CLASE 3-ABEL Y HOMOGENEAS COEF CONSTANTES

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ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DEORDEN SUPERIOR
FORMULA DE ABEL. ECUACIONES
DIFERENCIALES HOMOGENEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
JOE GARCÍA ARCOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
CLASE 3
CONTENIDO
Título : Fórmula de Abel. Ecuaciones diferenciales homogéneas con
coeficientes constantes
Duración : 120 minutos
Información general : Métodos para resolver ecuaciones diferenciales utilizando la
fórmula de Abel y ecuaciones diferenciales homogéneas con
coeficientes constantes
Objetivo : Conocer los métodos para resolver ecuaciones diferenciales
utilizando la fórmula de Abel y ecuaciones diferenciales
homogéneas con coeficientes constantes
1
Ecuaciones diferenciales de orden superior
De la discusión anterior, vemos que todo el problema de encontrar una solución a una
ecuación lineal no homogénea ! (G) = 1(C) consiste en encontrar una solución particular G? de
la ecuación dada y una solución Gℎ correspondiente a la parte homogénea para que la solución
general de la ecuación no homogénea dada sea la suma de estos dos, es decir G = Gℎ + G?. Entre
los diversos métodos para encontrar una solución de una ecuación homogénea, el método de
reducción del orden de la ecuación homogénea es a menudo útil y está contenido en el siguiente
teorema.
0.1 Fórmula de Abel
Teorema 0.1
Sea q1 una solución no trivial de
! (G) = 00(C)G=) (C) + 01(C)G=−1) (C) + · · · + 0=−1(C)G ′(C) + 0= (C)G(C) = 0, C ∈ � (1)
donde 00(C) ≠ 0 para cualquier C ∈ � y 00, 01, · · · , 0= funciones continuas en � y q1(C) ≠ 0
para cualquier C ∈ �.
Entonces, la transformación q = Dq1 reduce la ecuación (1) a una ecuación de (= − 1)
orden
00q1+
=−1) + (=00q′1 + 01q1)+
=−2) + · · · + (=00q=−1)1 + · · · + 0=−1q1)+ = 0 (2)
donde + = D′.
Si +2, +3, · · · , += son (= − 1) soluciones linealmente independientes de (2) y si +: = D′:
para : = 2, 3, · · · , =, entonces q1, D2q1, · · · , D=q1 es la base de la solución para (1)
donde
D: =
∫ C
C0
+: (B) 3B
Demostración Tomemos q = q1D donde D es alguna función. Entonces
q′ = q1D
′ + q′1D,
q′′ = q1D
′′ + 2q′1D
′ + q′′1 D
Al usar el teorema de Leibnitz en la diferenciación sucesiva,
q=) = q1D
=) + =q′1D
=−1) + =(= − 1)
2!
q′′1 D
=−2) + · · · + q=)1 D (3)
De manera similar, podemos encontrar q=−2) , q=−1) , etc. Si q = Dq1 es una solución de (1), tenemos al
CLASE 3
usar (3)
00
(
q1D
=) + =q′1D
=−1) + =(= − 1)
2!
q′′1 D
=−2) + · · · + q=)1 D
)
+
+ 01
(
q1D
=−1) + (= − 1)q′1D
=−2) + · · · + q=−1)1 D
)
+ · · · + 0=−1 (q1D′ + q′1D) + 0=q1D = 0
lo que da
00q1D
=) + (=00q ′1 + 01q1)D
=−1) + · · · + (=00q =−1)1 + · · · + 0=−1q1)D
′+
+ (00q =)1 + 01q
=−1)
1 + · · · + 0=q1)D = 0 (4)
Como el coeficiente de D es ! (q1), es igual a cero por hipótesis. Ahora hagamos la sustitución + = D′ en
(4). Entonces (4) se convierte en la ecuación de orden (= − 1) requerida
00q1+
=−1) + (=00q′1 + 01q1)+
=−2) + · · · + (=00q=−1)1 + · · · + 0=−1q1)+ = 0 (5)
Como q1 (C) ≠ 0 para cualquier C ∈ �, la ecuación (4) tiene (= − 1) soluciones linealmente independientes
+2, +3, · · · , += en �. Sea C0 ∈ � y como +: = D′: para : = 2, 3, · · · , =, tenemos en integración
D: =
∫ C
C0
+: (B) 3B, : = 2, 3, · · · , =. Las funciones q1, D2q1, · · · , D=q1 son las soluciones de ! (G) = 0.
