Campo elétrico e potencial em cilindro carregado

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Patricia Abellán Baeza 
 
15. Obtener la distribución de potencial y campo eléctrico en puntos del eje 
externos a un cilindro de radio R y longitud L cargado uniformemente en volumen 
 
 
 
Calcularemos el campo eléctrico que crea una anillo de radio R, con carga Qanillo 
(densidad lineal constante λ), situado en el origen sobre un punto situado en el eje de 
simetría a distancia d. Luego veremos el campo que crea un disco de densidad σ 
constante, carga Qdisco y radio R utilizando el principio de superposición. A partir de 
esto último encontraremos el campo que crea un cilindro de radio R, con densidad 
volúmica ρ constante, aplicando de nuevo el principio de superposición a los campos 
creados por los discos. 
 
CAMPO CREADO POR UN ANILLO 
 
Por simetría sólo habrá componente a lo largo de la dirección del eje, z. Situando 
el origen de coordenadas en el centro de simetría del anillo, el campo que crea un 
elemento de carga dq situado en el punto de coordenadas r´ = (Rcosθ, Rsenθ, 0) será, 
aplicando la ley de Coulomb: 
 
 
 
 
En donde r es r = (0, 0, d) – r´ = (-Rcosθ, -Rsenθ, d) 
Como ya se ha dicho sólo hay campo en z, que viene dado por: 
 
zzz uuuE 2/322
0
2/322
0
2
02/322
0 )(4
1
)(
2
4
1
)(4
1
dR
dQ
dR
dRd
dR
dR anillo
Qanillo +
=
+
=
+
= ∫ πε
λπ
πε
θλ
πε
π
 
 
 
CAMPO CREADO POR UN DISCO 
 
Si consideramos un disco como un conjunto de anillos de carga Qanillo= 2πσrdr, 
utilizando el principio de superposición y la expresión anterior: 
 
 
zz uuE 





+
−=
+
= ∫ 22
0
02/322
0
1
2)(
2
4
1
dR
drdr
dr
d R
Qdisco ε
σπσ
πε
 
 
o bien, en término de la carga del disco: 
 
zuE 





+
−=
222
0
1
2 dR
d
R
Qdisco
Qdisco πε
 
 
ruuE rr 3
0
2
0
2
0 4
1
4
1
4
1
r
dR
r
dR
r
dq
dq
θλ
πε
θλ
πεπε
===
Patricia Abellán Baeza 
 
CAMPO CREADO POR UN CILINDRO 
 
Por último, consideremos un cilindro de radio R y longitud L; tomando el origen de 
coordenadas en su centro geométrico, el campo eléctrico que crea en un punto exterior a 
distancia d situado en el eje, será la suma de los campos debidos a todos los discos 
situados en cada punto z comprendido entre –L/2 y L/2, es decir: 
 
∫∫ −
∀








−+
−−=








−+
−−=
2/
2/ 222
0
2
222
0 )(
1
2)(
1
2
L
L
disco
zdR
zd
R
dzR
zdR
zd
R
Q
z
carga
z uuE πε
ρπ
πε
 
 
Tomando ρ constante, 
 
( ) zz u u E 2222
0
2/
2/ 22
0
)2/()2/(
2)(
1
2
LdRLdRLdz
zdR
zdL
L
−++++−=








−+
−−= ∫− ε
ρ
ε
ρ
 
o, en función de la carga total, Q, del cilindro: 
 
( ) zu E 2222
0
2 )2/()2/(2
LdRLdRL
LR
Q −++++−=
επ
 
 
A continuación determinaremos el potencial; para ello basta tener en cuenta que, por la 
simetría del problema, la ecuación 
 
φ−∇=E 
 
se reduce a 
 
zz u u dz
dE φ−= 
 
siendo E la magnitud del vector campo eléctrico. 
Tomando el origen de potencial en z = 0 e integrando la ecuación anterior: 
 
( )dzLzRLzRL
LR
QEdzz
zz
∫∫ −++++−−=−= 0
2222
0
20
)2/()2/(
2
)(
επ
φ 
 
Realizando los cálculos se obtiene finalmente: 
 
 




















−++−
++++
+
+−+−−−+++
=
22
22
2
2222
0
2
)2/(2/
)2/(2/
ln
)2/()2/(2)2/()2/(
4
)(
LzRLz
LzRLz
R
LzRLzzLLzRLz
LR
Qz
επ
φ 
 
 
Patricia Abellán Baeza 
Patricia Abellán Baeza