Estudio del Campo Eléctrico y Potencial en un Cascarón Semi-Esférico

Vista previa del material en texto

Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
1
ESTUDIO DEL CAMPO ELECTRICO Y EL POTENCIAL DE UN CASCARON 
DIELECTRICO SEMI-ESFERICO CON CARGA EN SU SUPERFICIE 
INTERIOR 
 
Hallar el campo eléctrico y el potencial electrostático creados por un 
cascarón dieléctrico semi-esférico en el punto P sobre su eje de 
simetría y exterior a él. El cascarón semi-esférico tiene radio R y 
densidad de carga cte=σ distribuida homogéneamente en su 
superficie interior. Hallar también el campo y el potencial en . 0=z
 
θdR
φθ dR sin
R
θdR
φθ dR sin
R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
Z
P 
'rr
φ
dAdq σ=
θ
rr
Y
X
 
 
a) Cálculo del potencial electrostático en P 
 
Es importante recalcar que el cálculo del potencial electrostático es siempre 
más fácil que el cálculo del campo eléctrico, ya que para hallar el campo 
hay que calcular tres integrales, en cambio, para obtener el potencial sólo 
hay que calcular una sola integral. Por ello iniciaremos el cálculo del campo, 
obteniendo primero el potencial electrostático generado por el cascarón. 
 
El potencial viene dado por la siguiente expresión: 
∫ −= ')( rr
dAkrV rr
r σ
 
 
Los elementos de arco sobre la semi-esfera 
son θθ RddS = y φθφ dRdS sin= , por lo 
tanto, el elemento de superficie diferencial 
 se expresa como el producto de los dos 
diferenciales, es decir, 
. 
dA
φθθφθθ ddRdRRddA sin)sin)(( 2==
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
2
Los vectores rr y 'rr vienen dados por 
kzr ˆ=r , kzjyixr ˆ'ˆ'ˆ'' ++=r
 
donde los y se expresan en coordenadas esféricas en la siguiente 
forma: 
',' yx 'z
 
θφθφθ cos',sinsin',cossin' RzRyRx === 
 
en estas relaciones R es constante y para describir al cascarón semi-
esférico en la posición dada, las coordenadas esféricas θ y φ deben variar 
en la forma , πθπ ≤≤
2
 y πφ 20 ≤≤ . 
Haciendo el cambio de coordenadas, el vector 'rr se expresa como: 
kRjRiRr ˆcosˆsinsinˆcossin' θφθφθ ++=r 
entonces, el vector viene dado por ( 'rr rr − )
( ) kRzjRiRrr ˆcosˆsinsinˆcossin' θφθφθ −+−−=− rr 
y su módulo vale: 
θcos2' 22 zRzRrr −+=− rr . 
El potencial se expresa en la forma: 
∫ ∫
= =
−+
=
π
φ
π
π
θ
θ
θθσφ
2
0
2
22
2
cos2
sin)(
zRzR
dRkdzV 
∫
=
−+
=
π
π
θ
θ
θθσπ
2
22
2
cos2
sin2)(
zRzR
dRkzV 
 
En este punto es posible hacer 0=z para obtener el potencial en el centro 
del cascarón: 
∫
=
==
π
π
θ
θθσπ
2
2 sin2)0(
R
dRkzV 
dado que 1sin
2
=∫
=
π
π
θ
θθ d , se tiene que 
 
RkzV σπ2)0( == 
 
Si la integral general anterior vale 0≥z
 
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
3
[ ]ππθσπ
2
22
2
cos22)( zRzR
zR
RkzV −+= 
 
finalmente, el potencial en el punto P está dado por: 
 
[ ]22)(2)( zRzR
z
RkzV +−+= σπ 
 
En esta expresión, si hacemos vemos que se trata del caso límite en 
que numerador y denominador tienden a cero. Aplicando la regla de 
l’Hopital, es decir, derivando numerador y denominador de manera 
independiente y luego tomando el límite, tenemos: 
0→z
 