Para completar la demostración, mostraremos que las funciones anteriores q1, D2q1, · · · , D=q1 forman
una base de soluciones de ! (G) = 0.
Supongamos que 21, 22, · · · , 2= son constantes tales que
21q1 + 22D2q1 + · · · + 2=D=q1 = 0 (6)
Ya que
q1 (C) ≠ 0 para algún C ∈ �, 21 + 22D2 + · · · + 2=D= = 0 (7)
Diferenciando (7), obtenemos 22D′2 + 23D
′
3 + · · · + 2=D
′
= = 0, que da
22+2 + 23+3 + · · · + 2=+= = 0 (8)
Como +2, +3, · · · , += son linealmente independientes en �, (8) implica 22 = 23 = · · · = 2= = 0. Usando
estos en (6) encontramos 21 = 0. Por lo tanto, las funciones q1, D2q1, · · · , D=q1 forman una base para la
solución ! (G) = 0 en �. Entonces el teorema esta probado. �
Este teorema afirma que si se conoce una solución diferente de cero de la ecuación diferencial
lineal homogénea (1) de orden =, entonces, al hacer la transformación apropiada, podemos reducir
la ecuación dada a otra ecuación lineal homogénea que sea un orden inferior al original. Dado
que este teorema será más útil para nosotros en relación con las ecuaciones lineales homogéneas
de segundo orden (el caso donde = = 2), ahora investigaremos el caso de segundo orden en
detalle. Supongamos que D es una solución no trivial conocida de la ecuación lineal homogénea
de segundo orden (9).
Cuando consideramos una ecuación de segundo orden y usamos el método de reducción de orden,
obtenemos una ecuación de primer orden cuya solución se puede encontrar explícitamente como
3
CLASE 3
en el siguiente teorema.
Teorema 0.2
Si q1 es una solución de
! (G) = 00(C)G ′′(C) + 01(C)G ′(C) + 02(C)G(C) = 0, C ∈ � (9)
donde 00(C) ≠ 0 para cualquier C ∈ � y q1(C) ≠ 0 para cualquier C ∈ �, entonces la
transformación q = q1D reduce la ecuación (9) a la ecuación de primer orden
00(C)
3+
3C
+ [200(C)q′1 + 01q1]+ = 0
donde + = D′ y la segunda solución q2 de (9) en � está dada por
q2(C) = q1(C)
∫ C
C0
1
q21(B)
4
−
∫ C
C0
01 (D)
00 (D)
3D
3B
Demostración Sea q = q1D. Entonces tenemos
q′ = q1D
′ + q′1D,
q′′ = q1D
′′ + 2q′1D
′ + q′′1 D (10)
Sustituyendo (10) en (9), obtenemos
00 (q1D′′ + 2q′1D
′ + q′′1 D) + 01 (q1D
′ + q′1D) + 02q1D = 0
lo que da
00 (q1D′′) + 2(00q′1 + 01q1)D
′ + (00q′′1 + 01q
′
1 + 02q1)D = 0
Como q1 es una solución de (9), el coeficiente de D = 0. Por lo tanto obtenemos
00q1D
′′ + (200q′1 + 01q1)D
′ = 0
Si + = D′, entonces reescribimos la ecuación anterior como
00q1+
′ + (200q′1 + 01q1)+ = 0
que puede ser reescrito como
+ ′ +
(
2
q′1
q
+ 01 (C)
00 (C)
)
+ = 0 (11)
(11) es una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden que se puede resolver encontrando el
factor de integración de la siguiente manera
4
∫ (
2
q′1
q1
+ 01 (C )
00 (C )
)
3C
= 4
ln q21+
∫ 01 (C )
00 (C )
3C
Por lo tanto, la solución es
+4
ln q21+
∫ 01 (C )
00 (C )
3C
= 2 =⇒ +q21 = 24
−
∫ 01 (C )
00 (C )
3C
4
CLASE 3
Dado que un múltiplo constante de una solución también es una solución, tenemos la solución
+ =
1
q21 (C)
4
−
∫ C
C0
01 (B)
00 (B)
3B (12)
Como D′ = + , desde (12) obtenemos
D =
∫ C
C0
1
q21 (B)
4
−
∫ C
C0
01 (D)
00 (D)
3D
3B
De ahí que la fórmula explícita para la solución q2 esté dada por
q2 (C) = q1 (C)
∫ C
C0
1
q21 (B)
4
−
∫ C
C0
01 (D)
00 (D)
3D
3B
Ahora, para mostrar que q1 y q2 son linealmente independientes, considere el wronskiano
, (q1, q2) (C) =
�����q1 q2q′1 q′2
����� =
�����q1 q1Dq′1 q1D′ + q′1D
����� = q21 (C)D′
Sustituyendo D′ de (12), obtenemos
, (q1, q2) (C) = 4
−
∫ C
C0
01 (B)
00 (B)
3B
≠ 0
Por lo tanto, las funciones q1 y q2 forman una base de soluciones para ! (G) = 0 en �. �
Enfatizamos la utilidad de este teorema y al mismo tiempo reconocemos claramente sus
limitaciones. Ciertamente su utilidad ya es obvia. Nos dice que si se conoce una solución de
la ecuación de segundo orden (9), entonces podemos reducir el orden para obtener una solución
linealmente independiente y así obtener la solución general de (9). Pero las limitaciones del
teorema son igualmente obvias. Una solución de la ecuación (9) debe ser ya conocida para
aplicar el teorema. ¿Cómo se sabe una solución? En general uno no. En algunos casos, la forma
misma de la ecuación o las consideraciones físicas relacionadas sugieren que puede haber una
solución de cierta forma especial: por ejemplo, una solución exponencial o una solución lineal.
Sin embargo, estos casos no son demasiado comunes y si no se puede establecer una solución en
absoluto, entonces el teorema no nos ayudará.
Ejemplo 0.1
Resuelva la ecuación diferencial:
G ′′ − C + 2
C
G ′ +
(
1
C
+ 2
C2
)
G = 0, C > 0.
Solución Puesto que, por simple inspección q1(C) = C, entonces
q2(C) = C
∫
1
C2
4
∫
C+2
C
3C 3C = C4C
La solución general es
G(C) = 21q1(C) + 22q2(C) =⇒ G(C)= 21C + 22C4C
5
CLASE 3
esta solución también se puede expresar como
G(C) = (21 + 224C )C. �
Ejemplo 0.2
Resuelva la ecuación diferencial:
G ′′ + 2C
2C2 + 3C + 1
G ′ − 2
2C2 + 3C + 1
G = 0, C ≠ −1, C ≠ −1
2
.
Solución Por simple inspección sabemos que q1(C) = C, entonces
q2(C) = C
∫
1
C2
4
−
∫ 2C
2C2+3C+1
3C
3C = − 1
C + 1
La solución general es
G(C) = 21C −
22
C + 1 . �
0.2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes
Primero desarrollaremos la teoría para las ecuaciones lineales homogéneas de segundo
orden con los coeficientes constantes y posteriormente ampliaremos la teoría a las ecuaciones de
orden superior. Tal ecuación de segundo orden puede tomarse como
! (G) = 00G ′′ + 01G ′ + 02G = 0 (13)
Antes de encontrar la solución de (13), motivaremos elmétodo de prueba para obtener la solución.
Sabemos que para la ecuación G ′−0G = 0 la solución de la ecuación es G = 40C , donde 0 se puede
tomar como la raíz de la ecuación A − 0 = 0. Llegamos a esto mediante un proceso elemental de
integración. Entonces tratamos de ver si 4AC puede ser una solución de (13).
! (4AC ) = 00(4AC ) ′′ + 01(4AC ) ′ + 024AC = (00A2 + 01A + 02)4AC
Si 4AC es una solución de (13), entonces A debería satisfacer la ecuación
00A
2 + 01A + 02 = 0 (14)
donde 4AC ≠ 0 para cualquier C ∈ [0, 1]. Por lo tanto, si _ es una raíz de la ecuación (14),
entonces 4_C satisface ! (G) = 0.
Definición 0.1
La ecuación 00A2+01A+02 = 0 se denomina ecuación característica de (13) y el polinomio
00A
2 + 01A + 02 se denomina polinomio característico de ! (G) = 0 denotado por ?(A). Las
raíces de (14) se llaman raíces características.
Como la solución de la ecuación (13) está determinada por las raíces de (14), la naturaleza
6
CLASE 3
de las raíces determina la forma de la solución. Por lo tanto, tenemos tres tipos de soluciones
según las raíces de (14), a saber, (i) reales y diferentes, (ii) reales e iguales, y (iii) imaginarias.
