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UNIVERSIDAD PRIVADA UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO ANTONIO GUILLERMO GUILLERMO URRELOURRELO
PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERALPROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL
FORMACIÓN GENERALFORMACIÓN GENERAL
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MÓDULOMÓDULO
MATEMÁTICA BÁSICAMATEMÁTICA BÁSICA
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO
PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL
 Somos una comunidad universitaria auténticamente
cajamarquina, integrada por personas que cultivan valores
éticos, que formamos profesionales innovadores, con compromiso
 social, garantizando servicios educativos superiores de alta
calidad, que responden a los retos de una sociedad globalizada y
contribuyen al desarrollo local, regional y nacional.
Comunidad universitaria integrada, acreditada, crítica e
independiente, con una gestión efectiva que genera valor, que
forma profesionales y posgraduados competitivos, que investiga
para el desarrollo e innova con liderazgo regional y nacional.
CONTENIDO
I UNIDAD: LÓGICA PROPOSICIONAL
1. Concepto de lógica  – Proposiciones - Clasificación de las proposiciones.
2. Formalización - Conectores Lógicos
3.  Verdad formal  – Tablas de verdad  – Método Abreviado
4. Ejercicios y problemas
II UNIDAD: ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
1. Ecuaciones de primer grado con una variable.
2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
3. Ecuaciones de segundo grado con una variable
4. Ejercicios y problemas
III UNIDAD: REGLA DE TRES Y PORCENTAJE
1. Razones y Proporción Numérica
2. Regla de tres Simple y Compuesta
3. Porcentaje  – Tanto por ciento
4. Ejercicios y problemas
IV UNIDAD: INECUACIONES LINEALES
1. Inecuaciones de primer grado con una variable
2. Sistemas de inecuaciones lineales con una variable.
3. Inecuaciones de primer grado con dos variables.
4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables.
5. Ejercicios y problemas
LOGICA PROPOSICIONAL
1. CONCEPTO DE LOGICA: La lógica estudia nuestros pensamientos de tal manera
que se puedan producir razonamientos correctos, tomando como base para ello la
estructura de nuestros pensamientos.
La lógica se clasifica en:
 Lógica Formal, matemática o simbólica
 Lógica Objetiva o dialéctica
 Ambas estudian el pensamiento humano, pero desde perspectivas diferentes, la
lógica matemática lo hace desde el punto de vista estructural y la lógica dialéctica
desde el punto de vista del contenido de nuestros pensamientos que tengan
correspondencia con la realidad.
Existen varias áreas de la lógica, dentro de todas ellas la lógica proposicional será
objeto del estudio de este capítulo.
La lógica proposicional abarca las proposiciones lógicas.
Las proposiciones lógicas son oraciones del lenguaje que pueden ser
verdaderas o falsas, pero no ambas a la vez, generalmente se expresan como
oraciones declarativas.
No son proposiciones oraciones donde no se puede determinar con certeza si son
verdaderas (V) o falsas (F).
Ejemplos:
Oraciones Interrogativas: ¿Qué hora es?
Creencias populares o personales ficticios:
“Batman vive en la ciudad Gótica”
“El hombre lobo se transforma con la luna llena”
Refranes o proverbios: “Al pan pan y al vino vino”
Oraciones exclamativas: ¡Gol de Universitario!
Oraciones sin sentidos: Los cerros son raíces cuadradas de las montañas
Fierro más madera da carpetas de la Upagu
Verbos en infinitivo: Correr, Saltar, Sonreír
Juicios valorativos: Para mi Toledo fue el mejor presidente del Perú
Oraciones mal escritas: La nieve es blanca y consta de cuatro letras
Oraciones que encierran ambigüedades:
Miguel perdió los papeles y agredió a la multitud.
 Andrea lleva los pantalones en su hogar.
2. CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES:
A. Según su cantidad:
a. Universales o generales: “Todos los nazis son alemanes”
b. Existenciales o particulares: “Algunos estudiantes son responsables”
c. Singulares o Individuales: “José es estudiante de la Upagu”
B. Según su cualidad:
a. Afirmativas: “Nigeria esta en África”
“Pedro es capaz”
b. Negativas: “Pedro no es capaz”
“Perú no tiene recursos financieros”
C. Según su Modalidad:
a. Asertorias o Reales: “Las células poseen mitocondrias”
“Cristóbal Colon descubrió América”
b. Apodícticas o formales:
“La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o”
“(a + b)2 = a2+2ab+b2”
c. Hipotéticas: “Keiko no ganará las elecciones del 2016 ”
D. Según lleven conector lógico o no:
a) Proposiciones Simples: No llevan conector lógico y se denominan
atómicas. Ejemplo:
“María estudia derecho”
“Cajamarca es capital del carnaval”
“Chimbote está entre Trujillo y Lima”
“Ernesto y Carmen son hermanos”
b) Proposiciones compuestas: Llevan conector lógico y se le llaman
moleculares o complejas. Ejemplo:
“Juana estudia derecho y es natural de Chota”
“Luis estudia Medicina o Veterinaria”
“Si Trujillo es la capital de la primavera entonces el clima es
cálido”.
Las palabras resaltadas se les denominan conectores lógicos.
4. Clasificación de la Proposiciones Compuestas
Las proposiciones compuestas según el conector que presenten pueden ser:
1- NEGATIVAS: Cuando presentan el conector de la negación “no” o sus
sinónimos.
Ejemplo: Este año no postularé a la UPAGU
2- CONJUNTIVAS: Cuando presentan el conector de la conjunción “y” o sus
sinónimos.
Ejemplo: Los abogados y los médicos son profesionales
3- DISYUNTIVAS INCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la
disyunción “o” débil.
Ejemplo: En el verano postúlate a la UNC o a la UPAGU
4- DISYUNTIVAS EXCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la
disyunción “O” fuerte.
Ejemplo: O estudio inglés o francés
5- CONDICIONALES: Normalmente son las Implicativas.
a. Implicativas o Condicionales directas: Cuando presentan el conector de
la implicación: Si………………entonces……………..
Ejemplo: Si hoy es el cumpleaños de Luisa entonces iré a su fiesta.
b. Replicativas o condicionales indirectas: Cuando presentan el conector
de la replicación o contra implicación:
.................porqué………………….
Ejemplo: Iván conseguirá un buen trabajo porque es un buen
profesional.
6- BICONDICIONALES: Cuando presentan el conector de la biimplicación:
.…….. si y solo si………….
Ejemplo: Los animales comen carne si y solo si son carnívoros.
Clasifique e identifique en los siguientes ejemplos:
1) Carlos Fuentes es un escritor.
2) Sen(x) no es un número mayor que 1.
3) Trujillo es la capital de la primavera.
4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.
5) El 2 es divisor de 48.
6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.
7) Si x es número primo, entonces x es impar.
8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.
9) No todos los números primos son impares.
10) Cajamarca es patrimonio histórico y cultural de las américas, y capital del
carnaval peruano.
FORMALIZACIÓN
Proceso por el cual se representa una proposición verbal como proposición formal
utilizando un lenguaje simbólico.
Para esta operación se asignan variables y conectores a la proposición a formalizar 
Ejemplo:
 Si José es estudioso entonces será un hombre de éxito: (p → q)
1) VARIABLES PROPOSICIONALES:
Son letras minúsculas tomadas de la mitad del alfabeto, es decir desde la p hasta la
z, que sirven para representar a las proposiciones atómicas: p, q, r, s, t, etc.
Se asigna en forma alfabética:
Ejemplo: Formalizar: José es comerciante, trabajador o mayorista
p v q v r ……………….correcto
r v p v q……………….incorrecto
2. CONECTORES LOGICOS:
Son signos que representan a los conectores que enlazan a las proposiciones
simples.
