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COLEGIOCOLEGIO
PROGRAMA DEL DIPLOMAPROGRAMA DEL DIPLOMA
TRABAJO INTERNO DE MATEMÁTICATRABAJO INTERNO DE MATEMÁTICA  – – NIVEL MEDIO NIVEL MEDIO
Convocatoria Noviembre 2016Convocatoria Noviembre 2016
Modelación para predecir el promedio de la Modelación para predecir el promedio de la temperatura mensual en Helsinki,temperatura mensual en Helsinki,
FinlandiaFinlandia
Nombre del candidato:Nombre del candidato:
Código del candidato:Código del candidato:
N° de palabras: 2935N° de palabras: 2935
Lima-PerúLima-Perú
20162016
2
Introducción
Finlandia es considerado como uno de los países más fríos del mundo debido a
que hace unos miles de años atrás, este territorio europeo se encontraba
debajo de un glaciar. A partir de ello, Finlandia no cuenta con una abundante
cantidad de montañas, pero por el contrario cuenta con diversos ríos;
asimismo, al haber estado enterrado bajo glaciares causó que la población se
acostumbrará al clima y no tuviese mayores problemas en enfrentar su día a
día con este.
 Actualmente, se dice que el clima de Finlandia puede describirse como boreal;
esto quiere decir que los inviernos son extremadamente fríos y los veranos son
suaves. Asimismo, este clima boreal produce que la estación del invierno tenga
una duración extensa; en el norte del país este puede llegar a durar hasta
medio año, y en el sur dura alrededor de 110 días.
 A partir de esta breve investigación, tuve interés por saber más acerca de cómo
se daba la variación de temperatura en Finlandia, al tener un desarrollo
climático distinto comparado a otros países de Europa, de igual manera
siempre he tenido cierta afinidad con este país, al querer visitarlo en época de
invierno y admirar los paisajes que se formen con abundante nieve.
 Asimismo, decidí que esta investigación se centraría en el sur del país,
específicamente en la capital llamada Helsinki debido a que en la parte norte
era posible que las variación de temperatura del invierno sean más difícil de
interpretar con respecto a las demás estaciones.
El objetivo del presente trabajo es hallar un modelo matemático que pueda
determinar las temperaturas registradas en Helsinki mensualmente.
 A continuación se encuentra la tabla 1 que muestra los datos de las
temperaturas registradas en Helsinki publicado por el portal Big in Finland.
TABLA N°1
Promedio de temperaturas registradas
mensualmente en Helsinki en el 2013Mes Temperatura (C°)
Enero -3.9
Febrero -4.7
Marzo -1.3
 Abril 3.9
Mayo 10.2
Junio 14.6
Julio 17.8
 Agosto 16.3
Setiembre 11.5
Octubre 6.6
Noviembre 1.6
Diciembre -2
3
Fuente: Recuperado de http://www.biginfinland.com/temperatura-de-finlandia/
Para comenzar, registré los datos en el programa Geogebra; siendo los
números en la fila A, el equivalente a los meses, y los datos en la fila B son el
promedio de las
temperaturas registradas.
Posterior a ello, Geogebra mostrará los puntos ubicados en el plano, y
claramente cómo se puede observar, los puntos forman una función de seno
cuya fórmula es la siguiente:
  =  −  + 
GRÁFICA
N°1
Amplitud:
Para poder determinar la fórmula de seno, como primer paso procederé a hallar
la amplitud lo cual indica la cantidad de estiramiento vertical que la curva ha
realizado con respecto al eje x; para hallar esto se seleccionará un punto
máximo y un punto mínimo usando mi propio criterio.
A (X = mes) B (Y = temperatura C°)
1 -3.9
2 -4.7
3 -1.3
4 3.9
5 10.2
6 14.6
7 17.8
8 16.3
9 11.5
10 6.6
11 1.6
12 -2
X =Mes
Y= Temperatura (C°)
4
Q = 1.74, -5
Como resultado, se
obtuvo las siguientes
coordenadas:
GRÁFICA N°2
.