Teorema 0.3
Sean 00, 01 y 02 constantes y sea
! (G) = 00G ′′ + 01G ′ + 02G = 0
con la ecuación característica
?(A) = 00A2 + 01A + 02 = 0
Entonces
1. Si _1 y _2 son dos raíces distintas de (14), entonces G1(C) = 4_1C y G2(C) = 4_2C son
dos soluciones independientes de (13).
2. Si _ es una raíz repetida de (14), entonces las funciones G1(C) = 4_C y G2(C) = C4_C
son las dos soluciones independientes de (13).
3. Si la ecuación tiene raíces complejas 0 + 81 y 0 − 81, entonces G1(C) = 40C cos 1C y
G2(C) = 40C sin 1C son dos soluciones independientes de (13).
En cada uno de los casos anteriores, la solución general está dada por G(C) = 21G1(C) +
22G2(C) donde G1(C) y G2(C) son uno de los casos en (i) a (iii) anteriores.
Demostración 1. Sean _1 y _2 dos raíces distintas de (14). Entonces G1 (C) = 4_1C y G2 (C) = 4_2C
satisfacen (13). Por lo tanto, G1 (C) y G2 (C) son las soluciones de (13). Además, ya que _1 ≠ _2,
G1 (C)
G2 (C) = 4
(_1−_2)C ≠ 0 constante. Por lo tanto G1 (C) y G2 (C) son dos soluciones linealmente independientes
de (13). En otras palabras, (G1, G2) es una base de soluciones de (13). Por lo tanto, la solución más
general de (13) es G(C) = 214_1C + 224_2C .
2. Supongamos que las raíces de la ecuación característica son reales e iguales. Cuando las raíces son
iguales, el discriminante de (14) es cero. Si _1 es una raíz igual, entonces _1 = − 01200 . Mostraremos que
4_1C y C4_1C son dos soluciones independientes de (13). Como ! (4_1C ) = 0, 4_1C es una solución de (13).
Para demostrar que C4_1C es otra solución independiente, procederemos de la siguiente manera.
El polinomio característico es
! (4_C ) = (00_2 + 01_ + 02)4_C = ?(_)4_C (15)
Como _1 es una raíz repetida de ?(_), sabemos que ?(_) y ? ′(_) desaparecen en _ = _1 de la teoría de
ecuaciones, es decir
?(_) = 0 y ? ′(_) = 0 en _ = _1 (16)
Diferenciamos ambos lados de (15) con respecto a _ por separado.
Entonces tenemos
3
3_
! (4_C ) = !
(
3
3_
4_C
)
= ! (C4_C ) (17)
3
3_
(?(_)4_C ) = 4_C ? ′(_) + C4_C ?(_) = [? ′(_) + C ?(_)]4_C (18)
7
CLASE 3
Como ! (C4_C ) = ?(_)4_C , (17) y (18) son iguales para que
! (C4_C ) = [? ′(_) + C ?(_)]4_C (19)
Usando la condición para la raíz repetida dada en (16), obtenemos ! (C4_C ) = 0 en _ = _1, probando que
C4_C es una solución de (13). Sean 4_1C y C4_1C . Como G1 (C)
G2 (C) =
4_1C
C4_1C
= 1
C
≠ 0 constante, G1 (C) y G2 (C) son dos
soluciones linealmente independientes de (13). Por lo tanto, la solución general es G(C) = 214_1C + 22C4_2C ,
donde _1 = − 01200 es la raíz repetida de (14).
3. Consideremos el caso cuando las raíces de la ecuación característica son complejas. Si _1 = 0 + 81
es una raíz, entonces su complejo conjugado _2 = 0 − 81 también es una raíz, ya que las raíces complejas
se presentan en pares.
Antes de obtener la solución general en este caso, primero notemos el siguiente hecho.
Si 2(C) es una solución de valor complejo de ! (G) = 0, entonces
! (2(C)) = ! [R4(2(C)) + 8I<(2(C))] = ! [R4(2(C))] + 8! [I<(2(C))]
De ahí ! (2(C)) = 0 si y solo si ! [R4(2(C))] = 0 y ! [I<(2(C))] = 0. Esto muestra que si ! (G) = 0 tiene
una función de valor complejo 2(C) como solución, entonces sus partes real e imaginaria también son
soluciones de ! (G) = 0. Ahora podemos escribir las dos soluciones como
4_1C = 4 (0+81)C = 40C [cos 1C + 8 sin 1C]
4_2C = 4 (0−81)C = 40C [cos 1C − 8 sin 1C]
De ahí que la parte real 40C cos 1C = G1 (C) y la parte imaginaria 40C sin 1C = G2 (C) sean las soluciones de
! (G) = 0.