Símbolos Nombre Lenguaje común
~ ¬ - Negador  No
^ & . Conjuntor   Y
v Disyuntor incluyente o débil o
v ∆ Disyuntor excluyente o fuerte
O………..o
→ Implicador  Si………  entonces
← Replicador  ……. porque………
↔ Biimplicador o bicondicionador 
……si y solo si……
↓ Inalternador  ni…. y ni………..
 / Incompatibilizador  no…….o no………….
Los conectores se clasifican en dos grupos:
 Conectores Monódicos: Aquellos que enlazan a una sola proposición
simple:
Ejemplo: “¬”
 Conectores Binarios: Aquellos que enlazan dos proposiciones simples:
“^”, “v”, “v”, “→”, “←”,
“↔”, “↓”, ”/”
En general los conectores tienen sinónimos en el lenguaje común:
Ejemplo para el conjuntor “y”:
 Iván estudia Medicina y  José Luis estudia Farmacia
 Iván estudia medicina, pero José Luis estudia Farmacia
 Iván estudia Medicina s in embargo José Luis estudia Farmacia
 Iván estudia Medicina no obs tante José Luis estudia Farmacia.
Ejemplo:
Sea la proposición verbal:
 Manuel es un ingeniero mecánico o ingeniero industrial, sin embargo, Martín
es abogado.
La Formalización es: (p v q) ^ r 
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Son: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.
¿CUÁNDO USAR SIGNOS DE AGRUPACIÓN?
Para evitar ambigüedades; es decir, enunciados que nos pueden dar varios
significados.
Por ejemplo:
En la siguiente expresión: p v q ˄ r , no se sabe si es una conjunción o una
disyunción,
sería una conjunción si estaría así: (p v q) ˄ r 
o una disyunción si estaría escrito así: p v (q ˄ r);
de allí la importancia de usar signos de agrupación para determinar la jerarquía de
conectores.
La combinación de variables proposicionales y los conectivos lógicos por medio de
signos de agrupación se denomina esquema molecular. En cada esquema
molecular sólo un conectivo es el de mayor jerarquía.
DESCRIPCIÓN DE LOS CONECTORES LOGICOS
A. NEGADOR
 SIMPLE: Comúnmente se ligan al verbo
 Los tribunales no deben actualizarse: ~ p
 Javier nunca ingresará a la UPAGU: ~ p
Los prefijos también funcionan como negadores simples:
 Manuel es indisciplinado: ~ p
 Pedro es anti demócrata: ~ p
 COMPUESTO: Tienen la terminación “que”
 Es falso que los tribunales deben actualizarse: ~p
 No s e cumple que Javier ingresará a la UPAGU: ~p
CASOS ESPECIALES:
 No, no terminé el trabajo de Matemática: ~p
 Es falso y mentira que el cobre es un gas: ~p
 Es falso, incierto y mentira que España se encuentra en América: ~p
 Es falsamente mentira que sea incierto que Víctor tendrá libertad bajo
palabra: ~ [~p]
 Es inobjetablemente no correcto que la corriente del niño no caliente las
aguas del Pacifico: ~ ~ ~p
B- CONJUNTOR
 Tal como Manuel, Andrea terminó su carrera técnica: p ^ q
 Invertí en la bolsa , as imismo en terrenos: p ^ q
 Pinky, Fido, Boby y Ficher son los nombres de mis perros: p ^ q ^ r ^ s
 No solo terminé la secundaria a tiempo , además  ingresé a la UPAGU:
p ^ q
 La historia y  la geografía no son Ciencias Formales: ~p ^ ~q
  Andrés es trabajador. Es un hombre desinteresado: p ^ q
CASOS ESPECIALES:
 Martín al igual que Carlos son ingenieros, sin embargo no tienen título
universitario: (p ^ q) ^ (~r ^ ~s)
Donde:
p = Martín es ingeniero
q = Carlos es ingeniero
s = Martín tiene título universitario
r = Carlos tiene Título universitario
  Alejandra, José y Carlos son hermanos, no obstante, ellos aún
no trabajan: p ^ (~q ^ ~r ^ ~s)
Donde:
p = Alejandra, José y Carlos son hermanos
q = Alejandra trabaja
r = José trabaja
s = Carlos trabaja.
