Volumen de un solido

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· Volumen de un sólido usando Integrales dobles
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera: 
A esta integral se le conoce como integral (suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva en un intervalo (a,b), pero lo que nos interesa en nuestro caso es conocer como obtener el volumen de un solido mas no su área, usando integrales dobles.
Con un significado geométrico, tenemos que:
El punto ), representa cualquier punto del ij-esimo rectángulo.
El volumen del ij-esimo paralelepípedo lo podremos denotar como y este estaría dado por:
Por lo cual, si se quiere saber el volumen bajo la superficie, se tendría que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepípedos.
	
Es decir, al 	se le denomina la integral doble de f en R y se la denota de la siguiente manera: 
· El teorema de Fubini 
Este teorema nos representa la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, también conocids como integrales iteradas.
Es decir, si una función de dos variables es definida en una región plana . Si f es continua en R, entones:
Una vez definido lo que es el volumen bajo una superficie y las integrales iteradas, podemos aplicarlas dentro de un ejercicio calculando el volumen de un sólido.
· Ejemplo:
Halle el volumen del solido limitado por el plano y el plano x, y en el primer octante.
Primero hallamos la grafica del ejercicio en cuestión:
El volumen de dicho elemento diferencial seria , por lo tanto, el volumen esta dado por 
Donde la región R seria 
Entonces, evaluando la integral iterada nos quedaría así:
Y evaluando:
Pues bien, se podría de igual forma considerar un sólido limitado por superficies de la siguiente manera:
Donde, guiándonos del gráfico, el volumen del solido limitado por las superficies esta dado por: 
Donde R, es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy.