FISICA II

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INDICE
Tema I: La Carga Y La Materia
Pág.
1.1.- Introducción 2 
1.2.- Conductores y Aisladores 3
1.3.- Conservación y Cuantización de la Carga 3
1.4.- Ley de Coulomb 4
1.5.- Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples 6
1.6.- Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas 7
1.7.- Ejercicios propuestos 11
Tema II: Campo Eléctrico
2.1.- Introducción 15
2.2.- Campo Eléctrico 15
2.3.- Campo Eléctrico de una carga puntual 15
2.4.- Campo Eléctrico debido a cargas múltiples 16
2.5.- Dipolos eléctricos 18
2.6.- Líneas del campo eléctrico 19
2.7.- Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga 20
2.8.- El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico 23
2.9.- Ejercicios propuestos 24
Tema III: Ley de Gauss
3.1.- Introducción 28
3.2.- Flujo eléctrico 28
3.3.- Ley de Gauss 31
3.4.- Aplicación de la Ley de Gauss 33
3.5.- Conductores y Campos eléctricos 35
3.6.- Ejercicios propuestos 39
Tema IV: Potencial Eléctrico
4.1.- Introducción 43
4.2.- Potencial Eléctrico 43
4.3.- Potencial de potencial eléctrico 43
4.4.- Diferencia de potencial eléctrico 45
4.5.- Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas 46
4.6.- Energía potencial eléctrica 48
4.7.- Superficies equipotenciales 50
4.8.- Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos 50
4.9.- Potencial de un conductor cargado 51
4.10.- Ejercicios propuestos 52
Tema V: Capacitores y Dieléctricos 
5.1.- Introducción 56
5.2.- Capacitancia 56
5.3.- Calculo de la Capacitancia 57
5.4.- Energía en capacitores 58
5.5.- Energía en capacitores 59
5.6.- Combinación de capacitores 60
5.7.- Dieléctricos 62
5.8.- Ejercicios propuestos 63
Tema VI: La Corriente y La Resistencia
6.1.- Introducción 67
6.2.- La corriente eléctrica y la densidad de corriente 67
6.3.- Resistencia, Resistividad y Conductividad 70
6.4.- Modelo de conducción eléctrica 71
6.5.- Energía y Potencia eléctrica 73
6.6.- Ejercicios propuestos 74
Tema VII: Circuitos de Corriente directa
7.1.- Introducción 78
7.2.- Fuerza electromotriz 78
7.3.- Resistores en serie y paralela 79
7.4.- Regla de Kirchoff 81
7.5.- Circuitos RC 82
7.6.- Instrumentos de medición 85
7.7.- Ejercicios propuestos 86
Tema VIII: Campos Magnéticos
8.1.- Introducción 90
8.2.- Campos magnéticos 90
8.3.- Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente 92
8.4.- Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo 
magnético uniforme 94
8.5.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 95
2
8.6.- Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón 96
8.7.- Efecto may 99
8.8.- Ejercicios propuestos 100
Tema IX: Ley de Ampere
9.1.- Introducción 104
9.2.- Ley de Biot - Savart 104
9.3.- Ley de Ampere 105
9.4.- Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos 106
9.5.- Campo magnético de un solenoide 107
9.6.- Flujo Magnético 108
9.7.- La corriente de desplazamiento de Maxwell 109
9.8.- Ejercicios propuestos 111
Tema X: Ley de Faraday
10.1.- Introducción 115
10.2.- Ley de Faraday y la Inductancia magnética 115
10.3.- Ley de Lenz 117
10.4.- fuerza electromotriz en movimiento 117
10.5.- Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento 119
10.6.- Fuerza electromotriz y campos eléctricos 120
10.7.- Generadores y Motores 122
10.8.- Ejercicios propuestos 125
Tema XI: Inductancia
11.1.- Introducción 130
11.2.- Inductancia 130
11.3.- Circuitos RL 132
11.4.- Energía en Inductores 134
11.5.- Energía en campos magnéticos 135
11.6.- Inductancia mutua 137
11.7.- Osciladores en un circuito LC 138
11.8.- Circuitos RCL 141
11.9.- Ejercicios propuestos 142
Tema XII: Inductancia
12.1.- Introducción 147
12.2.- Transformadores 147
12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 149
3
12.4.- Circuitos de corriente alterna en serie con RCL 153
12.5.- Potencia en un circuito de C.A. 155
12.6.- Resonancia en un circuito en serie RLC 157
12.7.- Circuitos filtros 158
12.8.- Ejercicios propuestos 159
Anexos 160
Respuestas 166
Bibliografía 179
4
TEMA I
LA CARGA Y LA MATERIA
1.1 INTRODUCCIÓN:
 Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas 
subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la 
parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los 
electrones.
 La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del 
electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón.
La carga del electrón 191,6 10e coulomb− −= × y su masa es 
319,11 10 .Kg−×
La carga del protón 191,6 10e coulomb−= × y su masa es 271,6 10 .Kg−×
Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de 
electrones.
Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones 
entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones. 
Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada 
electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los 
protones y negativa para los electrones.
Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de 
electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro 
tiene igual número de protones que de electrones.
La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.
- Electrización por frotamiento
-
Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o 
frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1)
5
La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se 
carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una 
transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su 
vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de 
piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga 
eléctricamente positivo (protones).
- Electrización por Inducción.
Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte 
aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas 
negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van 
al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b). 
Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas 
opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por 
ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se 
han cargado por inducción.
6
1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES
Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con 
bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con 
facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este 
tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe 
tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material.
Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando 
este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad 
sobre la superficie del conductor.
Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades 
eléctricas se encuentran entre los correspondientes alos aisladores y conductores, un 
ejemplo de estos son el silicio y el germanio.
1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.
- Conservación de la carga.
La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto 
lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de 
electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha 
presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta.
- Cuantización de la carga.
La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de 
que nunca se han observado cargas menores que la del electrón.
En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo 
se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e− , o 
sea un electrón.
1.4 LEY DE COULOMB.
• Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales.
• La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une.
• Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas.
• La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión 
si son de signos iguales.
• K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que 
se expresen F, q y r.
7
2
9
2
0
1 9 10
4
Nw mK
Cπ
= = ×
∈
• 0∈ constante de permisividad del espacio vacío.
2
12
0 28,85 10
C
Nw m
−∈ = ×
La Ley de Coulomb establece:
“La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente 
proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que 
las separa”.
2
0
1 '
4
K
q q
rπ
=
∈
F
123
r
(1.1)
Donde:
F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’.
k = Es el vector unitario de vector posición.
r = Es la magnitud del vector posición.
K = Constantemente de proporcionalidad.
q y q’= Son las cargas que interactúan.
La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas 
determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas 
son de 1C cada una.
Ejemplo:
Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto 
(0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de 
la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón.
 
DATOS:
19
2
2
1,6 10
3 3 10
2 2 10
e p C
x cm m
y cm m
− + −
−
−
= = ×
= = ×
= = ×
 
 
8
 ( ) ( )2 22 2 2 33 10 2 10 1,3 10ep m m m− − −= × + × = ×r
a) Aplicando la Ley de Coulomb. 
( )
2
2
0
25 26
1,
4
, 1,47 10 9,74 10
qe p
r
e p Nw
π
−
− − −
=
∈
= − × + ×
F r
F i j
b) , ,e p p e− −= −F F entonces:
( ) ( )2 225 26, , 1, 47 10 9,74 10e p p e Nw− − − −= = × + ×F F
25, 1,76 10p e Nw− −= ×F
1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES.
Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada 
por un conjunto de carga individual.
1 2 3
2
1 104
t n
n n
i
t i i
i i i
F F F F F
qqF F r
rπ= =
= + + + +
= =
∈∑ ∑
KK
(1,2)
Pasos para resolver ejercicios de este tipo.
1.- Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que 
interactúan.
2.- No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad 
vectorial.
3.- Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.
Ejemplo:
Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado, 
centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la 
fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha 
fuerza? (ver Figura 1.4).
9
1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.
( )
3 21 2 4 2
2, 4,2 3,2 1,22 2 2
0 1,2 3,2 4,2
2 2 2
2, 2 2 2
2
9 9
2, 2
2
9
2, 2
1
4
2 4 4cos sin
4 8 8
1.3185 10 7.695 10
7.807 10
TOTAL
TOTAL
total
total
Q QQ Q Q Q Nw
r r r
q q qk Nw
L L L
q Nw
L
q Nw
L
π
θ θ
 
= + + ∈   
 
= + − + − 
 
= × ×
= ×
F r r r
F i i j
F i - j
F
1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES CONTINUAS 
DE CARGAS. 
Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o 
protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.
10
Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como 
una distribución continua de carga eléctrica.
Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)
.- Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de .q∆
.- Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de 
prueba.
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆∆ =
∈
F r
.- Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua 
de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.
2
10
'
4
n
i
i
i i
qq
rπ =
∆≅
∈ ∑F r
Este valor de la fuerza es aproximado
.- Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño 
comparado con la distribución a ρ , entonces podemos decir que el límite de 
0.iq∆ →
20 10
' lim
4 i
n
i
iq i i
qq
rπ ∆ → =
∆=
∈ ∑F r
2
0
'
4
q db
rπ
=
∈ ∫F r (1.3)
11
En donde la integración es una operación vectorial.
Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una 
carga de prueba q’.
Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de 
densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución 
continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal.
- Densidad volumétrica de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por 
unidad de volumen, ( ) ,rhoρ se define por:
Q
V
ρ = en donde ρ tiene las unidades 3
C
m
(1.4).
- Densidad superficial de carga.
Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A, 
la densidad lineal de carga, ( ) ,sigmaσ se define por:
,Q
A
σ = en donde σ tiene las unidades de 2
C
m
(1.5).
- Densidad lineal de carga.
Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la 
densidad lineal de carga, ( ) ,landaλ se define por:
Q
L
λ = en donde λ tiene las unidades de 
C
m
(1.56).
Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o 
línea, se tendría que expresar las densidades de carga como.
; ;dQ dQ dQ
dV dA dL
ρ σ λ= = = (1.7)
Ejemplo:
Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de 
longitud λ y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de 
prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de 
los extremos.
12
Solución: 
 