C- DISYUNTOR INCLUYENTE O DÉBIL
 Manuel saca la basura o de lo contrario tiende su cama: p v q
 No hay crisis salvo que no haya inflación: ~p v ~q
  A menos que llueva habrá calor: p v q
 Rob es guitarrista salvo que además baterista: p v q
 La crisis económica no aumenta excepto que exista desocupación: ~p v q
 El reloj es un instrumento de tiempo excepto que inclusive de lujo: p v q
D- DISYUNTOR EXCLUYENTE O FUERTE
Por la estructura:
Cuando su estructura es excluyente:
O………………o…………………………….
……………..a menos que solo……….
 O comemos pizza o comemos pollo: p v q
 O duermo o necesariamente estudio matemáticas: p v q
Por el contenido:
Los eventos que se generan no se pueden cumplir ambos a la vez:
 Martín nació en Cajamarca o en Tacna: p v q
 Los virus son microscópicos salvo que visibles a simple vista: p v q
 El perro de la esquina es macho excepto que sea hembra: p v q
E- CONDICIONADOR:
1) IMPLICADOR (→)
Simbología: A → B
Si………………… entonces…………………………
 Antecedente →  Consecuente
Causa →  Efecto
Suficiente →  Necesaria
2) REPLICADOR (←)
Simbología: A ← B
…………………..si……………………………………..
Consecuente ←  Antecedente
Efecto ← Causa
Necesaria ← Suficiente
Cuando el condicionador va al inicio es IMPLICATIVA
 Si los cocodrilos son reptiles, tienen sangre fría: p → q
 Suponiendo que haga sol, iremos a la playa: p → q
 Cuando el interés bancario baje, obtendré ese premio: p → q
 Porque no llueve, obviamente mi ropa se secará: ~p → q
Cuando el condicionador va al centro es REPLICATIVA
 Ingresaré a la UPAGU suponiendo que estudie conscientemente: p ← q
 El alcohol no es dañino ya que se vende en cualquier farmacia: p ← q
 Los delfines son mamíferos debido a que no se reproducen por huevos:
p ← ~q
 Los cocodrilos tienen sangre fría si son reptiles: p ← q.
ESTRUCTURAS ESPECIALES:
 Solo si A, B: p ← q
 Solo si A, entonces B: p ← q
  A solo si B: p → q
 Únicamente cuando A, B: p ← q
  A solamente porque B: p → q
  A implica a B: p → q
  A está implicado por B: p ← q
  A es la causa de B: p → q
  A es la consecuencia de B: p ← q
 La causa de A es B: p ← q
 La consecuencia de A es B: p → q
 Es suficiente A para B: p → q
  A es necesario para B: p ← q
 Es necesario para A, B: p → q
 Para A es suficiente B: p ← q
 Suficiente para A es B: p ← q
 Es necesario para A, B: p ← q
Para estas estructuras debemos tener en cuenta que la flecha del Implicador o
replicador siempre parte del antecedente o condición suficiente y llega hasta el
consecuente o condición necesaria, de esta manera podremos saber siempre si son
Implicativas o replicativas.