Se tomará el valor de Y en ambas coordenadas que en ese caso son 18.41 y -
5; sin embargo se tomará el valor absoluto del 5 debido a que la amplitud no
podría resultar negativa. Posterior a ellos se dividirá entre 2
  =
 á − í
2
A =
 18.41 + 5
2
  = 11.7
La incógnita de A dio como resultado 11.7, lo cual será reemplazado en la
fórmula establecida de seno:
ℎ = 11.7 −  + 
Periodo
 Ahora se procederá a calcular el periodo lo cual indica la cantidad que
corresponde a un ciclo completo de valores en la función, para ello se
seleccionara el punto de inicio y el punto final de la función de seno. En este
caso me guiaré del punto J para usarlo como referencia, a partir de esto
ubicaré otro punto que se encuentre a la misma altura que el punto J con el
propósito de que sea el punto inicial, este será el punto S. Teniendo esto,
procederé a ubicar un punto R a la altura de los dos anteriores para que sea el
punto final.
X=Mes
Y= Temperatura (C°)
P = 7.17, 18.41
5
GRÁFICA N°3
Se seleccionará los valores X, que en este caso son 4.44 y 15.42, después de
ello se restará el mayor valor con el menor.
 = 15.42 − 4.44
 = 10.98 ≈ 11.0
Teniendo este valor, se aplicará la fórmula para que dé como resultado el
periodo:
 =
2

 =
2
11.0
 = 0.57
Entonces, al tener el resultado de la incógnita de B se reemplazará en la
fórmula de seno:
ℎ = 11.70.57 −  + 
Traslación horizontal
Después de obtener estos dos valores, se procederá a hallar la traslación
horizontal que ha realizado; en donde si es que esta es hacia la derecha tendrá
signo negativo y si esta es hacia la izquierda, será positivo. Al haber
seleccionado un punto inicial para hallar el periodo, será más fácil hallar la
traslación horizontal.
GRÁFICA N°4
Y =Temperatura (C°)
X= Mes
Y= Temperatura (C°)
R = (15.42, 6.58)
S = 4.44 6.67
S = (4.44, 6.67)
6
 Al contar con el punto inicial, se puede deducir fácilmente cual ha sido su
traslación en el eje X debido a que la posición horizontal inicial de la función
seno se da en 0 del mismo eje . Por lo tanto, se procede a tomar el valor de
4.44 que será igual a  y con ello se puede deducir que su desplazamiento ha
sido de 4.44 unidades hacia la derecha, entonces el signo que este tendrá será
negativo.
 Al tener este valor, el resultado de la fórmula será:
ℎ = 11.70.57 − 4.44 + 
Traslación vertical
El valor restante es el de la traslación vertical, el cual puede ser para arriba o
abajo; cabe resaltar que este se va a valer de los signos de la misma manera
que la traslación horizontal. Por ello, cuando esta sea hacia arriba, tendrá signo
positivo y cuando sea hacia abajo, tendrá signo negativo.
Para hallar este valor, se tomará el mismo punto máximo y mínimo que fueron
seleccionados para hallar la amplitud. Asimismo, se tomará el punto J que
actúa como punto
medio.
GRÁFICA N°5
Entonces, primero se tomará el valor de Y en las coordenadas del punto
máximo y mínimo, los cuales serán 18.41 y el valor absoluto de -5. Después se
procederá a restarlos y luego dividirlos entre 2.
 =
 á − í
2
 =
 18.41 − 5
2
 = 6.7
X =Mes
Y= Temperatura (C°)
X = Mes
P = (7.18, 18.41)
Q = (1.74,-5)
= 10, 6.6
7
Se puede decir que el valor de 6.7 se acerca mucho al valor x de la coordenada
de J. De igual manera, la posición vertical inicial de la función seno radica en el
0 del eje y, por lo tanto se puede decir que la función ha realizado una
traslación de 6.7 unidades hacia arriba por lo cual su signo será positivo.
 Al haber hallado la incógnita de   finalmente se puede completar la fórmula,
dando como resultado:
ℎ = 11.70.57 − 4.44 + 6.7
 Al insertar esta fórmula en Geogebra, el gráfico sería el siguiente:
GRÁFICO N°6
 Al obtener como resultado esta gráfica, pude notar que la gran mayoría de
puntos no coincidía con la función, aunque en algunos casos algunos puntos
rozaban esta, de igual manera no estuve satisfecha del todo porque mi objetivo
era encontrar una función que coincida con todos o gran parte de los puntos.
