfectos (σ = ∞ ) y están conectados a través de dos conductores reales cuyas 
características son: el primero (medio 1), a<r<b, σ = σ1, ε = ε1 , el segundo (medio 
2), b<r<c, σ = σ2, ε = ε2. Calcular: a) la densidad de corriente volumétrica en los 
conductores reales. b) El campo eléctrico en todos los conductores. c) El 
potencial eléctrico en todos los conductores. d) La densidad de carga en la 
interfase entre los conductores reales. e) La resistencia de cada uno de los 
conductores reales y la total del sistema.
a) Por simetría la corriente será radial y solo
variara con r. Por tanto ( )rrJJ ˆ=
r
( ) ( ) ( ) 20
2
0 22
4ˆ
r
IrJrrJSdrrJI
r π
π
=⇒=⋅= ∫∫
r
b) El campo eléctrico es:
2
2
0
2
22
1
0
1
1
ˆ
2
,,
ˆ
2 r
rIJE
r
rIJE
πσσπσσ
====
r
r
r
r
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Problema 4-3
c) El potencial será cero en el conductor perfecto exterior y constante en el 
interior.
En el medio 2 será: 2
2
0
2
2
0
22
1
22
C
r
I
r
drIdrE +=−=−= ∫∫ πσπσφ
Como el potencial debe ser cero en r=c: c
ICC
c
I 1
2
1
2
0
2
0
22
2
0
πσπσ
−=⇒+=
Por tanto: ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
cr
I 11
2 2
0
2 πσ
φ
En el medio 1 será: 1
1
0
11
1
2
C
r
IdrE +=−= ∫ πσφ
( ) ( ) 1
1
0
2
0
12
1
2
11
2
C
b
I
cb
Ibb +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⇒=
πσπσ
φφ
y por tanto: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
cb
I
br
I 11
2
11
2 2
0
1
0
1 πσπσ
φ
d) La densidad superficial de carga en el interfaz es:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=−⋅=
1
2
2
1
2
2
0
21122 1
1
2
ˆˆ
σ
σ
ε
ε
πσ
εεερ
b
IrrEEns
rrr
e) Dado que se conoce la corriente y la diferencia de potencial (como φ2) serán:
( )
bc
bc
I
bR −==
20
2
2 2
1
πσ
φ
bc
bc
ab
abRRR −+−=+=
21
21 2
1
2
1
πσπσab
abR −=
1
1 2
1
πσ
y el potencial será continuo en r=b
Ejercicio
La figura representa una resistencia constituida por un sistema con electrodos 
de placas planas paralelas de superficie S y conductividad mucho mayor que 
la de los materiales de la resistencia ( ). 
Suponiendo que el medio 2 es homogéneo y que la conductividad del medio 1 
varía como:
, calcule:
a) El valor de la corriente estacionaria que circula entre los electrodos al 
conectarlos a una batería de V voltios.
b) El valor de la resistencia.
c) El valor de todas las densidades de carga que se generan en dicho sistema 
al conectar la batería.
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Ejercicio
Ejercicio
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Ejercicio
Ejercicio