Puesto que G1 (C)
G2 (C) =
40C cos 1C
40C sin 1C = cot 1C ≠ 0 constante para que las dos soluciones G1 (C) y G2 (C) sean
linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general es G(C) = 40C [21 cos 1C + 22 sin 1C]. �
Ejemplo 0.3
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ + 4G ′ − 2G = 0
Solución Construimos la ecuación característica A2 + 4A − 2 = 0, cuyas raíces son A1 = −2 −
√
6
y A2 = −2 +
√
6. Como sus raíces son reales y diferentes, tenemos como solución
G = 214
−(2+
√
6)C + 224−(2−
√
6)C
lo cuál es equivalente a
G = 4−2C
(
214
−
√
6 C + 224
√
6 C
)
. �
Ejemplo 0.4
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ + 4G ′ + 4G = 0
8
CLASE 3
Solución La ecuación característica es A2 + 4A + 4 = 0, cuyas raíces son A1 = −2 y A2 = −2.
Como sus raíces son reales y repetidas, tenemos como solución
G = 214
−2C + 22C4−2C =⇒ G = 4−2C (21 + 22C). �
Ejemplo 0.5
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial
G ′′ + 2G ′ − 3G = 0; G(0) = 1, G ′(0) = 4.
Solución La ecuación característica es A2 + 2A − 3 = 0, cuyas raíces son A1 = −3 y A2 = 1. Como
sus raíces son reales y diferentes, tenemos como solución
G = 214
−3C + 224C
Aplicando las condiciones iniciales, tenemos 21 = −34 y 22 =
7
4 . La solución tiene la forma
G =
1
4
4−2C (7C − 3). �
Ejemplo 0.6
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial
G ′′ − 8G ′ + 16G = 0; G(1) = 3, G ′(1) = −2.
Solución La ecuación característica es
A2 − 8A + 16 = 0 =⇒ (A − 4)2 = 0
cuyas raíces son A1 = 4 y A2 = 4. Como sus raíces son reales y repetidas, tenemos como solución
G = 214
4C + 22C44C =⇒ G = 4−2C (21 + 22C)
Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema de ecuaciones
4421 + 4422 = 3
44421 + 54422 = −2
obteniendo 21 = 174−4 y 22 = −144−4. Reemplazando en la solución, obtenemos
G = 44C−4(17 − 14C). �
Ejemplo 0.7
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ + 2G ′ + 6G = 0
Solución La ecuación característica es A2 + 2A + 6 = 0, cuyas raíces son A1 = −1 −
√
5 8 y
A2 = −1 +
√
5 8. Como sus raíces son complejas, tenemos como solución
G = 4−C
(
21 cos
√
5 C + 22 sin
√
5 C
)
. �
9
CLASE 3
Ejemplo 0.8
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial
G ′′ + 2G ′ + 3G = 0; G(0) = 2, G ′(0) = −3.
Solución La ecuación característica es A2 + 2A + 3 = 0, cuyas raíces son A1 = −1 −
√
2 8 y
A2 = −1 +
√
2 8. Como sus raíces son complejas, tenemos como solución
G = 4−C (21 cos
√
2 C + 22 sin
√
2 C)
Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema de ecuaciones 21 = 2,−21+
√
222 = −3,
obteniendo 21 = 2 y 22 = − 1√2 . Reemplazando en la solución,obtenemos
G = 4−C
(
2 cos
√
2 C − 1√
2
sin
√
2 C
)
. �
Ejemplo 0.9
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ + 6G ′ − 3G = 0
Solución La ecuación característica es A2 + 6A − 3 = 0, cuyas raíces son A1 = −3 − 2
√
3 y
A2 = −3 + 2
√
3. Como sus raíces son reales y diferentes, tenemos como solución
G = 214
−(3+2
√
3)C + 224−(3−2
√
3)C . �
Ejemplo 0.10
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ − 3G ′ + 8G = 0
Solución La ecuación característica es A2 − 3A + 8 = 0, cuyas raíces son A1 = 32 −
√
23
2 8 y
A2 =
3
2 +
√
23
2 8. Como sus raíces son complejas, tenemos como solución
G = 4
3
2 C
(
21 cos
√
23
2
C + 22 sin
√
23
2
C
)
. �
Ejemplo 0.11
Resolver la ecuación diferencial
G ′′ − 12G ′ + 36G = 0
Solución La ecuación característica es A2 − 12A + 36 = 0, cuyas raíces son A1 = 6 y A2 = 6.
Como sus raíces son reales y repetidas, tenemos como solución
G = 214
6C + 22C46C =⇒ G = 46C (21 + 22C). �
10
CLASE 3
El siguiente teorema es la extensión del teorema 0.3 a la ecuación de orden =. Para esto,
consideremos la ecuación
! (G) = 00G=) + 01G=−1) + · · · + 0=G = 0
Si 4AC es una solución de la ecuación anterior
! (4AC ) = (00A= + 01A=−1 + · · · + 0=)4AC = 0
Por lo tanto, tenga en cuenta que si _ es una raíz de la ecuación
00A
= + 01A=−1 + · · · + 0= = 0
Entonces 4_C es una solución de la ecuación diferencial lineal homogénea dada de orden = con
coeficientes constantes. Utilizando las definiciones anteriores de las ecuaciones diferenciales
lineales homogéneas de orden =, estableceremos y probaremos el análogo =-dimensional del
teorema 0.3.
Teorema 0.4
Sean A1, A2, · · · , AB las raíces distintas del polinomio característico ?. Sea A8 una raíz de
multiplicidad<8 donde tomamos lamultiplicidad de las raíces como<1+<2+· · ·+<B = =.
Entonces
4A1C , C4A1C , · · · , C<1−14A1C
4A2C , C4A2C , · · · , C<2−14A2C
. . . (20)
4ABC , C4ABC , · · · , C<B−14ABC
son soluciones linealmente independientes de ! (G) = 0.
Demostración Ahora ! (4AC ) = ?(A)4AC donde
?(A) = A= + 01A=−1 + 02A=−2 + · · · + 0= (21)
Si A1 es una raíz de multiplicidad <1, tenemos las siguientes condiciones
?(A1) = 0, ? ′(A1) = 0, ? ′′(A1) = 0, · · · , ?<1−1) (A1) = 0 (22)
Usando las condiciones anteriores, mostraremos que C:4A1C es una solución de ! (C) = 0 para : =
1, 2, · · · , <1 − 1. Para probar esto, encontraremos
m:
mA:
! (4AC ) de dos maneras diferentes.
Como ! es lineal, establecemos
m:
mA:
[! (4AC )] = !
(
m:
mA:
4AC
)
= ! (C:4AC ) (23)
Como ! (4AC ) = ?(A)4AC , obtenemos por el teorema de Leibnitz en la diferenciación sucesiva
m:
mA:
[! (4AC )] = m
:
mA:
[?(A)4AC ] = [?:) (A) + : ?:−1) (A)C + : (: − 1)
1 · 2 ?
:−2) (A)C2 + · · · + ?(A)C: ]4AC (24)
11
CLASE 3
Usando la condición (22) en A = A1 para : = 1, 2, · · · , <1 − 1, en (24), obtenemos
m:
mA:
[! (4AC )] = 0, A = A1, : = 1, 2, 3, · · · , <1 − 1 (25)
Usando (25) en (23), obtenemos
! (C:4AC ) = 0, A = A1, : = 1, 2, 3, · · · , <1 − 1
En otras palabras, C:4A1C es una solución de ! (G) = 0.
Repitiendo este método para cada raíz del polinomio característico, vemos que (20) es una solución de
! (G) = 0.