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
∆∆ =
∈
F r
Como 
q
L
λ ∆=
∆
 despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆
Sustituyendo en la ecuación en la ecuación
2
0
1 '
4
q x
x
λ
π
∆∆ =
∈
F i
3.- Se evalúa la fuerza eléctrica total
( ) ( )
2
0
0
0 0
'
4
' 1
4
' 1 '
4 4
L d
d
L d
d
q dx
x
q i
x
q L q Q
d L d d l d
π
π
π π
+
+∆= =
∈
∆ −= =
∈
∆= =
∈ + ∈ +
∫F i
F
F i i
Ejemplo:
13
Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total 
Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje.
El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura 
1.8)
Solución:
.- Dividimos la solución continua de carga en pequeños .q∆
Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud 
pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas 
perpendiculares.
Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se 
realizan sobre el eje y.
.- Aplicando la Ley de Coulomb.
14( )
( )
2
0
2 2
0
2 2
0
1 '
4
' cos
4
'
4
q qy r
r
q qy
R L
q qLy
R L
π
θ
π
π
∆∆ =
∈
∆∆ = =
∈ +
∆∆ =
∈ +
F
F
F
.- Se evalúa la fuerza eléctrica total.
( )
( )
3 22 2
0
3 22 2
0
'
4
'
4
q LFy dq
R L
q LFy
R L
π
π
=
∈ +
=
∈ +
∫
1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 
55 10 .C−× ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza 
repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts?
2) Dos cargas de 91 10 C−× están en el aire separadas 8 cm.
Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una 
tercera de 115 10 C−× distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas.
3) Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga 61 2 10q C
−= × 
están en y = 2m y una carga 62 3 10q C
−= − × está en y = 1m ¿En donde debe 
colocarse una tercera carga positiva, 3,q de modo que la fuerza resultante 
sobre ella sea cero?.
4) Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3) 
e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los 1510 .x m− ¿Cuáles son las 
fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?
15
5) En el punto ( )132 10 m−− × se coloca una carga - e y en el punto ( )132 10 m−× 
otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el 
punto ( )130,10 10 .m−×
6) Una carga de 63 10 C−× se coloca a 12 cm de una segunda carga de 
61,5 10 .C−− × Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra 
sobre cada carga
7) Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q 
a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, 
tenga una repulsión Coulombiana máxima?
8) Cierta esfera metálica de volumen igual a 31cm posee una masa de 7,5gr y 
contiene 228,2 10× electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de 
cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre 
exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia 
entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de 
ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones 
eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción 
del número total de electrones libres.
9) Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les 
comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene 
21,93m s de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la 
masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es 
25,36m s ? Qué carga tiene cada partícula.
10) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados 
a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga 
positiva q.
16
11) Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado. 
Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica 
resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?.
12) Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 61,2 10 C−× en las 
esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica 
neta sobre una carga de 62 10 C−− × que se coloca en el punto medio de uno 
de los lados?
13) Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que 
la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas 
es 2 200,0252F q a= ∈ b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga 
puntual Q colocada en el centro del Cubo?
14) Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene 
cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que θ es lo 
suficientemente pequeño como para que la tanθ puede reemplazarse por el 
senθ . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que ( ) 1 302x qL mgπ= ∈ en 
donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m 
=10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son 
conductoras y se descargase una de ellas totalmente.
17
15) a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse 
sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b) 
¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este 
problema?
16) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 
2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga 
q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga 02 /D Lλ λ= 
y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’.
17) Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial 
de carga σ , sobre una carga q.
18
18) Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 4 210 / .C m− Se 
cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de 
longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la 
orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es 95 10q C−= × ? 
b) ¿Sí es 92,4 10 C−− × ?.
19) Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución 
uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de 
la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza 
eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q?
20) Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una 
distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la 
longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede 
usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L?
19
TEMA II
CAMPO ELÉCTRICO
1.8 INTRODUCCIÓN:
Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y 
medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales 
del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de 
magnitudes vectoriales.
2.2 CAMPO ELÉCTRICO
Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’ 
colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’.
'
Nw
q C
= FE (2.1)
La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica 
que actúa sobre la carga que prueba q’.
2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.
Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba 
q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb
2
0
1 '
4
q q
rπ
=
∈
F r
Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos:
2
0
1
4
q
rπ
=
∈
E r (2.2)
Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico 
generado por una carga puntual.
Ejemplo:
Una carga de 63 10 C−× está ubicada en ( ) ( ), 0 ,3 .x y cm cm= Determine el campo 
eléctrico en un punto ( ) ( ), 4 ,9 .P x y cm cm=
20
( ) ( )
( )
2
0
2 22 2 2 2
2 2 2
2 2 2
9
1
4
4 6
16 36 52
52 10
9 10
qE r
r
r x y cm
r cm cm
r m
Nw mE
π
−
=
∈
= + = +
= + =
= ×
= ×
2
C
6
2
3 10 C−×
252 10 m−×
2
2
4 10 m−×
272 10 m−×
26 10 mi
−×+ 272 10 m−×
( )
( )
4
3 3
5,19 10 0,055 0,083
2,88 10 4,33 10
j
NwE i j
C
NwE i j
C
=
= × +
= × + ×
2.4 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES
Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para 
determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza 
eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas 
puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los 
campos de las cargas individuales presentes.21
1 2 3
2
1 10
1
4
T n
n n
i
T T
i i i
E E E E E
qE E ri
rπ= =
= + + + +
= =
∈∑ ∑
KKK
(2.3)
Ejemplo:
Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2) 
Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 68 10 ,C−× el modulo 
del campo eléctrico y su dirección
Solución:
a) 
22
( ) ( )
( )
( )
1 2
2 2
0 1 0 2
2 6 6
9
2 22 2 2
2
9 5 2 5 2
2
4
2 6
92
2 2 2
0 2
1 1 1 2
4 4
5 10 3 109 10 60
50 10 50 10
9 10 2 10 / 1,04 10 /
8,65 10
1 3 10cos 9 10
4 50 1
x
y
Ex E E
g qEx i sen i
r r
Nwm C CEx sen i
C m m
NwmEx C m C m i
C
NwEx i
C
q Nwm CEy E j
r C
θ
π π
θ
π
− −
− −
− −
−
= +
= −
∈ ∈
 × × = × −
 × × 
= × × − ×
= ×
×= = − = ×
∈ ×( )
( )
( )
( )
22
4
4 4
cos 60
0
5, 4 10
8,65 10 5,4 10T
j
m
NwEy j
C
NwE i j
C
−
−
= × −
= × − ×
b) El modulo del campo eléctrico 
( ) ( )2 22 4
9 9
4
8,65 10 5, 4 10 /
7.48 10 2,92 10 /
10,19 10 /
T
T
T
E Nw C
E Nw C
E Nw C
= × + ×
= × + ×
= ×
c) La dirección es:
4
4
5,4 10 0,62 0,62
8,65 10
31,96 32
Eytg tg arctg
Ex
θ θ θ
θ
×= = ⇒ = ⇒ =
×
= ≅ o
23
θxE
yE
tE
X
Y
Figura 
2.4
2.5 DIPOLO ELÉCTRICOS
Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario, 
separadas por una distancia L. (Figura 2.5)
Ejemplo:
Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una 
distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E 
debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la 
perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6)
Solución:
Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos 
contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero
( ) ( )
1 2
1 2 2 2
0 1 2
1
22 2 2 2 2
0 1 0
1
4
1 22 cos
4 4
x x
q qEy E E sen sen j
r r
q q aEy j j
r a x a x
θ θ
π
θ
π π
 
= + = + − ∈  
 
= − = − = ∈ ∈ +  +
g
24
P
1xE2xE
+q
a
a
-q 2E 2 yE 1yE 1E
Figura 2.7
θθ
( )3 22 20
2
4
aqEy j
a xπ
= −
∈ + como x>>a
( )3 2 320
2 21
4
a aq qEy j k
xxπ
= =
∈
2.6 LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO
El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en 
términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en 
el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual.
Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica 
la figura. (Figura 2.8)
Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo 
indica la figura. (Figura 2.9)
Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del 
campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto.
La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es 
proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.
Propiedades de las líneas de campo eléctrico
1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. 
En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular 
a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de 
líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área.
2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio 
vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será 
igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular 
a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es 
2/ 4 .N Rπ La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo 
eléctrico.
3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas 
negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan 
alejándose de las cargas negativas.
4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico.
25
2.7 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE 
CARGA.
Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este 
tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de 
cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está 
continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea.
Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan 
los siguientes pasos. (Figura 2.10)
Se divide la distribución de carga en pequeños elementos .q∆
Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en 
el punto P.
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga, 
sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas.
2
10
1
4
n
i i
qiE ri
rπ =
∆=
∈ ∑
 Este valor de la fuerza es aproximado.
Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado 
con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de 0qi∆ →
20 10
1 lim
4
n
q i i
qiE ri
rπ ∆ → =
∆=
∈ ∑
2
0
1
4
dqE r
rπ
=
∈ ∫ (2.4)
 
