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MecánicaClásica
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cuatrimestre2005- AlejandroFendrik
guia2: Coordenadasgeneralizadas,gradosdelibertady Lagrange
1. Setieneel sistemade la figura1, donde��� , ��� semidena partir de lasposicionesdeequilibrio. Sea� �
	����
����� y� ��	����
�������
(a) ¿Definen��� ��� � ��� unconjuntoadmisibledecoordenadasgeneralizadas?
(b) Si � ��	���� describacualitativamenteel movimientodecadapartícula.Idemsi � ��	�� �
(c) Calcularlasfuerzasgeneralizadas! � y ! � �
2. Paraloscasossiguientes,¿cuántosgradosdelibertadtieneel sistema?Propongaconjuntosdecoordenadasgeneralizadas
adecuadas:
(a) " � y " � semuevenenel planodela mesa.
(b) Idem,perola mesarotacon # 	 cte.
(c) " � y " � sehallandentrodeuntubo.Si � � y � � semidenapartirdelcentrodemasa,¿soncoordenadasapropiadas?
(d) Lasdosmasassehallanunidasentresí por unabarrarígida. Analiceel casoenquesólopuedenmoversehorizan-
talmentey tambiénel casobidimensional.
(e) Discutaloscasos$ fijo y $ móvil.
(f) Unamasaenhebradaenunalambreelíptico.
(g) UnamáquinadeAtwood.Analicelos casosenquela cuerdadeslizay no deslizasobrela polea.
(h) Unapartículapuntualquecaepor unaesfera,congravedad.
3. % � y % � sondosplataformasrotantescomosemuestraen la figura. % � semueve respectoa la tierra con velocidad
angular &' � � % � semueve respectoa % � convelocidadangular &' � � Unapartículademasa" semueve librementesobre% � . Escribael lagrangianodelsistemaentérminosdecoordenadaspolares( �*) deunsistemacartesianofijo a % �+� Halle
lasecuacionesdemovimientodela partículae interprete.
4. Setieneel sistemadela figura.Hallar la aceleracióndecadamasautilizando:
(a) LasecuacionesdeNewtony condicionescinemáticas.
(b) El principiodelso TrabajosVirtuales(PTV).
(c) LasecuacionesdeLagrange.
(d) repita �-, � y �/. � peroahoraconsiderandoquelaspoleastienenmasa0 y radio 1 �
5. Dospartículasdemasa" � y " � estánunidaspor un hilo inextensibledelongitud 2 ; " � semuevesólosobreel eje � y" � sólosobreel 3 . Lascondicionesinicialessonlasqueindicala figura.
(a) Halle la ecuacióndemovimientopara
'
utilizandoel PTV.
(b) Halle la ecuacióndeLagrangepara
' �
(c) Si " � 	 " ��4 " � hallela tensión5 enel hilo comofunciónde ' �
(d) ¿Cuálesel períododemivimientode
'
enestecaso?Supongaque
'
sólopuedetomarvalorespequeños.
6. Dospartículasdemasas" � y " � estánunidasporunhilo comoindicalafigura. " � semueveenel planodelamesay " �
sóloverticalmente.En 6 	�� � " � seencentraaunadistancia798 delorificio y sele aplicaunavelocidad:;8 perpendicular
al hilo.
(a) EscribalasecuacionesdeLagrangey hallesusintegralesprimerasentérminosdelascondicionesiniciales.
(b) Halle la tensióndelhilo.
(c) Repita �-, � y ��. � suponiendoahoraqueel movimientode " � esbidimensional.
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7. Bajo la accióndela gravedad,unapartículademasa" sedeslizaporunasuperficiecónica( 	�<>=*?+@BA CED/� sin rozamiento
(verfigura).
(a) Halle lasecuacionesdemovimientodela partículautilizandocomocoordenadasgeneralizadasel ángulo
'
medido
enel planoperpendicularal ejedel conoy la distancia7 al vérticedelmismo,tomadaa lo largodel cono.
(b) Halle el potencialefectivo unidimensionalequivalente.Muestrequelas órbitascircularessonposiblesy halle la
velocidaddela partículaentalesórbitas.
(c) Hallar 7 máximoy 7 mínimo parael casoen que C�	GFH�JI y las condicionesinicialessean7K� �L�M	 , � &7�� �L�N	��� &' � � �L�O	QPKR FJS , �
(d) Suponiendola partículaen movimiento circular, halle la constantedel osciladory el príodo de oscilaciónpara
pequeñasperturbacionesdeestemovimiento.Compareestepríodoconel derevoluciónparahacerunadescripción
cualitativadelmovimientoperturbado.
8. Analizarlos sigientespuntos.
(a) Dadoun sistemaconstituídopor T partículas,¿cuálesel númerode gradosde libertadel mismo? ¿y cuál el de
ecuacionesdevínculos?
(b) ¿Sepuedeutilizar unavelocidadcomocoordenadageneralizada?
(c) ¿Lasfuerzasgeneralizadasseaplicansobrecadapartícula?
(d) El númerodegradosdelibertaddeun sistema,¿esindependientedel sistemadereferenciautilizadoparadescribir
el movimiento?
(e) Paraestudiarel equilibriodeun sistema,¿essiempreválidoutilizar el principio delos trabajosvirtuales?
(f) ¿Esválida la formulaciónlagrangianaparaun potencialdependientede la velocidad?¿Y parael campoelectro-
magnético?
(g) Dé un ejemploenqueundesplazamientovirtual difieradeunoreal.¿Enquécasossoniguales?
(h) Lasecuacionesdevínculoparaun sistemafísico,¿dependendel sistemadereferenciautilizado?¿Y lasfuerzasde
vínculo?
(i) Paracalcularlasfuerzasdevínculosdeunsistema,¿quémétodosesposibleemplear?
(j) SiempresepuedenescribirlasecuacionesdeNewtondesdeel centrodemasadeun sistema?
(k) Paraun sistemade T partículas,cuántasecuacionesdeNewtonsenecesitan?¿YdeLagrange?
(l) ¿Quéseentiendeporunsistemainercial?¿Seráncorectaslasecuacionesdemovimientossi seescribeel lagrangiano
desdeun sistemano inercial?
(m) Paraunacargaenun campoelectromagnético,¿sepuedeconservarel impulsolinealdela misma?¿Quémagnitud
seconserva?
9. Seael sistemadela figura.
(a) Halle lasecuacionesdemovimientoutilizandoel métododeLagrange.
(b) Parael caso UVW	���� integrelasecuacionesparacondicionesiniciales 7K� �J�X	 7�8 � &7�� �L�O	����
(c) Discutael casoenque Y varíalibremente.
10. Considereel sistemadela figura.
(a) Encuentrelasecuacionesdemivimientoparael péndulodoblequeoscilaenun plano.
(b) Halle uanexpresiónaproximadade lasmismasparapequeñasoscilacionesalrededorde la posiciónde equilibrio
estable.
(c) Resuelve lasecuacionesproponiendounasoluciónde tipo armónicoparalos gradosde libertad. En 6 �Z� ambas
masassehallanenrepososobrela verticaly la inferior sele aplicaunavelocidad: 8 perpendicularal hilo.
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11. Unapartículademasa" sedeslizasin fricción por un almabrefijo enel punto [ y queformaun ángulo ' 8 conun eje
verticaly queseencuentrarotandoalrededordelmismoejeconvelocidadangularconstante# (verfigura).
(a) Encuentreel lagrangianoy lasecuacionesdeLagrange.
(b) Halle 7K�\6 � sabiendoquea 6 	�� � 7K� �L�]	 798 � &7�� �L�O	^���
12. Considereel pénduloesférico,esdecirun pénduloentresdimensiones.
(a) EncontrarlasecuacionesdeLagrangeparael mismo.
(b) A partir delasecuacionesdeLagrange,hallarlasconstantesdemovimiento.
(c) Discutacualitativamenteel movimientodeestepéndulo.
13. Escribael lagrangianodeun pénduloplanodondeel puntoidesuspensión:
(a) sedesplazauniformementeporun círculoverticalderadio , confrecuenciaangular# �
(b) efectúaoscilacionesverticalesdela forma ,]_�`La9�b#O6 �c�
(c) efectúaoscilacioneshorizontalesdela forma ,]_�`Lad�\#O6 � .
14. Encuentreel lagrangianodelos sistemasdela figura.
15. Seauna partículalibre de masa " y carga � en un campoelectromagnéticocon potenciales)B� U[e� Uf 	g� Uh )i�j�k �dl U[ S l 6cm Un 	 Uhpo U[ �d� Obtengaa partir del lagrangianoq 	 5 �sr donde rt	 �vu )w��j�k � U:vx U[�y es un po-
tencialgeneralizadodependientedela velocidad,lasecuacionesdemovimiento.Muestrequela fuerzaaplicadasobrela
partículaesla deLorentz Uz 	 �{u Uf �|j�k � U: o Un y �
16. Sean� � � � 3 � �c� � � � � 3 � �d� dossistemasdereferenciacartesianasbidimensionales.Supongaqueel origendecoordenadas}
se mueve con U: 	 cte con respectoa � � � 3 � y que los ejes � � � 3 � rotan con velocidadangularconstante.Hallar
explícitamentelasecuacionesdetransformación:� � 	�� � � � � � 3 � � 6 � y 3 � 	 3 � � � � � 3 � � 6 � .
17. Encuentreel lagrangianoy lasecuacionesdemovimientodelsiguientesistema:unpéndulosimpledemasa" � � conuna
masa" � enel puntosostén,la cualpuedemoversesobreunalíneahorizontalcontenidaenel planodemovimientode" � � Resuelva lasecuacionesdemovimientoy hallela frecuenciadeescilacióndel ssitemaparapequeñosapartamientos
dela posicióndeequilibrioestabl.Supongacondicionesinicialesadecuadas.
18. Escribael lagrangianoy lasecuacionesdemovimientodelsistemadela figura.La poleatienemomentodeinercia ~ y la
cuerda(inextensible)ruedasindeslizarpor ella.
19. Seaunapartículademasa" y carga � inmersaenuncampomagnéticouniforme Un 	 n 8��< �
(a) Si U[ 	 n 8 � �3 � calculelas ecuacionesdemovimientoy muestrequelas órbitassonhélices.Calculeel radioy el
centrodedichashélices.Lascondicionesinicialesson U7�� �J�O� � 8 � 3+8 �*< 8 �c� U:�� �L�O	 � &� 8 � &3H8 � &< 8 �d�
(b) Repitael punto �-, � peroahoraparael potencialvector U[�� 	 �� Un�o U7 �
(c) Calculela funcion � quedael cambiodegauge U[�� 	 U[ � Uh � �
(d) Si U:�� �L�]	���� interpretefísicamentela soluciónhalladaen �-, � .
20. Seaun osciladorisótropobidimensional( �H� 	 �L� 4 � ).
(a) Escribael lagrangianodelsistemay hallelasecuacionesdemovimientoparalascoordenadasgeneralizadas� � 	��
y � � 	 3 .
(b) Seaq�� 	 " &� &3 � � � 3 � Halle lasecuacionesdemovimientoparaestesistema.Compareconlasobtenidasen ��, � .
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