Medida de e/m de los electrones

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Manuel Feito Guzmán 1
 
Relación nº 1 
Ejercicio 2 
 
 
 
2. Para la medida de e/m de los electrones se utiliza un diodo cilíndrico 
coaxial, al que se aplica un campo magnético según el eje. Se mide la corriente que 
circula por el diodo cuando se alimenta de una tensión V (positiva la placa exterior 
-ánodo- de radio ra respecto al cátodo interior de radio rc despreciable. 
Posteriormente se aplica el campo magnético (mediante unos carretes de 
Helmholtz) y se determina el valor crítico, Bc, en que la corriente pasa 
abruptamente a cero (cuando los electrones en trayectoria curvada dejan de llegar 
a la placa). Encontrar la relación que permite calcular e/m a partir de los datos 
experimentales (V, Bc, ra). Discutir las aproximaciones que se hayan efectuado. 
 
Fijemos el origen del sistema de referencia en un punto del eje, siendo Z la dirección 
coaxial. Si tenemos un electrón en la posición r y sobre el que actúa la fuerza de 
Lorentz F, el momento de ésta calculado respecto al origen será: 
 
(1) FrM ×≡ 
 
siendo 
 
(2) BvEF )( ×+= e 
 
Por otra parte el momento angular será: 
 
(3) vrL m×= 
 
Ahora bien, puesto que el campo magnético es de la forma B = Bk entonces v ^ B está 
en el plano XY y como el campo eléctrico también -es radial- resulta que F también. 
Así pues, trabajaremos en coordenadas polares planas. Si Fθ y vθ son las componentes 
angular de la fuerza y la velocidad, respectivamente: 
 
(4) θα rFrFM == sen 
(5) θξ rmvrmvL == sen 
 
 
 2
Aplicando la ley de conservación: 
 
(6) M
dt
dL = 
se tiene 
 
(7) θθ rFrmvdt
d =)( 
 
y puesto que vθ = r dθ/dt y, al ser el campo eléctrico radial y v perpendicular al campo 
magnético, de (2), Fθ = evB, se tiene 
 
(8) 
 
Brermr
dt
d •• =)( 2 θ 
 
operando, 
 
(9) 
 






=
•
2
)(
2
2 r
dt
d
m
eBr
dt
d θ 
 
e integrando 
 
(10) 
 
Cr
m
eBr +=
•
2
2
2 θ 
 
Si usamos que al salir del cátodo los electrones tienen velocidad angular nula, 
obtenemos el valor de la constante de integración C: 
 
(11) 
2
2
cr
m
eBC −= 
 
Sustituyendo (11) en (10): 
 
(12) 
 
22
2
2
2
cc
c
rrr ωθω +=
•
 
 
en donde ωc es la frecuencia ciclotrónica, definida como ωc = eB/m. 
Despejando de (12) ωc: 
 
(13) 
 
22
22
c
c rr
r
−
=
•
θω 
 
La pérdida de energía potencial conforme el electrón se acerca al ánodo se va 
compensando con una ganancia en energía cinética. Si ésta es mayor que la energía 
potencial, entonces la diferencia de energía estará asociada con una velocidad radial y el 
electrón saltará la barrera de potencial del ánodo, con lo cual se producirá el corte en la 
 3
corriente. Sin embargo haremos la suposición de que esto no ocurre y que justo en el 
ánodo el electrón llega sin velocidad radial. Entonces, tomando el potencial cero en el 
origen: 
 
(14) eVmv =2
2
1 
 
y, al aplicar el campo magnético Bc, la velocidad en ra será: 
 
(15) 
 •
== θθ aaa rrvrv )()( 
 
de acuerdo con la hipótesis señalada. 
De las ecuaciones (14) y (15) obtenemos que, cuando aplicamos Bc: 
 
 
(16) 
 
2
2)(
a
a mr
eVr =
•
θ 
 
Evaluando la expresión (13) en r = ra (y en B = Bc ) usando (16), tenemos para la 
frecuencia ciclotrónica: 
 
(17) 22
2
2
8
ca
a
a
c
c
rr
r
mr
eV
m
eB
c −
=≡ ω 
 
Finalmente, despejando e/m encontramos la expresión de la relación carga-masa del 
electrón: 
 
(18) 





−
= 22
2
22
8
ca
a
ca rr
r
Br
V
m
e 
 
Si, tal y como nos indica el problema suponemos rc despreciable, la fórmula anterior se 
reduce simplemente a: 
 
(19) 22
8
ca Br
V
m
e = 
 
 
Un planteamiento alternativo del problema, se expone a continuación: 
 
Si al igual que en el tratamiento anterior hacemos la inevitable hipótesis de que la 
partícula llega con velocidad radial nula al ánodo entonces describirá una circunferencia 
de radio R = ra/2 (con tanta mayor exactitud cuanto menor sea rc). 
La fuerza centrípeta ha de coincidir con la componente Fθ de la fuerza: 
 
(20) evB
R
mv
c=
2
 
 4
 
Si combinamos (20) con (14) y despejamos e/m se obtiene: 
 
(21) 22
8
ca Br
V
m
e = 
 
que es el mismo resultado obtenido anteriormente. Sin embargo, en este caso hay que 
realizar la hipótesis de que el módulo de la velocidad del electrón, v, es constante lo que 
no es cierto al existir un campo eléctrico que variará la componente radial de la 
velocidad. Sin embargo está justificada si consideramos que toda la ganancia de energía 
cinética tiene lugar en las proximidades del cátodo, siendo el radio del cátodo muy 
pequeño.