 Esta integración es una operación es vertical.
 El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una 
distribución continua de carga sobre un punto P.
Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a 
la densidad de carga.
26
 Densidad Volumétrica de carga ( )2.5Q
V
ρ =
 Densidad Superficial de carga ( )2.6Q
A
σ =
 Densidad Lineal de carga ( )2.7Q
L
λ =
Ejemplo:
Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ 
y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de 
un uno de los extremos de la barra?
Solución:
1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña .q∆
2.- Aplicamos la Ley de Coulomb
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
 Como 
q
L
λ ∆=
∆
 despejando q Lλ∆ = ∆ donde L x∆ = ∆ 
 Sustituyendo en la ecuación:
2
0
1
4
xE r
r
λ
π
∆∆ =
∈
3.- Se evalúa el campo eléctrico total.
27
L d
P
xE
X∆
2
0
0 0
4
1 1 1 1
4 4
d L
d
d L
d
dxE i
x
E i
r d d L
λ
π
λ
π π
+
+
=
∈
−   = = −   ∈ ∈ +   
∫
∫
( )
( )
0
0
4
4
d L dE i
d L d
LE i
d L d
λ
π
λ λ
π
 − + += =  ∈ + 
=
∈ +
Ejemplo:
Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme 
sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, .σ Calcular la intensidad del 
campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12)
Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de .q∆
Aplicamos la Ley de Coulomb.
2
0
1
4
qE r
rπ
∆∆ =
∈
 
 El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es 
dq Ldyσ= por lo que la carga dλ por unidad de longitud es
dq Ldyd dy
L L
σλ σ= = =
 En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico ,E∆ que esta en l plano 
y,z
0
2
4
dyE r
r
σ
π
∆ =
∈
 Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría 
son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera.
28
0
2
4
dyEz r
r
σ
π
∆ =
∈
Evaluado el campo eléctrico total
0
cos
2
dyE
r
σ θ
π
∞
−∞
=
∈ ∫
 Como 2cos cos
a ady d yrθ
θ θ
= = sustituyendo
cos
a
dy
r
θ =
2cos θ
a
2cos θ
cosd dθ θ θ=g
 Cambiando los límites de integración 2 2aπ π−
(
2 2
2 2
2
E d K K
E
π π
π π
σ θ σ θ
σ
π
− −
= = =
=
∫ ∫
0
π
∈ 02
K E Kσ
π
⇒ =
∈
2.8 EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO 
ELÉCTRICO.
 Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la 
furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerzaejercida sobre la carga, entonces 
aplicamos de 2da Ley de Newton.
F = m . a ; F = E . q 
Igualando tenemos
ma = E . q despejando la aceleración 
.E qa
m
= (2.8)
 Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la 
aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en 
dirección opuesta a la del campo electrónico.
 Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas 
opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13)
29
Ejemplo:
Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo 
eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.
( )
2
2
0
2
2
2 2
2
2 2
1
2
at Eq Eqx Vot t V V at t
m m
qE
V Vo ax x
M
Ek mV Eqx
= + = ⇒ = + =
= + =
= =
2.9 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Una carga de 612 10 C−− × está en el punto x =0m y una segunda carga 90,5 10 ,C−× en 
el punto x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en 
x =1m y b) x =0,11m? 
2) Una carga eléctrica de 62,8 10 C−− × está ubicada en el origen. Determine el campo 
eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3.
3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de 95 10 ,C−− × experimenta una fuerza hacia 
debajo de 920 10 Nw−× cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a) 
¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza 
que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto?
4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente 
figura. (Figura 2.15)
5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual 
a su peso?
30
0 0θ = E
q X
θ
Figura 2.14
6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como 
se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea ∞ )?el campo eléctrico es 
cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P?
7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 103 10 C−× y esta sujeta en el 
extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad 
de carga de 6 225 10 / .C m−× Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical.
8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de 
modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre 
la perpendicular al punto medio de la varilla es
2 2
0
1
2 4
qE
y L yπ
=
∈ +
9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de 
65 10 .C−− × Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje 
de la barra, en el punto a 30cm de su centro.
10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de 
4 26 10 / .C m−× Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm.
11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por 
una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, ,σ positiva. ¿Cuál es 
el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas?
12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en 
semicírculo. La carga total sobre la varilla es 62 10 .C−× ¿Cuáles son la magnitud y 
dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo?
13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por 
unidad de área es 62 10 .C−× Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una 
distancia r del disco.
14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas, 
cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 2100cm de superficie, es 
41 10 / .N C× ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes.
15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 35 10 / ,N C× dirigido 
verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 71 10 /m s× y forma 
un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial? 
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial?
31
16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de 
25 10 / .N C× En cierto instante posterior, su velocidad es de 62,5 10 / .m s× a) 
¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el 
protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál 
es su energía cinética en ese instante?
17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una 
velocidad inicial de 54,5 10 / ,m s× en una región de un campo eléctrico 200 .E j N C= 
Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura 
máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su 
altura máxima.
18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 
61 10 .N C× ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez 
sea de un décimo de la velocidad de luz?
19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas 
iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega 
a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo 
de 81,5 10 .seg−× Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando 
llega a la segunda lámina.
20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial 
63 10 /m s× y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a) 
¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?. 
b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico. 
c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?. 
d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico?
32
TEMA III
LEY DE GAUSS
1.9 INTRODUCCIÓN
Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay 
simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para 
encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del 
campo eléctrico.
En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el 
campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede 
expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos.
3.2 FLUJO ELÉCTRICO 
Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida 
de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de 
líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el 
interior de ella.
Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1. 
Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del 
campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es 
proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico ∅
EA∅ = (3.1)
Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C
Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo 
eléctrico formando un ángulo θ con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a 
través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es 
igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es:
'EA∅ =
Como la relación entre las dos áreas es cosA A θ=
cosEA θ∅ = (3.2)
Con esto podemos concluir:
El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico.El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.
33
Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos 
ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A∆ (Fig. 
3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos 
el flujo eléctrico a través de él.
cos .i Ei Ai Ei Aiθ∆ ∅ = ∆ = ∆123
Producto escalar de dos vectores
Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total 
que pasa por la superficie.
1
.
n
i
Ei Ai
=
∅≈ ∆∑
Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de 
elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral.
0 1 sup
lim . .
n
A i erficie
Ei i E dA
∆ →
=
∅ ≡ ∆ =∑ ∫
Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo 
que la ecuación se puede escribir como
.c E dA∅ = ∫ (3.3)
Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que 
entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.
Ejemplo:
Se aplica un campo eléctrico de 45 10 / ,Nw C× a lo largo del eje x de anchura y 0,8 
m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y 
su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x.
Solución:
a)
Figura 3.4
34
y
x
E
Área A
d
El flujo es: . cosE dA EdA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1
.E dA E A∅ = =∫
El área es b . h
2
4 3 .. . 5 10 / .0.8 .0, 2 8 10 Nw mE b h Nw C m m
C
∅ = = × = ×
b)
 Figura 3.5
El flujo es: . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero 0∅ =
c)
Figura 3.6
El flujo . . cosE dA E dA θ∅ = =∫ ∫
el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60
35
y
x
E
Áre
a
d
A
z
E
z
x
yθ
dA
cos . cos53ºE dA E Aθ∅ = =∫
2
4 3 .5 10 / .0,8 .0,2 .0,60 4,81 10 Nw mNw C m m
C
∅ = × = ×
3.3 LEY DE GAUSS
Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una 
superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga 
simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas.
La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga 
dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. 
Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como 
superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el 
campo eléctrico por ley de coulomb es:
2
0
1
4
qE r
rπ= ∈
Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la 
superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea 
que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño ,A∆ entonces:
. .E A E A∆ = ∆∫
Por lo que: 2
0
1.
4
qd E dA dA
rπ
∅ = =
∈
Integrando obtenemos:
2
0
1.
4
qE dA dA
rπ
∅ = = =
∈∫
2
0
1
4
q
rπ
∅ =
∈ 20
1
4
qdA A
Rπ
=
∈
Como el área de una esfera es 24 RΠ sustituyendo
2
2
0 0
1 4
4
q qR
R
π
π
∅ = ⇒ ∅ =
∈ ∈ (3.4)
Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es 
independiente del radio de la esfera gaussiana.
0
. qE dA∅ = =
∈∫
36
Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es 
independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier 
superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es /q o∈
Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema:
Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada.
Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que 
produce.
Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada.
Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.
Ejemplo:
El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es 2 24 10 / .Nwm c− × 
¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b) 
un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio.
No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico 
total es tan solo / ,q o∅ = ∈ sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga 
encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema
2. 0 4 10
0
q q Nwm∅ = ⇒ = ∅ ∈ = − ×
∈
2
2 2/ .8,85 10 CC
Nwm
−× 2
93,54 10 C−∅ = − ×
3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.
Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss.
Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de 
simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo 
que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.
Ejemplos:
1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada 
con densidad lineal de carga positiva λ , constante, como se observa en la Figura 3.8.
Solución:
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se 
observa en la Figura 3.9.
37
La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo 
indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura 
3.10.
Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA 
para las diversa superficies del cilindro.
1 2 3
1 2 3
. . .E dA E dA E dA∅ = + +∫ ∫ ∫
El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por 
lo que E es perpendicular a 1;cos90 0dA =
o
 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por 
lo que E es paralelo a 2;cos 0º 1dA =
 
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo 
que E es perpendicular a 3;cos90 0dA =
o
entonces el flujo es : E∅ = 2 2.dA E A=
el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2 rhπ
.2E rhπ∅ =
Aplicando la Ley Gauss: 
0
.q∅ =
∈
Igualando las ecuaciones obtenemos:
0 0
.2
2
q qE rh E
rh
π
π
= ⇒ =
∈ ∈
como la densidad de carga ;
q q L
L
λ λ= = donde L=h
Sustituyendo
0 02 2
hE E
rh r
λ λ
π π
= ⇒ =
∈ ∈
2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que 
tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.
38
0∅ =
1 1 1
1
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2 2
2
. cos ;E dA θ∅ = ∫
2 2
2
.E dA∅ = ∫
3 3 3. cos ;E dA θ∅ = ∫
3 0∅ =
a) CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11
Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la 
ecuación de flujo.
. cos , 0 cos 1E dA E dA θ θ θ∅ = = = ⇒ =∫ ∫
. ;E dA E A∅ = =∫ el área de la esfera gaussiana es 24 rπ
24 ;E rπ∅ = aplicando la Ley de Gauss 
0
q∅ =
∈
2
04
qE
rπ
=
∈
b) CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12
Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r, 
para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo 
eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0).
2
0
0
4
qE E
rπ
= ⇒ =
∈
3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad 
uniforme de carga, .σ Figura 3.13
Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso 
podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14
1 2 3
1 2 3
EdA EdA EdA∅ = + +∫ ∫ ∫
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por 
lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1
 
el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo 
que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0
el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por 
lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1
paralelo a dA, cos 0º = 1
39
1 1
1
;EdA∅ =∫
1 1E dA∅ = ∫
2 2
2
;EdA∅ =∫
2 0∅ =
3 3
3
;EdA∅ =∫
3 3
3
E dA∅ = ∫
entonces el flujo es: 
1 2 2 2 .E dA E dAE dA E A∅ = + = =∫ ∫ ∫
recordando que 
Q Q A
A
σ σ= ⇒ = sustituyendo en la ley de gauss.
0 0
Q Aσ∅ = =
∈ ∈
igualando las dos ecuaciones:
0 0
2 AEA Eσ σ= ⇒ =
∈ ∈
3.5 CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.
Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico 
que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará 
que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una 
configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen 
campo eléctrico estático interno.
El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama 
inducción.
Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al 
que se genera a través de las cargas inducidas.
Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de 
ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss.
a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga).
Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay 
flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un 
conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16.
Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del 
metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17.
40
b) Campos eléctricos cerca de conductores.
1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la 
superficie del conductor.
2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico 
perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.
Ejemplo:
Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del 
conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18.
La densidad ( )sigmaσ de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que 
tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga 
( )σ superficial y E se puede considerar constante en ella.
0
; .Q E dA EA∅ = ∅ = =
∈
Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es Aσ de 
modo que: igualando las ecuaciones
0
.Q E A=
∈
y sustituyendo el valor de la carga total
0
.A E Aσ = ⇒
∈
nos queda 
0
E σ=
∈ el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es 
proporciaonal a la densidad local de carga.
En resumen:
1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la 
superficie de éste, y tiene el valor ,oσ ∈ siendo σ la densidad superficial de carga 
local.
41
3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras, 
sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan 
carga neta.
Ejemplo:
Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y 
2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa. 
¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones?
Solución
a) Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la 
superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del 
cascarón de radio R es cero E = 0.
b) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y 
menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada 
por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del 
flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico.
. . cos ,E dA E dA θ∅ = = como el campo eléctrico E es paralelo a 
, 0 ,cos0 1edA θ− = =o o
. ,E dA E A∅ = =∫ el área de una esfera gaussiana es 24 rπ
2.4E rπ∅ =
La ley de Gauss es 
0
,q∅ =
∈ igualando
2
0
.4 qE rπ∅ = =
∈ despejando
2
04
qE
rπ
=
∈
c) Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R), 
2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total 
interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través 
del flujo eléctrico.
42
 el campo eléctrico E es paralelo a 
, 0 ;cos 0 1dA θ = =o o
el área de una esfera gaussiana es 24 rπ
2.4E rπ∅ =
la ley de gauss es 
0
;q∅ =
∈ Igualando las ecuaciones:
2
0
.4 ;qE rπ −=
∈ despejando 204
qE
rπ
−=
∈
3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme 
de carga, σ a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa? 
b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º 
con respecto a su orientación original?.
2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su 
magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el 
flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las 
esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los 
campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m.
3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de 
radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga 
que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la 
forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo.
4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y 
sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo 
eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo 
plano.
5) Una carga de 6120 10 C−× está en el centro de un cubo con los lados 25cm a) 
Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la 
superficie completa del cubo?
6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es 
el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro?
43
. . cos ,E dA E dA θ∅ = =∫ ∫
. ,E dA E A∅ = =∫
7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 /Nw C≅ y 
apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea 
causado por tal carga?
8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 83 10 C−× distribuida uniformemente 
sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del 
globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga. 
¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro?
9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de 
67,5 10 / 2.C m−× Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la 
superficie de la lámina medio desde su punto medio.
10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida 
uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior 2.R Calcule el campo eléctrico 
resultante, en todo lugar del espacio.
11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a) 
Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado 
por / 2 0E rρ= ∈ en donde ρ es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado 
esperado para (r>R)?.
12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un 
campo eléctrico está presente, y está descrito por 2 ,bx i cxzk+ siendo b y c cantidades 
constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para 
calcular la carga dentro del cubo.
13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en lafigura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme σ y la 
lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme .σ− Calcule el valor del 
campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a 
la derecha de ellas.
14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como 
se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está 
dado por ( )23 2 .E x i= + Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie 
cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie?
15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una 
región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad 
de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al 
principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la 
distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo.
44
16) Dos grandes placas metálicas de área 21m están colocadas frente a frente (Fig. 3.27). 
Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si 
E entre las placas es de 55 /Nw C ¿Cuál es la carga en las placas?
17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 62 10 ,C−× 
uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los 
puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo.
18) Una pequeña esfera cuya m es 31 10 gr−× tiene una carga q de 82 10 .C−× Cuelga de un 
hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada 
como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial σ de la 
lámina.
19) Una partida ,α que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una 
distancia igual a un radio nuclear ( )156,9 10 m−× de esa superficie. ¿Cuáles son las 
fuerzas sobre esa partícula α y su aceleración en ese punto? ( )276,7 10 .m Kgα −= ×
20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide 
con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de ,λ+ y 
el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 .λ+ Con base en 
esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de 
longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo 
eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje.
45
TEMA IV
POTENCIAL ELÉCTRICO
1.10 INTRODUCCIÓN
El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos 
electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual 
este concepto ha alcanzado una mayor aplicación.
Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible 
describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía 
potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada 
Potencial Eléctrico. 
En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos 
cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos.
1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO:
El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de 
carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica 
determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico.
El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que 
los produce (q) y no de la carga de prueba (q’). 
1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL:
Tomemos dos cargas puntuales q y q’, separadas por una distancia r. Entonces el 
potencial eléctrico es.
( ) ( )
.
' 'r
W F R qV r
q q
= = = ' .E R
q
( ) 2
0
'
1.
4r
qrV E r
r r
= =
∈
(4.1) Calculo del potencial eléctrico de una carga 
puntual q a una distancia r de la carga.
La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le 
dio el nombre de voltio.
46
( )
0
1
4r
qV
r r
=
∈
1 1 /V J C=
Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado 
por la longitud, entonces.
1 / 1 /N C V m=
Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el 
principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras 
puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales.
1 2t nV V V V= + + +KKKK
1 10
1
4
n n
t
i i
qiV Vi
riπ= =
= =
∈∑ ∑ (4.2)
Observamos que es una suma algebraica.
Ejemplo:
Se colocan dos cargas en el eje 61: 4 10X q C
−= × en 2cm y 62 2 10q C
−= − × 
en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero.
Solución:
a) El punto izquierdo al lado de la carga q1
2
1 2
2 2 10
0t
m m
V V V
−= ×
= + =
47
q1 2cm q2
2cm 4cm
X
p x
y
Figura 4.1
1 2
1 2
0 1 0 2
0
1 1
4 4
1
4
V V
q q
r rπ π
π
= − ⇒
=
∈ ∈
∈
6
0
4 10 1
4
C
X π
−× = −
∈ ( )
6
2
6 6 6
2
2 10
2 10
4 10 2 10 4 10
2 10
C
X X m
C C C
X X m
−
−
− − −
−
− ×
+
× × ×= ⇒
+ × 22 10 C−× ( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 10
2 2 2 10
2 10
2 4 10 2 4 10 0
4 10
X
X X m
X X X m X
X X m
X X m X X X m X
X X m
−
−
−
− −
−
=
+
= ⇒ + =
+
+ = ⇒ + − =
= −
b) El punto derecho al lado de la carga 2q
1 2
1
V V= −
04π ∈
1
1
1q
r
= −
04π ∈
2
2
6 6
1 2
2
1 2
6 2 2
6
2 2
2
4 10 2 10
2 10
4 10 2 10 2 102
2 10
2 2 10 2 2 10
2 10
q
r
q q x C C
r r X X m X
x C X X m X X m
x C X X
X X X m X X X m
X X m
− −
−
− − −
−
− −
−
− ×= − ⇒ = ⇒
+
+ += ⇒ =
= + ⇒ − = ⇒
=
48
q1
2cm
p
X
x
y
Figura 4.2
4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO.
Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de 
prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos 
definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q’.
. '.
' ' '
B B
AB
AB
A A
W F ds q dsV V
q q q
•∆ = = = − = −∫ ∫
B
AB
A
V ds= − •∫
El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo 
cuya aplicada F es igual a - q E.
También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo 
que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la 
energía potencial por lo que.
AB ABW EU= −∆ (4.4)
Ejemplo:
Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de 
Potencial 32 10 ,× si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico 
excede de 63 10 / .N C× ¿Cuál es la separación mínima de las láminas?
Solución:
( )
B B
AB
A A
V Edx E dx E X= − = − = − −∫ ∫
.ABV E X= ⇒ despejando a X
2.000ABV NX
E
= = . /m C63 10 /N C×
46,67 10 m= ×
4.5 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS 
Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es 
escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños .q∆
0
1
4
dqdV
rπ
=
∈
49
para calcular el potencial eléctrico total, integramos:
0
1
4
dqV dV
rπ
= =
∈∫ ∫ (4.5)
Ejemplo:
Dos placas metálicas paralelas tienen 2125cm de área, cada una, están separadas por 
L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor 
numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada 
placa?
Solución:
a)
3
0,5 62,50 /
2 8 10
L
O
V E dx V E dx V EL
V VE V m
m−
∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ =
∆= = =
×
∫ ∫
b) El campo eléctrico entre dos placas paralelas es 0σ ∈
0
0
.E Eσ σ= ⇒ = ∈
∈ esta es la densidad de carga.
12 102
262,5 / .8,85 10 5,53 10 / 2
CV m c m
Nwm
σ − −= × = ×
c) La densidad de carga superficial es:
10
.
5,53 10
Q Q A
A
CQ
m
σ σ
−
= ⇒ =
= × 22 . 1,25 10 m
−×( )2 126,91 10 C−= ×
Ejemplo:Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente 
cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje
Solución:
dq dq dA
dA
σ σ= ⇒ =
50
( )
( )
2 2 2 2
0 0
2 2
2 2
0 00 0
2 2
0
2 2
2
0
2
1 2 1
4 2
2 2
2
2
R R
dq rdr
rdr rdrdV
r x r x
rdrV r x
r x
V R x x
QV R x x
R
σ π
σ π σ
π
σ σ
σ
π
=
= =
∈ ∈+ +