Frente a esto, decidí que crearía una nueva función basándome en algunos
datos de la anterior.
 2daFunción
Amplitud
En la función anterior, para hallar la amplitud decidí ubicar el punto máximo y
mínimo en el plano usando mi propio criterio debido a que creí que los puntos
ubicados a partir de los datos no se encontraban en la posición exactapara
tomarlos como referencia. Sin embargo, en esta ocasión tomaré los puntos ya
mencionados para comprobar la si la diferencia con respecto a la gráfica
anterior es muy notoria.
Por ello, seleccioné el punto máximo y mínimo de los datos registrados cuyas
coordenadas son las siguientes
Y= Temperatura (C°)
X=Mes
ℎ = 11.70.57 − 4.44
G = 7, 17.8 B = (2, -4.7)
8
Se repetirá el mismo proceso que se realizó en la función anterior, es decir, se
tomará el valor de Y de ambas coordenadas (en el caso del punto B se toma el
valor absoluto de -4.7) y estas se sumarán para luego dividirse entre dos.
  =
 17.8 + 4.7
2
  = 11.25
En este caso, la incógnita de A dio como resultado 11.25 cuya diferencia con
respecto al valor hallado en la primera función es de 0.5. La diferencia no es
abismal pero es posible que se produzca un cambio notorio.
El valor de la amplitud será reemplazado en la fórmula establecida de seno:
 = 11.25 −  + 
Periodo
Para hallar el periodo en esta función decidí ser más cuidadosa, por ello en el
momento de ubicar el punto inicial y el final haré lo posible para lograr que las
coordenadas sean más exactas con respecto al anterior valor hallado. Por lo
tanto, me guiaré del mismo punto de inicio anterior cuyas coordenadas son:
Sin embargo, para hallar las coordenadas del punto final, realizaré un pequeño
cálculo que implicará usar un poco la lógica.
En la gráfica de la primera función se pudo apreciar que la función no coincidía
notoriamente en los últimos dos puntos. Por lo tanto como se quiere lograr que
coincidan, es probable que el periodo sea extendido horizontalmente un poco
más a la derecha.
Por lo tanto, el anterior punto final será ubicado un poco más a la derecha,
calculando que sea una distancia prudente, teniendo como referencia la
gráfica anterior.
Entonces, al ubicar el nuevo punto final nombrado punto T, se ha tenido en
cuenta que la diferencia estimada con respecto al anterior punto será:
∆= 15.83 − 15.42
∆= 0.41
GRÁFICA N°7
Y= Temperatura (C°)
S = 4.44, 6.67
R = 15.42, 6.58T = 15.83, 6.63
T = (15.83, 6.63)
S = (4.44, 6.67)
9
 Al contar con el nuevo punto final y el anterior punto inicial, se procederá a
hacer el nuevo cálculo, iniciando por la resta de los valores X de las
coordenadas del punto T y S.
 = 15.83 − 4.44
 = 11.39
 Al contar con este valor, ahora se procederá a aplicar la fórmula para obtener el
periodo de la función.
 =
2

 =
2
11.39
 = 0.55
Se aprecia que con respecto al periodo anterior, la diferencia es de :
∆= 0.57 − 0.55
∆= 0.02
En este caso, la diferencia entre los periodos es insignificante, lo cual me
preocupa un poco debido a que puede ser posible que no haya cambio alguno
con respecto a la función anterior.
Se procederá a reemplazar el valor de B en la nueva fórmula de seno:
 = 11.250.55 −  + 
Traslación horizontal
Con respecto a este punto no se hará ningún cambio debido a que se utilizó el
mismo punto incial que se utilizó para la primera función.
Por lo tanto, se reemplazará la incógnita con el valor anterior de 4.44 en la
fórmula de seno.
 = 11.250.55 − 4.44 + 
Traslación vertical
Para hallar este valor, se tendrá que utilizar los mismos datos con los que fue
hallada la amplitud. Por ello, se utilizarán los puntos máximo y mínimo cuyas
coordenadas son las siguientes:
X =Mes
B = (2, -4.7)G = (7, 17.8)
10
Luego se procederá a tomar los valores X (en el caso de B, el valor absoluto de
-4.7) de las coordenadas, para así restarlos y luego dividirlos entre dos.
 =
  − 
2
 =
 17.8 − 4.7
2
 = 6.55
El valor de d indica que la función de ha desplazado 6.55 unidades hacia
arriba, tal como el valor de la primera función.
Entonces, la fórmula final de la función sería igual a:
 = 11.250.55 − 4.44 + 6.55
 Al insertar el resultado en Geogebra, la gráfica de la función es la siguiente:
GR
 ÁFI
CA
N°
8
Se puede ver que la gráfica de esta función es mucho mejor que la anterior
debido a que coincide con más puntos y si es que en algunos casos no lo hace,
por lo menos no se encuentra tan alejado de estos, lo no sucedía con la
primera función.
Y= Temperatura (C°)
X =Mes
 = 11.250.55 − 4.44
11
GRÁFICO N°9
En la gráfica mostrada, se puede notar la gran diferencia entre la primera
gráfica de la función y la segunda. En primer lugar, con respecto a los puntos
máximo y mínimo estos tienen mayor rozamiento con la segunda gráfica, la
cual mejorará la exactitud de las estimaciones que se harán para años
siguientes al 2013. Asimismo, la segunda gráfica permite una mejor ubicación
de los puntos, a partir de que la diferencia para coincidir con ellos es mínima,
teniendo menos incongruencias que la primera gráfica.
De igual manera, se hizo una comparación de estas con la función que
Geogrebra brindaba, siendo esta la siguiente:
  = 10.76(0.55 − 4.42) + 6.4
La gráfica de
esta función
sería:
GRÁFICA N°10
Se puede observar que la gráfica de Geogebra, coincide con la gran mayoría
de puntos; sin embargo, cabe resaltar que se ha tomado otros puntos como
máximo y mínimo, obviando los puntos B y G, por esa misma razón es que la
X =Mes
Y= Temperatura (C°)
Y= Temperatura (C°)
X =Mes
 = 11.250.55 − 4.44
ℎ = 11.70.57 − 4.44
  = 10.76(0.55 − 4.42) + 6.4
12
amplitud en la fórmula de la función es menor comparada a las primeras
gráficas.
De igual manera, que exceptuando la amplitud, todos los demás valores de mi
segunda gráfica coinciden con las del Geogebra.
En primer lugar, el periodo es el mismo:
0.55 = 0.55
Los valores de la traslación horizontal tienen una mínima diferencia a simple
vista:
∆= 0.44 − 0.42
∆= 0.02
Finalmente, la traslación vertical tiene una diferencia de:
∆= 6.55 − 6.4
∆= 0.15
En la siguiente tabla se puede notar la diferencia entre los datos registrados y
los que están ubicados en la función que cree.
TABLA N°2
Mes Temperatura (C°) Diferencia Función g (x) =
.. − .  +
.
Enero -3.9 0.2 -4.1
Febrero -4.7 0.3 -4.4
Marzo -1.3 0.1 -1.4
 Abril 3.9 0 3.9
Mayo 10.2 0.2 10.0
Junio 14.6 0.5 15.1
Julio 17.8 0.1 17.7
 Agosto 16.3 0.7 17.0
Setiembre 11.5 1.7 13.2
Octubre 6.6 0.9 7.5
Noviembre 1.6 0.1 1.5
Diciembre -2 1 -3
 Ahora procederé a hacer una estimación para hallar la temperatura en Helsinki
para enero del 2015. Efectivamente, este evento ya sucedió pero con esto
comprobaré si es que mi resultado concuerda con los datos climáticos ya
registrados.
13
 Al establecer que los números son equivalentes los meses, para el caso de
enero del 2015 se dice que este tomará el valor de 25, debido a que diciembre
del 2013 es equivalente a 12 y por consiguiente diciembre del 2014 será igual a
24 ya que se le suma la cantidad de meses que tiene el año, lo cual es 12.
Entonces al ser diciembre del 2014 igual a 24, enero del 2015 será 25.
Las coordenadas del punto ubicado son las siguientes:
GRÁFICO
N°11
Entonces, el valor de y es equivalente al promedio de la temperatura que
probablemente se experimentó en enero de 2015, es decir -4.16C°.Se hará la
comprobación respectiva del resultado para demostrar la certeza de la función.
Según el portal Accu Weather, el promedio de la temperatura mensual en
enero de 2015 en Helsinki fue igual a -3.8C°. Frente a este resultado se puede
decir que la función se aproximó en su posibilidad a los resultados verdaderos,
teniendo una diferencia de 0.32.
 Al haber probado la efectividad de la fórmula de la función elegida, se
procederá a predecir las temperaturas en Finlandia para octubre, noviembre y
diciembre de 2016. Para poder determinar el valor que tomará x, en este caso
se aplicará la misma técnica que se utilizó para hallar el resultado de enero del
2015.
Si en enero de 2015 es equivalente a 25, si se le suma los 11 meses que
quedan del año diciembre sería igual a 36. Con ello podemos decir que
diciembre del 2016 será igual a 48; por consiguiente, los meses anteriores aeste serán 46 y 47 siendo equivalentes a octubre y noviembre.
Y= Temperatura (C°)
X= Mes
Z = (25, -4.16)
 = 11.250.55 − 4.44
14
GRÁFICA N°12
Podemos notar que los valores del promedio de las temperatura para octubre,
noviembre y diciembre de 2016; meses en los cuales se está produciendo el
cambio de estación de otoño a invierno, son equivalente a -2.03 C°,-4.57 C° y -
3.83 C°. Evidentemente, se registran muy bajas temperaturas para esta época,
por lo cual, se vivirá un frío intenso en toda la región de Helsinki, mucho mayor
al del año 2013.
CONCLUSIONES
Puedo concluir este trabajo diciendo que logre cumplir mi objetivo de lograr
crear un modelo matemático para poder estimar la temperatura en Helsinki; sin
embargo es posible que esta cambie con respecto a las condiciones climáticas
que se den repentinamente lo cual va más allá de mi alcance y no podría
predecir ello, aunque claramente se espera que las predicciones de acerquen
en lo posible a los datos registrados posteriormente.
Si bien no logré mi cometido al primer intento, al realizar un segundo intento
me permitió ser más cuidadosa con respecto a la ubicación de los puntos para
lograr un mejor resultado. Asimismo, mi segunda función tuvo una mayor
cercanía a los puntos máximo y mínimo, en comparación a la función que
Geogebra me mostraba; pero cabe resaltar que la única diferencia notoria entre
 = 11.250.55 − 4.44
  = 46, -2.03)
 = 47, -4.57)
 = 48, -3.83)
15
estas funciones solo fue la amplitud debido a que los demás valores eran muy
similares.
De igual manera a lo largo de la exploración me pude dar cuenta, que tenía
muchas preocupaciones con respecto a que las diferencias entre mi primera y
segunda función eran mínimas y con ello no lograría obtener un cambio notorio
en el momento que grafique estas; sin embargo, después logre entender que
muchas veces una pequeña diferencia puede cambiar muchos aspectos.
Finalmente, el haber trabajado este tema en clase me permitió tener mucha
habilidad para determinar cada uno de los valores y al momento de ubicar los
distintos puntos de referencia.
REFERENCIAS
 Hernández, S. (2013). Temperatura de Finlandia - Big In Finland. Big In
Finland. Recuperado el 9 de Agosto 2016, de
http://www.biginfinland.com/temperatura-de-finlandia/
 El tiempo del mes para Helsinki - Pronóstico de AccuWeather para
Uusimaa Finlandia (ES). (2015). AccuWeather. Recuperado el 4 de
 Agosto 2016, de
http://www.accuweather.com/es/fi/helsinki/133328/month/133328?monyr 
=1/01/2015
 Foundation, C. (2016). Traslación de Funciones Seno y Coseno | CK-12
Foundation. CK-12 Foundation. Recuperado el 11 de Setiembre 2016,
de http://www.ck12.org/book/CK-12-Conceptos-de-%25C3%2581lgebra-
II-con-Trigonometr%25C3%25ADa-en-
Espa%25C3%25B1ol/section/14.2/