( )
( ) ⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧ +−+
===
→→
z
dz
d
zRzR
dz
d
RkLimzVLimzV
zz
22
00
)(
2)()0( σπ 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
==
→ 1
1
2)0(
22
0
zR
z
RkLimzV
z
σπ 
tomando el límite, reobtenemos el potencial en el centro del cascarón: 
 
RkzV σπ2)0( == 
 
b) Cálculo del campo eléctrico en P 
 
Usando la relación )(rVE r
r
−∇= , y dado que el potencial depende sólo de , 
el campo eléctrico en 
z
P apunta a lo largo del eje Z , es decir, 
k
dz
zdVzE ˆ)()( −=
r
. Reescribamos antes de derivar )(zV
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += 2
2
112)(
z
R
z
RRkzV σπ 
Derivando obtenemos: 
( ) ( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+−−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−−−=
2
22
2
2
3
2
2
1
12ˆ
12
2
2ˆ)(
z
Rz
R
z
RRkk
z
R
z
R
z
RRkkzE σπσπ
r
 
finalmente el campo viene dado por: 
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
4
 
( ) k
z
zR
R
RkzE ˆ
1
2)( 2
22
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
= σπ
r
 
 
 
c) Cálculo del campo eléctrico en el centro del cascarón 
 
El centro del cascarón semi-esférico se encuentra en 0=z . Pero al hacer 
 en la expresión del campo vemos que nuevamente se produce que 
numerador y denominador tienden a cero. Aplicando la regla de l’Hopital 
podemos escribir 
0→z
( )
( )
k
z
dz
d
zR
R
dz
d
RkLimzE
z
ˆ
1
2)0(
2
22
2
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
==
→
σπ
r
 
( )
k
z
zR
zR
RkLimzE
z
ˆ
2
2)0(
2/322
2
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
==
→
σπ
r
 
 
simplificando y tomando el límite, obtenemos 
k
R
RkzE ˆ
2
12)0( 2
2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== σπ
r
 
finalmente se tiene: 
 
kkzE ˆ)0( σπ==
r
 
 
d) Cálculo del campo eléctrico en el centro del cascarón (método 
vectorial) 
 
A partir de los vectores rr y 'rr obtenidos en el punto a), podemos calcular 
directamente el campo eléctrico en P . El vector ( )'rr rr − viene dado por 
( ) kRzjRiRrr ˆcosˆsinsinˆcossin' θφθφθ −+−−=− rr 
y su módulo vale θcos2' 22 zRzRrr −+=− rr . Escribamos el campo eléctrico 
para la distribución superficial de carga en el cascarón semi-esférico 
( )
∫ −
−
= 3'
')(
rr
rrdAkzE rr
rrr σ
 
 
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
5
( )[ ]
( )∫ ∫= = −+
−+−−
=
π
φ
π
π
θ
θ
θφθφθφθθσ2
0
2
2/322
2
cos2
ˆcosˆsinsinˆcossinsin)(
zRzR
kRzjRiRddRkzE
r
 
 
Claramente se ve que las componentes y del campo resultante se 
anulan. Esto ya lo sabemos por argumentos de simetría, pero lo verificamos 
al calcular las integrales correspondientes: 
xE yE
( )∫ ∫= =
=
−+
−=
π
φ
π
π
θ
θ
θθ
φφσ
2
0
2
2/322
2
3 0
cos2
sincos
zRzR
ddRkEx 
ya que . Lo mismo ocurre para ya que . ∫
=
=
π
φ
φφ
2
0
0cos d yE ∫
=
=
π
φ
φφ
2
0
0sin d
Por lo tanto, la única componente distinta de cero es la componente , la 
cual viene dada por: 
zE
( )
( )∫ ∫= = −+
−
=
π
φ
π
π
θ
θ
θθθ
φσ
2
0
2
2/322
2
cos2
cossin
zRzR
RzddRkEz 
Si antes de realizar esta integral hacemos 0=z , obtendremos el campo en 
el centro del cascarón. En este caso la integral es muy simple 
∫ ∫
= =
−==
π
φ
π
π
θ
θθθφσ
2
0
2
sincos)0( ddkzEz 
y su valor final es: 
 
,)0( σπkzE == 
valor que corresponde al valor hallado en la sección c). 
 
Si realizamos la integral con 0≠z , obtenemos el mismo resultado obtenido 
en la sección b): 
 
( ) k
z
zR
R
RkzE ˆ
1
2)( 2
22
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
= σπ
r
 
 
El método vectorial usado para calcular el campo eléctrico es muy 
poderoso, pero en ocasiones las integrales involucradas son muy difíciles de 
calcular. Por ello, a veces es preferible calcular primero el potencial 
electrostático y a partir de él calcular el campo eléctrico, siempre y cuando 
las distribuciones de carga no se extiendan hasta infinito. 
 
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
6
e) Cálculo del campo eléctrico del cascarón usando el campo de un 
anillo circular 
 
El cascarón semi-esférico puede ser dividido en infinitos anillos circulares 
de ancho diferencial θdRds = y radio r variable que van desde radio el 
inicial hasta radio final 0=ir Rrf = para definir a la semi-esfera. 
Cada anillode radio r variable lleva una carga diferencial dAdq σ= y se 
encuentra a la distancia ( )'zz + del punto P y genera un campo diferencial 
. Ed
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que el campo eléctrico E
r
 creado por un anillo de radio R y carga 
, depende sólo de la distancia sobre el plano del alambre y apunta en 
la dirección del eje 
Q z
Z : 
 
( )
k
zR
kQzE ˆ2/322 +
=
r
 
 
Para el anillo con carga diferencial mostrado en la figura , el campo 
eléctrico es un campo diferencial 
dq
Ed
r
 que se escribe en la siguiente forma: 
 
( )
( )( ) 2/322 '
'
zzr
zzkdqdE
++
+
= 
 
donde es la distancia desde el plano del anillo de radio variable )'( zz + r al 
punto P y donde se ha reemplazado . Estos cambios contienen la 
esencia del método que estamos tratando. 
dqQ →
El diferencial de carga del alambre viene dado por: dq
( ) )(2 θπσ Rdrdq = 
P 'z z
r
θ Ed
r
R
α
( ) )(2 θπσ Rdrdq =
θdR
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto 
 
Física III Semestre de Otoño 2005 
__________________________________________________________ 
 
7
R
r
'z
α
z
θ
 
 
 
 
 
 
 
 
De la figura se ve claramente que παθ =+ . También vemos que podemos 
expresar r y en función de 'z R y del ángulo α . 
En el triángulo rectángulo se cumple que 
αsinRr = , αcos' Rz = . 
Reemplazando α en función de θ se tiene 
( ) θθπ sinsin RRr =−= 
( ) θαπ coscos' RRz −=−= 
reemplazando estas relaciones en la expresión diferencial del campo, 
obtenemos: 
( ) (
( )( )
)
2/322 cos
cos)(sin2
θ
θθθπσ
Rzr
RzRdRkdE
−+
−
= 
 
finalmente el campo eléctrico viene dado por la integral 
( )
( ) ( )( )∫ −+
−
=
π
π θθ
θθθπσ
2
2/322
2
cossin
cossin2
RzR
dRzRkE 
que después de simplificar queda 
 
( )
( )∫ −+
−
=
π
π θ
θθθπσ
2
2/322
2
cos2
cossin2
zRzR
dRzRkE 
 
expresión idéntica a la encontrada en la sección d) donde se usó el método 
vectorial para el cálculo del campo eléctrico: 
 
( ) k
z
zR
R
RkzE ˆ
1
2)( 2
22
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
= σπ
r
 
 
_____________________________________________________________________ 
Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto