guia_3

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MecánicaClásica
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cuatrimestre2005- AlejandroFendrik
guia3: Principiosvariacionales
1. Supongaquesabeexperimentalmentequeunapartículacaeunadistanciadaday enun tiempo
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, peroque
no seconoceel tiempodecaídaparaptrasdistancias.Supongaademásqueel lagrangianodel problemaseconocepero
enlugarderesolver la ecuacióndemovimientosepruebauanformafuncional
�������������������! 
Mustrequela integral" �$#&%(')�
resultaun extremoparavaloresrealesdelos coeficientessólocuando
�+*-,/.��0�1,/.
y
�2�3*4�/�5
6 
2. Una partículase encuentrasometidaa un potencialde tipo gravitatorio 7�8:9!; �<*>=?� 9 Suponiendoque las órbitas
soncirculares,encuentrela relaciónentrelos periodosy los radiosde las órbitasutilizandoel principio variacionalde
Hamilton (Ayuda: considerela ecuaciónparamétricade la elipse @A8:B?; �C�EDGF)H 8JI�B?; .K� 8LB?; �MHONQP 8JI�B?; . y apartamientos
dela trayectoriacircularvariando
�
ó
�
.
3. Se tiene una partículasometidasolamentea un potencialdel tipo osciladorarmónico, 7R8L@S; �UT� = @ �! Encuentrela
ecuacióndemovimientominimizandola accióndela siguientemanera:
(a) Divida el intervalodeintegraciónen V partes.
(b) Reemplacelasderivadasporsuvalormedio W@SX �1Y @SX �5Y�� X y la integralpor la sumatoria.
(c) Impongala condicióndeextremo Z " � ZS@KX �[,?.]\^�3_5.`
/.G a Q a. V *�_5 
(d) Tomeel límite para
Yb� Xdc ,/. V cfe 
(e) Interpreteel resultado.
4. Considereel movimiento unidimensionalde unapartículade masag sometidaal potencial 7�8:@S; �hT� = @ � �iTj
k @ j
(osciladoranarmónico).La solucióndela ecuacióndemovimientono seconoce, pero,debidoa la formadel potencial,
sesabequeel movimientoseráperiódicoy sepruebaconunaseriedeFourierdela forma
@A8 � ; �mlno!p]q � o DGF)H 8:r � ;
(tomando
�s�1,
enunpuntoderetorno)donder resultala pulsación(desconocida)delmovimiento.Considerela integral
de la acciónentredospuntos
� T y � � separadospor el periodo t �M
�ud� r Muestrequepara k �M,?. puedeencontrarse
un v tal que � q �3,?.5� o �3, paratodo V$w� v y r �xTy{z |} representaunasolución.Observar quetodo v representala
mismasolución.Interpreteestehecho.
5. Según Fermat,la luz sigueuna trayectoriaque haceextremo la integral
# �T V~8:@ .O� ; '��5. donde V~8:@ .�� ; es el índice de
refraccióndel medioinhomogéneoquela luz atraviesa.El problemasesuponeplano.Muestrequesi V~8:@ .�� ; � V q 8 _E��/�5� ; dondeV q y � sonconstantes,la trayectoriadela luz estádadapor ���C*>�b� 8LI �{� V q ; D�F
H�� 8 k � V q @ �!� IA;��5I y k
constantesdeintegración.
6. ¿Sonafectadaslasecuacionesdemovimientosi el lagrangianosele agregaunaderivadatotal conrespectoal tiempo?
7. Hallar la curvadelongitudmínimaqueunedospuntosdela superficiedeuncilindro.
8. Cuandosearrojaun objetohaciaarriba,desdela superficieterrestre,el tiempoquetranscurrehastaquevuelve a tocar
tierraresulta
���(��
�� q ���{ A partir deunafuncióndepruebadadapor:
� 8 � ; � � q
 ��lno!p T � o DGF)H 8:V{r � ; �<l
n
o!p T � o H�NaP 8:V{r � ;
(desarrrolloenseriedeFourierpara
,��1�2�$��� ; . con r �3
�ud������. encuentrela mejoraproximacióna la trayectoriacon
el criterio del principio deHamilton. Utilizandoel valor quetomala acciónparadichatrayectoria,comparela solución
obtenidaconla correspondienteal resultado
� 8 � ; ��� q �d* T� �
���5 ¿Quéconclusionessaca?
9. ¿Cambiala formadeun lagrangianocuandoselos escribeendistintascoordenadasgeneralizadas?Muestreun ejemplo.
10. Muestrequeel lagrangiano
% 8L� . W� .
�� .�� ; �1�s�� �����5�� ��%E� 8J� . W� .O� ; ( � y � sonconstantesarbitrarias)conducea ecuaciones
demovimientoquesondesegundoorden.
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