4-r3

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Joaquín Martínez Ramírez. 3º Física.(2001-2002) 4-R3 1 
4.Una esfera metálica de radio a está semi-introducida en un 
líquido de conductividad σ que rellena totalmente un recipiente 
semiesférico de radio b, concéntrico con el otro electrodo. 
Determinar la resistencia del sistema. 
 
 
Nuestro sistema está formado por dos electrodos, uno es una 
esfera de radio a, y el otro es una semiesfera de radio b, (b>a), los 
cuales están separados por un medio conductor, cuya conductividad es 
σ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular la resistencia tendremos en cuenta que: 
 
∫
∫
⋅
⋅
==
S
c
sdJ
ldE
I
VR
�
�
��
 (1) 
 
 En este problema tenemos simetría esférica, y el vector J en el 
medio de conductividad σ es radial y su valor sólo depende de la 
distancia al centro de las esferas. Tomando éste como origen: 
 
J=J(r)ur (2) 
 
 
 El flujo neto de la corriente estacionaria a través de una 
superficie cerrada, como S, es cero. Este flujo es de entrada en la zona 
donde el cable atraviesa S y vale I. El flujo es cero en el resto de S 
excepto en donde tenemos el medio de conductividad σ. Por tanto, J(r) 
será I dividido por el área de la semiesfera S sumergida. 
 
 
 r
S
JrsdJI 22π=⋅= ∫
�
�
 (3) 
I
S
V
Joaquín Martínez Ramírez. 3º Física.(2001-2002) 4-R3 2 
 
La ddp, V, se puede calcular obteniendo la circulación del campo 
entre dos puntos cualesquiera uno en cada electrodo. El camino más 
sencillo, dada la característica de campo radial y al ser radial la 
corriente nos anima a seleccionar un camino radial que una ambos 
electrodos en el medio de conductividad σ. 
Relacionando J con E a partir de la ley de Ohm, J=σE, 
obtenemos: 
22 r
IJE rr πσσ
== (4) 
 
 Llevando la expresión (4), a la (1), obtenemos: 
 
 
�� ��
�
��
� −====
b
a
b
a
r bar
drdrE
II
vR 11
2
1
2
1
2 πσπσ
 (5)