F- BIIMPLICADOR O BICONDICIONAL
 Habrá prórroga para pagar los impuestos siempre y cuando el banco lo
autorice: p ↔ q
 Las rayas tienen su cuerpo aplanado porque y solamente porque pertenecen a
la familia de los escualos: p ↔ q
 El cuarto no está oscuro si y solamente si prendes el foco: ~p ↔ q
 Que vaya a la playa implica y está implicado que salga el sol: p ↔ q
 Para que los metales sean dúctiles es necesario y suficiente que sean
maleables: p ↔ q
G- INALTERNADOR O NEGADOR CONJUNTIVO
 Ni las ballenas son peces ni tienen branquias: p ↓ q
 Ni los delfines son reptiles ni son ovíparos: p ↓ q
H- INCOMPATIBILIZADOR O NEGADOR DISYUNTIVO
 Los leopardos no son v
 eloces o no son felinos: p / q
 No consigo comprar el terreno en Surco a menos que no viaje a Lima: p/q
Matemática Básica Página 14
SINONIMOS DE LOS CONECTORES LOGICOS
NEGACION
~
CONJUNCION
DISYUNCION
CONDICIONAL BICONDICIONAL INALTERNA
DOR
↓
INCOMPATIBI
LIZADOR
 ⁄ 
INCLUYENTE EXCLUYENTE IMPLICADOR
→
REPICLADOR
←
No es cierto que
Es falso que
No es el caso
que
Es imposible que
ni
Es absurdo que
Es inconcebible
que
No ocurre que
Pero
 Aunque
 A la vez
Mas/Más
 A pesar de
 Además
No obstante
Sino
 Aun cuando
Igualmente
 A menos que
Sin embargo
E
Empero
También
Tanto como
 Al igual que
No sólo ..sino
también..
… o también…
….a no ser que
B
…y/o…
…o bien …
…ya bien…
….o solo …
…o
solamente….
…o
únicamente…
Por lo tanto
De modo que
Por consiguiente
 Así pues
Luego
En conclusión
Se concluye
Es una condición
suficiente de
En consecuencia
De ahí que
Se deduce
Puesto que
Cada vez que
Siempre que
Supone que
Ya que
…..Si….
Pues es una condición
necesaria de
Porque
Dado que
En vista de que
Cuando y solo cuando
Si solamente si
Entonces y solo entonces
ES una condición necesaria
y suficiente, etc.
No….y no…
Ni…, ni…..
No…. Excepto
que no…..
…..es
incompatible
con….
;
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FORMACION GENERAL
Matemática Básica Página 15
PRÁCTICA DOMICILIARIA Nº 1
FORMALICE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
1. Que no haya ingresado a la Upagu es consecuencia de que me haya
enamorado:
2. Suponiendo que mecánica, metalúrgica, industrial inclusive también química son
carreras de ingeniería, seguramente no tienen el mismo director de escuela:
3. Diana la muchacha de mi barrio, estudia en el colegio San Ramón ya que vive
en Fonavi I:
4. Es insostenible que no sea mentira que los estudios de aptitud académica
no
incrementan la capacidad de los estudiantes:
5. Cajamarca, la capital del carnaval con Arequipa la ciudad blanca son ciudades
con bastante turismo:
6. Considerando que la aritmética es una ciencia formal, su objeto de estudio es
concreto. Sin embargo, la anatomía es una ciencia fáctica ya que su objeto de
estudio es concreto:
7. Que los partidos políticos sean democráticos es una condición suficiente y
necesaria para que no haya corrupción:
8. Ni Francia, ni tampoco Italia son productores de café:
9. Es objetable que, el Perú tenga crecimiento económico o en su defecto que se
termine con la recesión, A menos claro está, que no haya inflación.
10. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados, al igual que la
suma de los ángulos internos de un cuadrado es 360 grados:
11. Los números 1,2 y 3 son naturales consecutivos, sin embargo, los números 1 y 5
no son consecutivos:
12. Paco no es ni economista ni administrador:
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Matemática Básica Página 16
13. Algunas enfermedades todavía frecuentes en los países en vías de desarrollo
son el cólera, la disentería, la fiebre amarilla y la tifoidea, pero son fáciles de
tratar:
14. Porque conseguí asiento libre para Otuzco en semana santa porque el chofer es
amigo de mi padre, no garantiza que no pague mi pasaje en el ómnibus
15. Ernesto excepto que Sandra consiguieron empleo. Además, se casarán siempre
y cuando consigan empleo: