prob_trabajo y energia

Vista previa del material en texto

TRABAJO Y ENERGÍA - 1
TRABAJO Y ENERGÍA
1. Campos de fuerzas.. Fuerzas dependientes de la posición.
2. Trabajo. Potencia.
3. La energía cinética: Teorema de la energía cinética.
4. Campos conservativos de fuerzas. Energía potencial.
5. Teorema de conservación de la energía mecánica.
Campos de fuerzas
n la naturaleza o a nuestro alrededor, nunca encontramos fuerzas solitarias, sino que
frecuentemente encontramos que en una región del espacio existen fuerzas en cada
punto de éste, pudiendo tomar valores diferentes en cada punto. Se habla así de
campos de fuerzas que representaremos mediante una función vectorial que pueda tomar valores
diferentes en cada punto del espacio 
r
F( , , )x y z
Trabajo y potencia
Trabajo realizado por una fuerza es el producto escalar del vector fuerza por el
desplazamiento de su línea de acción. En principio, W = ⋅
r r
F r∆ . Pero debido a que la fuerza
puede variar con la posición, es más conveniente hablar de trabajo elemental en un
desplazamiento infinitesimal dW d= ⋅
r r
F r . El trabajo en un desplazamiento del punto 1 al 2 será
por tanto:
W d12
1
2
= ⋅∫
r r
r
r
F r
r
r
escrita en coordenadas cartesianas: 
r r r r
F i j k= + +F F Fx y z y d dx dy dz
r r r r
r i j k= + +
W d F dx F dy F dzAB x
x
x
y
y
y
z
z
z
A
B
A
B
A
B
= ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫
r r
r
r
F r
r
r
1
2
E
F(x,y,z) F(x,y,z)
TRABAJO Y ENERGÍA - 2
El trabajo también
puede calcularse por
el método de hallar el
área en un gráfico
F=f(x), recordando el
significado de la
integral como área.
Potencia de una fuerza es la rapidez con que efectúa un trabajo P
dW
dt
d
dt
= =
⋅
= ⋅
r r r rF r
F v
Energía cinética
El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m a lo
largo de un desplazamiento entre dos puntos A y B, es:
W dAB
r
r
A
B
= ⋅ =∑∫
r r
r
r
F r
m d m
d
dt
d m d
r
r
r
r
v
v
A
B
A
B
A
Br r
r
r r r
r
r
r
r
r
r
a r
v
r v v∫ ∫ ∫⋅ = ⋅ = ⋅
= = −∫ mvdv mv mv
v
v
B A
A
B 1
2
1
2
2 2 (1)
Al término ½ mv2, se le llama
energía cinética, quedando que:
WAB = ECB - ECA = ∆EC
Resultado que se conoce como teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas:
El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al
incremento de su energía cinética.
 
1Observar que si derivamos la igualdad 
r r
v v⋅ = v2, obtenemos 
r r
v v⋅ =d vdv
F
xa b
W Fdxab
a
b
= ∫
A
B
mF1
F2
F3
vA
vBdr
TRABAJO Y ENERGÍA - 3
Fuerzas conservativas. Energía potencial
Algunos campos de fuerzas 
r
F( , , )x y z tienen la propiedad de que existe una función
escalar U(x,y,z) que cumple:
F
U
x
F
U
y
F
U
zX Y Z
= − = − = −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
cuando esto ocurre, se dice que el campo de fuerzas deriva de un potencial. Asimismo, este
hecho conduce a unas interesantes propiedades.
El cálculo del trabajo realizado entre dos puntos se facilita mucho, ya que:
W d F dx F dy F dz
U
x
dx
U
y
dy
U
z
dz dU U UAB
r
r
X
x
x
Y
y
y
Z
z
z
x
x
y
y
z
z
B A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
= ⋅ = + = − + − − = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
r r
r
r
F r
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( )
quedando el cálculo del trabajo simplificado a hallar la diferencia de valores de esta función
energía potencial:
WAB = -∆U
Resulta llamativo el hecho de que el trabajo no depende del camino seguido, sino
únicamente de las posiciones inicial y final. Éste tipo de campos de fuerzas se denomina campos
de fuerzas conservativos.
Se dice que un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado
para hacer un desplazamiento entre dos puntos, no depende del camino, sino solo de la
posición inicial y final.
Por tanto el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Dicho de otra manera,
una fuerza es conservativa si tiene la propiedad de devolver el trabajo que se realiza para
vencerla.
Teorema de conservación de la energía mecánica
Del teorema de la energía cinética obtuvimos que WAB = ∆EC. WAB puede englobar todo
tipo de fuerzas, conservativas o no, de modo que vamos a desglosarlo:
WAB = WFCONS + WF.NO.CONS , las primeras derivan de una energía potencial, pero las otras no:
WAB = -∆U + WF.NO.CONS = ∆EC , llamando energía mecánica a la suma de energía potencial y
cinética:
E = U + EC , tendremos: WF.NO.CONS = ∆EC + ∆U = ∆E; o dicho en palabras:
La variación de la energía mecánica de una partícula es igual al trabajo
realizado por las fuerzas no conservativas.
En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica no varía
TRABAJO Y ENERGÍA - 4
1. Una partícula de 2 kg sometida a la fuerza 
r r r
F i j= +6 8t N posee en el instante en que pasa por
el punto 
r r
r j0 6= m una velocidad de 
r r
v i0 4= m/s. Calcular:
a) La ecuación del movimiento y los vectores aceleración tangencial y normal en t =2 s.
b) El trabajo realizado por la fuerza entre t = 0 y t = 2 s.
c) Comprobar el teorema de la energía cinética para el caso anterior.
a)
r
r
r r
a
F
i j= = +
m
t3 4
r r r r r r
v a i j i j( ) ( )t dt t dt t t C= = + = + +∫ ∫ 3 4 3 2 2
para obtener la constante de integración hacemos t = 0:
r r
v i( )0 4= C = 4
r
i
r r r
v i j( ) ( )t t t= + +4 3 2 2
r r r r r r
r v i j i j( ) (( ) )t dt t t dt t t t C= = + + = +




 + +∫ ∫ 4 3 2 4
3
2
2
3
2 2 3
r r
r j( )0 6= C = 6
r
j 
r r r
r i j( )t t t t= +




 + +





4
3
2
6
2
3
2 3
aT v= ⋅ = + ⋅
+
=
r r r r
r r
a u i j
i j
( ) ( ) ( )
( )
2 2 3 8
10 8
164
47
41
 m/s2
r r
r r
r r
a u
i j
i jT T va= =
+
= +
47
41
4
41
47
41
4
(5 )
(5 ) m/s2
( )r r r r r r r r ra a a i j i j i jN T= − = + − + = − +3 8 4741 4
1
41
112 140(5 )
b) W d dt t t t dt
r
r
v
v
= ⋅ = ⋅ = + ⋅ + +

 

∫ ∫ ∫
r r r r r r r r
r
r
r
r
F r F v i j i j
1
2
1
2 6 8 4 3 2
0
2 2( ) ( ) = 24 18 16 3
0
2
+ +

 

∫ t t dt =
24 9 4 1482 4
0
2
t t t J+ + =
c) ( )W E m v v Jc= = −  = + − =∆
1
2
2 0 10 8 16 1482 2
2
( ) ( )
r r
i j
TRABAJO Y ENERGÍA - 5
2. Una fuerza dependiente de la posición que actúa en el plano XY viene dada por la expresiónr r r
F i j= +10 3x x (unidades S.I.). Demostrar que esta fuerza no es conservativa, hallando el trabajo
realizado por la misma al desplazarse entre el punto A(0,0) y B(2,4) por dos caminos diferentes.
Probaremos por dos caminos:
1. Por la recta y = 2x
2. Por la parábola y = x2
1. W d F dx F dyAB r
r
xx
x
yy
y
= ⋅ = +∫ ∫ ∫
r r
r
r
F r
1
2
1
2
1
2 = 10 3
0
2
0
4
xdx xdy∫ ∫+
haciendo dy = 2dx
= 10 3 2
0
2
0
2
xdx x dx∫ ∫+ = = 


=∫ 16 8 320
2 2
0
2
xdx x J
2. W xdx xdy xdx x xdx x x dxAB = + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫10 3 10 3 2 10 60
2
0
4
0
2
0
2
0
2 2( ) = 5 2 362 3
0
2
x x J+



=
El valor del trabajo es distinto, por tanto la fuerza no es conservativa.
3. El vector posición de un punto móvil de 0.5 kg de masa sometido a la acción de una fuerza es
r r r r
r i j k= − + −( )4 12 3t t t . Calcula:
a) El trabajo realizado por la fuerza desde t1 = 2 s a t2 = 5 s así como la potencia media en ese
tiempo.
b) Valores de la potencia instantánea en los instantes anteriores.
r
r r r r
r r r r
r r r rv
r
i j k
v i j k
v i j k
= = + −
= + −
= + −




d
dt
t t8 3
16 12
40 75
2 1
2
Aplicando el teorema de la energía cinética: W12 = ∆EC = 
1
2 2
2
1
2m v v−

 

 = 1706 J
La potencia media P = 
W
t∆
 = 569 W
b) Hallemos primero la expresión de la fuerza que actúa: 
r
r r r
a
v
i j= = +
d
dt
t8 6 ; 
r r r r
F a i j= = +m t4 3
P
dW
dt
d
dt
= =
⋅
= ⋅
r r r rF r
F v = 32t + 9t3 = 
P W
P W
1
2
136
1285
=
=



B
A
y=x2
y=2x
TRABAJO Y ENERGÍA - 6
4. Para mantener la velocidad de 54 km/h de un vehículo se necesita que el motor proporcione
una potencia de 22050 W. Sabiendo que la masa del vehículo es de una tonelada, y que se está
moviendo por una carretera horizontal, calcular:
a) La fuerza de rozamiento, supuesta constante.
b) La potencia que tendrá que desarrollar el motor para subir por una pendiente de 6º.
c) La potenciaque tendrá que desarrollar para bajar por una pendiente de 2º.
En los casos b) y c) se supone que se mantiene la misma velocidad de 54 km/h.
a) La potencia que realiza el motor es:
P
dW
dt
d
dt
Fvm m= =
⋅
= ⋅ =
r r r rF r
F v
Fm = P/v = 22050/15 = 1470 N.
Para mantener constante la velocidad del motor,
es necesario ejercer una fuerza igual y de sentido
contrario a la de rozamiento:
r
F = ⇒ =∑ 0; F fm R fR = 1470 N.
b) 
r r r r r
r r
F N P f F
i j
= + + + =
− − + − =
∑ R m
m RF f mg N mg
0
0
;
( sen ) ( cos )α α
N = mg cosα; fR = µN = µmg cosα;
Fm = fR + mgsenα = µmg cosα + mgsenα =
1470cos6º + 1000 9.8 sen 6º = 2486 N;
P = Fm v = 2486 15 = 37295 W.
c) 
r r r r r
r r
F N P f F
i j
= + + + =
− + − + − =
∑ R m
m RF f mg N mg
0
0
;
( sen ) ( cos )α α
N = mg cosα; fR = µN = µmg cosα;
Fm = fR - mgsenα = µmg cosα - mgsenα =
1470cos2º - 1000 9.8 sen 2º = 1127 N;
P = Fm v = 1127 15 = 16906 W
N
P
FmotorFr
P
N
Fm
fR
P
N
Fm
fR
TRABAJO Y ENERGÍA - 7
5. Un coche eléctrico pesa 10 kN y se mueve horizontalmente alcanzando una velocidad
máxima de 25 m/s cuando el motor desarrolla su máxima potencia de 48 kW. Calcular la
velocidad máxima cuando suba por una pendiente de 5º, si la resistencia del aire no varía.
La fuerza que hace el motor en el recorrido horizontal se emplea íntegramente en compensar la
fuerza de fricción del aire: Fm = fR. La potencia realizada por el motor vale P = Fmv
Fm = 48000/25 = 1920 N
fR = 1920 N
Cuando suba por la cuesta
la fuerza realizada por el
motor ha de compensar la
fuerza de rozamiento mas la
componente del peso en la dirección del movimiento mgsenα:
Fm = fR + mgsenα = 1920 + 10000⋅sen 5º= 2792N
Como la potencia del motor es la misma (la máxima) la nueva velocidad máxima será:
v =
P
F
 = 17.2 m/s
6. Un muelle de constante recuperadora k = 200 N/m está comprimido 10 cm. Una masa de 500
g está situada en el extremo del muelle. El muelle al expandirse empuja la masa, y ésta sale
despedida, calcular:
a) La cantidad de movimiento con que la masa sale despedida.
b) Trabajo realizado por el muelle a lo largo de los 10 cm.
a) La energía potencial elástica del muelle ½ kx2 se transforma en cinética ½ mv2 ó p2/2m, es
decir :
½ kx2 = p2/2m; p x mk kgm s= = ⋅ =01 0 5 200 1. . /
b)
W d kx dx xdx
x
J
= ⋅ = − = − = −
−
= ⋅ =
− − −
∫ ∫ ∫ 


r r r r
F x i i
01
0
01
0
0 1
0
200 200
01
02
2
100 0 01 1
. . . .
.
También podemos usar el teorema de la energía cinética:
W = ∆EC = pF2/2m - pI2/2m = 1 - 0 = 1 J.
x=0x=-0.1
r r
F i= −200x
dx
TRABAJO Y ENERGÍA - 8
7. Un sólido asimilable a un punto material de masa m, se lanza a partir del punto O, con una
velocidad v0, a lo largo de un plano inclinado que forma un
ángulo α respecto al plano horizontal (como se indica en la
figura), deslizándose sin rozamiento hasta alcanzar el punto O’
en el cual se anula la velocidad.
a) Encontrar la expresión de la distancia OO’ en función del
ángulo α.
b) Discutir el caso en que α valga cero.
a) Como no hay rozamientos se iguala la energía cinética en el punto O a energía potencial en
O’:
½ mv02 = mgh = mg OO’ senα; OO
v
g
'
sen
= 0
2
2 α
;
b) Si el ángulo es cero, OO’ = ∞; es decir, si no hay rozamiento y el plano es horizontal, no se
detendría.
8. Dado el campo de fuerzas FX = y2 ; FY = -x2 ; FZ = 0, calcular el trabajo realizado por el
campo cuando un punto M se desplaza sobre la recta x + y = 1, entre los puntos B(0,1) y A(1,0).
W d F dx F dy F dz y dx x dy
r
r
xx
x
yy
y
zz
z
= ⋅ = + + = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
r r
r
r
F r
1
2
1
2
1
2
1
2 2
0
1 2
1
0
;
Como en todo momento y = 1 - x dy = -dx:
[ ]( ) ( ) ( ) / /1 1 2 2 2 33 2 1 2 3 1 2 3201 210 2 0
1
0
1
− + − − = + − = + − = + − =∫ ∫ ∫x dx x dx x x dx x x x unidades de trabajo
9. Un cuerpo de 1 kg de masa se deja caer por una superficie curva desde una altura de 1 m, tal
como indica la figura. Despreciando rozamientos,
calcular:
a) La velocidad de la partícula en el momento en
que choca con el muelle.
b) La máxima deformación que experimentará el
muelle si su constante elástica es de 200 N/m.
a) Igualando energía potencial gravitatoria a energía cinética:
E1 = E2; mgh = ½ mv2; v gh= 2 = 4.43 m/s.
b) La energía cinética que posee la partícula se transforma en energía potencial elástica del
muelle:
½ mv2 = ½ Kx2; x v
m
k
mgh
k
m= = = =
2 19 6
200
0 31
.
. .
αO
O’
1 m
k
TRABAJO Y ENERGÍA - 9
10. Una masa de 50 kg sube una distancia de 6 m por la superficie de un plano inclinado 37º,
aplicándole una fuerza de 600 N horizontal, como indica la figura. El coeficiente de rozamiento
es de 0.2. Calcular:
a) El trabajo realizado por la fuerza resultante.
b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. ¿En
qué se convierte dicho trabajo?
c) El incremento de la energía cinética.
La fuerza resultante 
r r r r r
F P N f F= + + +∑ R
escrita en cartesianas:
r r r
r r r
r r
r r
F i j
P i j
N j
f i
= −
= − −
=
= −
F F
mg mg
N
NR
cos sen ;
sen cos
α α
α α
µ
r r r
F i j∑ = − − + − −( cos sen ) ( cos sen )F N mg N mg Fα µ α α α
Si el bloque no se separa del plano, no debe haber resultante Y, por lo que:
N = mgcosα + Fsenα = 752.4 N, y µN = 150.5 N.
r r r
F i i= − − =∑ ( . . . ) .479 1 150 5 294 9 338 N; W Jresultante= ⋅ = ⋅ =
r r r r
F r i i∆ 338 6 202 8. .
b) W Jf rR = ⋅ = − ⋅ = −
r r r r
f r i i∆ 150 5 6 903. . Trabajo negativo, pues la fuerza de rozamiento tiene
sentido contrario al desplazamiento, y se convierte en energía calorífica que absorbe el suelo.
c) ∆EC = Trabajo realizado por las fuerzas externas = 202.8 J.
11. Una masa puntual de 4 kg es capaz de moverse libremente por el eje X sometida a una
fuerza F = 12 - 2x. Se pide:
a) El trabajo realizado por la fuerza cuando el punto se desplaza desde x = 0 a x = 16 m.
b) La velocidad en el punto x = 4 m (parte del reposo).
c) Representar gráficamente la fuerza en función del desplazamiento, señalando el trabajo en
dicha gráfica y hallando el valor numérico.
a) W x dx x x J
x
x
= ⋅ = − = −



= −∫ ∫
r r
F x∆
1
2 12 2 12 64
0
16 2
0
16
( ) .
b) Por el teorema de la energía cinética: ∆EC,0-4 = W0-4 = [ ]( ) .12 2 12 320
4 2
0
4
− = − =∫ x dx x x J
∆EC,0-4 = ½ mv42 - ½ mv02 = ½ mv42 = 32 J; v
E
m
m sc4
2 64
4
4= = = /
r
F
r
N
r
fR
r
P
x
y
∆
r
r
TRABAJO Y ENERGÍA - 10
c) El trabajo puede calcularse hallando el área
debajo de la curva en un gráfico F(r) frente a r.
En este caso W = 36 - 100 = -64 J.
12. Calcular el trabajo que realiza una fuerza 
r
F aplicada en un cuerpo que se mueve 50 m desde
el origen en el sentido positivo del eje x. La fuerza 
r
F , está dirigida en el sentido positivo del eje
x y es directamente proporcional a la posición del móvil, en el origen tiene un valor de 20 N, y
al final del intervalo 40 N.
Por el método gráfico, el trabajo será 1500 J.
Por un método analítico, deberemos empezar
por escribir la ecuación que expresa el valor de
la fuerza en cada punto:
la pendiente de la recta es:
(40-20)/(50-0) = 2/5 N/m
F = ordenada inicial + pendiente⋅x = 20 + 2/5 x
r r
F i= +( )20
2
5
x
W d x dx x dx x x J
r
r
x
x
= ⋅ = + = + = +



= + =∫ ∫ ∫
r r r r
r
r
F r i i
1
2
1
2 20 25 20
2
5 20
1
5 1000 500 15000
50 2
0
50
( ) ( )
13. El cañón de un fusil tiene una longitud de 0.8 m y la fuerza que actúa sobre el proyectil por
la expansión de la pólvora viene dada por F = 0.5(200 - x) en la que F viene dad en N cuando x
se mide en cm, siendo x la distancia recorrida por el proyectil dentro del cañón. Si la masa del
proyectil es de 20 g, determinar:
a) El trabajo realizado por la fuerza F dentro del cañón.
b) La velocidad del proyectil en el momento de abandonar el fusil.
c) La energía cinética del proyectil en ese instante.
a) Se trata de una fuerza cuyo módulo decrece linealmente, y que realizará un trabajo a lo largo
de los 80 cm de:
W Fdx x dx x
x
N cm= = − = − = ⋅∫ ∫0
80
0
80 2
0
80
0 5 200 0 5200
2
6400. ( ) . = 64 J
12
F(N)
6
16
x(m)
Área=36 J
-20
Área=10 (-20)/2= -100 J
20
F(N)
50
x(m)
40 Área=500 J
Área=1000 J
TRABAJO Y ENERGÍA - 11
También se puede hacer gráficamente calculando áreas:
b) Utilizando el teorema de la energía
cinética:
W = ∆EC = ½ mv2
v
W
m
=
2
 = 80 m/s
c) Obviamente la energía cinética es el
trabajo realizado por la fuerza, ya que partió
de energía cinética nula.
14. Disparamos un proyectil de 10 g de masa contra un péndulo balístico de 1 m de longitud y
500 g de masa, tal como indica la figura. Tras
el impacto, el péndulo asciende hasta una altura
h, siendo de 20º el ángulo que forma el hilo con
la vertical.
La altura h la podemos obtener relacionando la
longitud del hilo con el ángulo:
h = L - Lcosα = L(1 - cosα) = 1 - cos20º = 0.06 m
Ahora podemos hallar la velocidad con que el péndulo se pone
en movimiento tras ser golpeado por el proyectil, igualando la
energía cinética del péndulo a energía potencial:
½ mV2 = mgh; V gh= 2 = 1.087 m/s
Si el péndulo ha adquirido una velocidad V, es porque el
proyectil le ha comunicado una cantidad de movimiento mpvp,
por tanto:
mpvp = (mp + M)V; v
m M
m
V m sp
p
p
=
+
= =
0 51
0 01
1087 55 45
.
.
. . /
Ésta es la componente horizontal del vector velocidad del proyectil, el módulo será vx/cos15º =
57.4 m/s.
100
F(N)
60
80 x(cm)
Área = 1600 Ncm
Área = 4800 Ncm
h
20º
15º
L
α
h
Lcosα
L-Lcosα
TRABAJO Y ENERGÍA - 12
15. Un bloque de 1 kg que se desplaza por un plano horizontal choca contra un resorte
horizontal de masa despreciable cuya constante de fuerza es 2 N/m. El bloque comprime el
resorte deformándolo 4 m y se para. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la
superficie horizontal es de 0.25, ¿cuál era la velocidad del bloque en el instante del choque?
Aplicando el teorema de conservación
de la energía:
∆E = WF no conservativas
WF no conservativas = fR x cos180º
½ kx2 - ½ mv2 = -fR x = -µmgx;
mv kx mgx
v
k
m
x gx m s
2 2
2
2
2 516 7 18
= +
= + = =
µ
µ
;
. . /
16. Un objeto de masa M desliza por un plano inclinado. En su movimiento parte sin velocidad
inicial del punto A. Al legar a la base recorre la distancia horizontal D y luego asciende por otro
plano inclinado, hasta alcanzar el punto B, donde se detiene. Si el coeficiente de rozamiento
entre el objeto y el suelo es en todo momento µ, calcula la velocidad con que se mueve sobre el
segundo plano inclinado en función de la altura h que alcanza, y el valor de dicha altura cuando
se detiene.
Aplicando el teorema de conservación de la energía, tendremos:
∆E = WF no conservativas; E2 - E1 = W;
..M g h ..1
2
M v2 ..M g H ....µ M g cos ( )α H
sen ( )α
...µ M g D ....µ M g cos ( )α h
sen ( )α
despejando v 2 e igualando a 0
..2 g
.h sen ( )α .H sen ( )α ..µ cos ( )α H ..µ D sen ( )α ..µ cos ( )α h
sen ( )α
0
despejando h, resulta: h H
..µ H cotg ( )α .µ D
1 .µ cotg ( )α
k
4 m
v
E1 = ½ mv2
E2 = ½ kx2
fR
M
H
h
D
A
α α
B
E1 = MgH
E2 = Mgh +1/2Mv2
W = -µMgcosα(H/senα)
W = -µMgD
W = -µMgcosα(h/senα)
TRABAJO Y ENERGÍA - 13
17. Un niño se deja caer deslizando desde el punto más alto de un depósito semiesférico muy
pulido de radio R, tal como indica la figura. Hallar el ángulo
descrito por el niño cuando se separa de la superficie de la
semiesfera, y su velocidad en ese instante.
Planteando la ecuación fundamental de la dinámica:
r r r r r r
F P N i j a= + = + − =∑ mg N mg msen ( cos )α α
La componente y de la fuerza resultante,
es normal a la trayectoria, por lo que dará
lugar a una aceleración normal, v2/R, que
es la responsable de la trayectoria
curvilínea.
at = gsenα an = -(N - mgcosα)/m
 
 mgcosα−
=
N
m
v
R
2
 N = m gcos
v
R
α −






2
 (1)
Como se ve, N, disminuye conforme la velocidad del niño aumenta. Necesitamos ahora
una expresión que nos de el valor de v para cada ángulo. Utilizaremos el teorema de
conservación de la energía:
Energía en el punto más alto: mgh = mg(R - Rcosα) = mgR(1 - cosα)
Energía en un punto cualquiera: ½ mv2;
½ mv2 = mgR(1-cosα); v2 = 2gR(1-cosα)
Sustituyendo en (1): N = mg(cosα - 2 + 2cosα) = mg(3cosα - 2)
Como puede verse hay un valor de α que hace que N se anule, instante en que tiene lugar la
separación:
N = 0 cosα = 2/3 α = arcos 2/3 = 48º 11’
Resultado llamativo por su independencia del radio, de la masa y de la aceleración de la
gravedad.
La velocidad en el momento de la separación v = 2gR(1- 2 / 3) =
2
3
 gR
α
R
α
N
P
yx
h
Rcosα
atan
TRABAJO Y ENERGÍA - 14
18. Desde un extremo de un arco circular de 60º y de radio R se abandona una masa puntual m
que se desliza sin rozamiento. Escribir la expresión de la
reacción del arco sobre la masa puntual en función del
ángulo.
Para resolverlo aplicando el principio de conservación de la
energía, escojamos primero como
origen de alturas el punto más bajo
del arco y hallemos el valor de la
altura inicial.
h = R - Rcosα
Igualando energía inicial con energía en un punto cualquiera de ángulo
α, tendremos:
Ei = Ef; mgR(1 - cos30) = ½ mv2 + mgR(1 - cos α)
v2 = gR(cosα - cos30).
Expresión que nos da la velocidad en cualquier punto del
recorrido por el arco. Así, en el punto más bajo en que α = 0, v tendrá el
valor máximo v = gR(1- cos30) .
Para hallar la reacción del suelo en cualquier punto N, hallemos
la fuerza resultante en la dirección radial:
N - mgcosα = mv2/R
por tanto, N = mgcosα + mg(cosα - cos30) = mg (2cosα - cos30).
De la expresión obtenida podemos concluir que la reacción máxima se
da para α = 0, que corresponde al punto mas bajo.
19. A la altura h = 2R respecto al suelo en una rampa, se coloca un anillo de masa m que rueda
sin deslizar por la rampa entrando en un
carril de un rizo de radio R. El anillo
sube hasta que en un cierto punto C se
desprende y cae en otro punto D del
rizo. Hallar el valor del ángulo α en el
que el anillo se desprende del rizo.
Considerando despreciable el radio del anillo frente a R, el anillo
posee en B una energía cinética mg2R, que va a ir perdiendo
conforme sube por la rampa.
30º
m
30º R
30ºR
Rcos30
h=0
R-Rcos30
m
R
mg
N
α
figura 1
h=2R
R
α
v
C
D
B
A
αR
Rcosα
h = R-Rcosα
TRABAJO Y ENERGÍA - 15
En una posición cualquiera de la subida de ángulo α y altura h tendremos que la altura
ascendida es R(1-cosα).
Igualando energía inicial y final: mg2R = mgR(1-cosα)+ ½ mv2;
Por tanto la velocidad en cualquier posición es v2 = 2gR(1 + cosα)
Para hallar la reacción del suelo en cualquier punto N, hallemos la fuerza resultante en la
dirección radial: (ver figura 1, problema 18.)
N - mgcosα = mv2/R
por tanto, N = mgcosα + mv2/R = mg(cosα + 2 + 2cosα) =
N = mg(2 + 3cosα)
Función N(α) que se anula para α = arcos(-2/3) = 131.8º, siendo su velocidad v =
2
3
gR
20. Una masa puntual m se abandona en A deslizándose sobre el cuadrante de rampa circular
AB, y posteriormente sobre un
tramo recto BC = L. En C incide
sobre un resorte de constante K
que se comprime. Sabiendo que la
velocidad de la masa en C es la
tercera parte de la velocidad en B
y que el resorte se comprime 1 m,
se pide:
a) Longitud del tramo BC.
b) Valor del coeficiente de
rozamiento entre el tramo AB
y la masa.
Datos R = 40.5 m; µ = 1/3; K =
9mg N/m; (Selectividad junio 93)
a) Comenzaremos por el final, la energía del muelle comprimido es ED = ½ Kx2 = 
9
2
mg;
EC = ED EC = 
9
2
mg = ½ mvC2
EB = ½ mvB2 vC = vB/3 EC = ½ mvC2
9g = vC2 vB = 3vC = 9 g
EC - EB = -fR L = -µmgL; EB = EC + µmgL = 
9
2
mg + 
1
3
mgL = ½ 81mg
9
2
 + 
1
3
L = ½ ⋅81; L = 3(
81
2
9
2
− ) = 108 m
b) EA = mgR; EB = ½ 81mg EB - EA = mg(
81
2
 - R) = mg (
81
2
 - 40.5) = 0
Por tanto se conserva la energía de A a B, por lo que no hay trabajo de rozamiento, y µAB = 0.
A
B C
R
L