= + =∈ ∈+ 
= + −
∈
= + −
∈
∫ ∫
4.6 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 
La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía 
Potencial.
Em EK Eu= +
Y que cambio de la energía mecánica en cero.
0
0
Em Em EmA
Em Ek Eu
= − =
= + =
V
V V V
O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la 
energía potencial pero con igual signo opuesta.
0Ek Eu
Ek Eu
+ =
= −
V V
V V
El teorema de la energía cinética establece que:
W Ek=V
por lo que podemos decir que:
W Ek= −V
Eu W= −V
51
.
B
A
Eu F ds= − ∫V (4.6)
Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de 
integración entre los puntos a y b.
. .F ds F dr=
2
0
2
0 0
0 0
1 '
4
1 1 1' '
4 4
1 ' 1 '
4 4
b b
a a
b
a
qqEu Fdr dr
r
drEu q q q q
r r
q q q qEu
rb ra
π
π π
π π
= − = −
∈
− = − =  ∈ ∈  
   
= −   ∈ ∈   
∫ ∫
∫
V
V
V
1442443 1442443
Eu EuB EuA= −V
a.- Energía Potencial en un sistema de cargas:
Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía 
potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los 
términos:
1 3 2 31 2
0 1.2 1.3 2.3
1
4
q q q qq qEut
r r rπ
 
= + + ∈ 
 (4.8)
Ejemplo:
Una carga de 42 10 C−× está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En 
una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 62 10 C−× la pasa se acerca, desde muy 
lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema?
Solución:
52
2 4 6
91 2
2 2
0 1.2
1 . 2 10 .2 109 10
4 45 10
8
q q Nw m C CEu
r C
Eu Joule
π
− −
−
× ×= = ×
∈ ×
=
b.- Electrón Volt:
Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta 
unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio.
( ) ( )9 191 1,6 10 1 1,6 10ev C V Joule− −= × = ×
4.7 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene 
valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de 
prueba q’ que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las 
superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por 
consiguiente, al campo eléctrico.
4.8 DETERMINACIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DE 
POTENCIALES ELÉCTRICOS
Recordando que la diferencia de potenciales es:
.dv E ds=
Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas:
ds dxi dyj dzK= + +
El producto escalar es:
.dv E ds Exdxi Eydyj Ezdzk= = − − −
Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la 
derivada del potencial con respecto a alguna coordenada.
dv v v vE i j k
ds x y z
− ∂ − ∂ − ∂= − = − −
∂ ∂ ∂
O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial 
eléctrico.
53
Ejemplo:
Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función: 
2 3 22 ,V Axy B yz Cx z= − + donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico:
Solución:
( )2 2VEx Ay CxZ ix
∂= = +
∂
( )32 2VEy Axy Bz jy
∂= = −
∂
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2 2
6
2 2 2 6
VEz Byz Cx k
x
E Ay Cxz i Ay Bz j Byz Cx k
∂= = − +
∂
= − + − − − − +
4.9 POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO
Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E 
siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura 
4.4.
. 0
B
A A AB
A
V V V E ds− = = − =∫
La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie 
equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye 
que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en 
la superficie.
ANEXO 1: Tabla (4.1)
Ejemplo:
Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 71,5 10 ,C−× repartida 
uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una 
carga 82 10q C−= × en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo 
largo de su eje?
Solución:
.WV W V q
Q
= ⇒ = revisando la tabla anterior
54
( )2 22
0
.
2
QW R x x q
Rπ
= + −
∈
el potencial en un disco cargado
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
7
212 2 2
2 22 2 2 8
7
1,5 10
2 3,14 8,85 10 / 23 10
23 10 78 10 78 10 .2 10
1,5 10
CW
C Nwm m
m m m C
CW
−
− −
− − − −
−
×=
× ×
× + × − × ×
×=
122,94 10 C−× 2
( ) 8. 0,033 .2 10
/
m C
Nw
−×
17
12
5
9,9 10
2,94 10
3,37 10
Nwm
W Joule
−
−
−
×=
×
= ×
4.10 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) Se trae del infinito una carga de 63 10 ,C−× y se fija en el origen de un sistema de 
coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga 
de 65 10 ,C−× y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa 
el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando 
trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la 
energía cinética invariable?
2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar 
una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo? ( )83 10 / .C m s= ×
3) Dos cargas puntuales 9 91 240 10 30 10q Cyq C
− −= × = − × a una distancia de 
10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista 
8cm de 1q y 6cm de 2.q Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el 
punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 925 10 C−× desde el 
punto B al punto A?
4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es 
de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga?
5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y 
negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del 
punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B, 
utilizando la trayectoria A C B.
6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico, 
perdiendo velocidad al hacerlo, desde 43 10 /AV m s= × hasta 
33 10 /BV m s= × ¿Cuál es 
la diferencia de potencial entre los dos puntos?
55
7) A una distancia r de una carga puntual 1q el potencial eléctrico es V =600V y la 
magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r.
8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial 
eléctrico de la forma ( ) 22 3, , , ,V x y x a a xz a z= + + siendo constantes los coeficientes a;. 
Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) .
9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la 
figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme σ y radios interior y exterior 
iguales a A y B, respectivamente.
10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a, 
esta dado por:
2
0
1
4
qV
x aπ
=
∈ +
11) Un largo cilindro metálico, de radio ,ar esta sostenido por un pie aislante sobre el eje 
de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior .br La carga positiva por 
unidad de longitud en el cilindro interior es ,λ y sobre el cilindro exterior existe una 
densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de 
potencial entre los cilindro es 2 / .b ak Lnr rλ b) pruébese que el campo eléctricoen 
cualquier punto situado entre los cilindros es ( )/ / .1/ .ab b aV Ln r r r
12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa 
por ( ) ( ) 20/ 4 5 4 /Vr Q r Rπ  = ∈ −  para r<R, y por 0/ 4 ,Vr Q rπ= ∈ para r>R. a) 
Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye?
13) El potencial eléctrico en una cierta región es 2 7V zx y= + − ¿Determine el ángulo 
entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual 
tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?.
14) Dos conductores esféricos de radios 1 2r yr están conectados por medio de un alambre 
conductor, como se indica en la figura 4.9. Si 1 0,3r m= y 2 0,15r m= y el campo 
eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la 
magnitud de la carga en exceso en la esfera grande.
15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una 
varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, ,λ empleando la ecuación 
01 4 .V d q rπ= ∈ ∫ La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen. 
56
Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce 
al de una carga puntual / ,Q Lλ= en el origen.
16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica 
uniforme de carga .ρ Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro.
17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que 
queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una 
de las ocho cargas mide 66 10 ,q C−= − × determine el potencial en el centro del cubo.
18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una 
distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el 
de la otra es -1500 V?.
19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad 
superficial de carga informe σ y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8. 
Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un 
punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina. 
Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina.
20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 810 .C− ¿Cuál seria el aumento en el 
potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de 
radio?.
57
TEMA V
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
1.13 INTRODUCCIÓN
Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus 
puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado 
por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no 
solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el 
valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el 
sistema.
La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga 
de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor 
en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un 
capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del 
capacitor.
1.14 CAPACITANCIA
Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material 
conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos, 
de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como 
capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es 
lo que conocemos como Capacitancia (C).
QC
V
= (5.1)
La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades 
de coulombs por volt.
CoulombC Faradio
Volt
= =
Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el 
microfaradio 61 10MF F−= y el picofaradio 121 10 ,pf F−= la capacitancia de un 
dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores.
Algunas aplicaciones:
58
Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que 
posee autoinducción.
Para sintonizar circuitos de radio.
Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía.
1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA
Capacitor esférico
La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo 
conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito.
 ;
QC
V
= como el potencial de la esfera es KQ/R,
 y el de la esfera de radio infinito es 0.
04/
Q RC R
KQ R K
π= = = ∈
Capacitor de placas paralelas.
Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por 
una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden 
despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los 
demás puntos.
El campo eléctrico entre las placas es 0σ ∈ y la carga por unidad de área en 
cualquiera de las dos placas es .Q Aσ =
0
QE
A
=
∈
la diferencia de potencial entre las placas es de E.d. 
0
. QDV E d
A
= =
∈
la capacitancia es C =Q/V sustituyendo
0
0
AQC
Qd A d
∈= =
∈
59
Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas 
paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia 
que la separa.
Capacitor cilíndrico
Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es 
concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la 
capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable 
coaxial.
Ejemplo: (un cable coaxial)
Solución: 
B B
AB
A A
V Eds Erdr= − = −∫ ∫
La carga por unidad de longitud Q Lλ =
Q Lλ= y el campo eléctrico es 2 /K rλ
( )2 2 ln
B
AB
A
drV k k b a
r
λ λ= − = −∫
La capacitancia es:
QC
V
= = sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor 
potencial.
1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES
Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía 
contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo 
inicialmente.
Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno 
de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional 
dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas, 
por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. 
qdw Vdq dq
C
= =
21
2
Q Q
O O
q QW dw dq qdq
C C C
= = = =∫ ∫ (5.2)
60
Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda 
almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una 
carga de prueba colocada entre los conductores.
2
2 2 2
; (5.3)
2
(5.4)
2 2
(5.5)
2
QEu como Q Cv
C
C V CVEu Eu
C
QVEu
= =
= ⇒ =
=
Ejemplo:
¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s 
coloca en ella una carga de 54 10 C−× ?
Solución
0
52
0
0
;
2 4
4 104
2 8
QV QEu el potencial es
r
QQ Cr QEu
r
π
π
π
=
∈
× −∈= =
∈
( ) 2
128 8,85 10 Cπ −×( )
12
2 12 10 m−×
2Nwm
9
11
1,6 10 59,93
2,67 10
Eu Nw Eu Joule
−
−
 
 
 
×= ⇒ =
×
1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS
En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al 
negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las 
placas del capacitor.
Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas.
61
Capacitancia 0
AC
d
∈=
Campo eléctrico 
0
E σ=
∈
Diferencia de potencial V = E.d