Como siguiente paso, demostraremos que estas soluciones son independientes. Para probar esto, consid-
eremos las combinaciones lineales de todas las soluciones de la siguiente manera. Tomemos = constantes
correspondientes a las =-soluciones de (20) como 28 9 donde 8 = 1, 2, · · · , B, 9 = 0, 1, 2, · · · , <1 − 1 tal
que
B∑
8=1
<8−1∑
9=0
28 9 C
94A8 C = 0 (26)
La suma doble anterior da las combinaciones lineales de todas las B raíces múltiples. Reescribiendo (26)
como
B∑
8=1
[280 + 281C + 282C2 + · · · + 28 <8−1C<8−1]4A8 C = 0 (27)
Lo que encontramos en el corchete anterior no es más que la combinación lineal de las soluciones en la
8-ésima fila. Por lo tanto, sumando con respecto a 8 = 1 a B, la suma anterior da la combinación lineal
de todas las raíces de la ecuación, dada en (20) para ! (G) = 0. El coeficiente de 4A1C es un polinomio de
grado <8 , que denotaremos por %8 . Usando esta notación, reescribimos (27) como
%1 (C)4A1 C + %2 (C)4A2 C + · · · + %B (C)4AB C = 0 (28)
Supongamos que no todas las constantes 28 9 son cero. Entonces habrá al menos uno de los polinomios
%8 que no es idénticamente cero en �. Renombrando las raíces A8 , si es necesario, supongamos que el
polinomio no desaparece en � es %B para que podamos reescribir (28) como
%1 (C) + %2 (C)4 (A2−A1) C + · · · + %B (C)4 (AB−A1) C = 0 (29)
Como el polinomio %8 es de grado <8 diferenciando (29) varias veces como máximo <8 veces, el
polinomio %8 desaparece. Como los polinomios restantes son multiplicados por 4 (A8−A1)C , los grados de
estos polinomios no se ven afectados por este proceso de diferenciación y el proceso conserva el carácter
de desaparición no idéntica de cualquiera de estos polinomios. Por lo tanto, si %1 (C) = 0, obtenemos
&2 (C)4 (A2−A1) C + · · · +&B (C)4 (AB−A1) C = 0
Como 4A1C ≠ 0, obtenemos de la ecuación anterior
&2 (C)4A2C +&3 (C)4A3C + · · · +&B (C)4AB C = 0 ∈ �
12
CLASE 3
donde el polinomio&8 es tal que el grado de&8 es igual al grado de %8 y&8 no son idénticamente cero en
�. Continuando con este proceso, finalmente llegamos a 'B (C)4AB C = 0 en �, donde 'B (C) es un polinomio
tal que
deg'B (C) = deg%B (C) (30)
que no desaparece de manera idéntica en �.
Pero (30) implica que, desde 4AB C ≠ 0, 'B (C) = %B (C) = 0 para todo C ∈ �. Esta contradicción muestra que
nuestra suposición de que al menos uno de los polinomios no es idénticamente cero en � es incorrecto. Por
lo tanto, %B (C) = 0 para todo C ∈ �, lo que implica que todas las constantes 28 9 = 0, lo que demuestra que
las = soluciones dadas en el teorema son linealmente independientes en �. Esto completa la demostración
del teorema. �
Si algunas de las múltiples raíces son complejas, obtenemos la siguiente forma del teorema,
cuyo método de prueba es exactamente el mismo que el teorema, excepto por el hecho de que
las raíces complejas de las ecuaciones características se presentan en pares y las partes reales e
imaginarias de estas raíces son también las soluciones de la ecuación.
Teorema 0.5
Consideremos las raíces del polinomio característico como A1, A2, · · · , A8 , A8+1, A8+2, · · · ,
AB donde A1, A2, · · · , A8 son raíces complejas y el resto son raíces reales. Sea que cada
raíz compleja A: de multiplicidad <: , : = 1, 2, · · · , <8 y que la raíz real AB sea de
multiplicidad <B.
Como las raíces complejas se presentan en parejas, A1, A2, · · · , A 8 también son raíces del
polinomio característico con multiplicidades <1, <2, · · · , <8 . Por lo tanto, tenemos la
siguiente relación de multiplicidad
2(<1 + <2 + · · · + <8) + <28+1 + · · · + <B = =
Correspondiendo a las raíces anteriores, las = soluciones linealmente independientes son:
1. correspondiente a las raíces complejas
4A1C , C4A1C , · · · , C<1−14A1C , 4A1C , C4A1C , · · · , C<1−14A1C
4A2C , C4A2C , · · · , C<2−14A2C , 4A2C , C4A2C , · · · , C<1−14A2C
. . .
4A8 C , C4A8 C , · · · , C<8−14A8 C , 4A 8 C , C4A 8 C , · · · , C<8−14A 8 C
2. correspondiente a las raíces reales
4A: C , C4A: C , · · · , C<:−14A: C , : = 8 + 1, · · · , B
Si tomamos A: = 0: + 81: , entonces también se dan las soluciones independientes lineales
40: C cos 1: C, C40: C cos 1: C, · · · , C<8−140: C cos 1: C
40: C sin 1: C, C40: C sin 1: C, · · · , C<8−140: C sin 1: C
13
CLASE 3
correspondiente a la raíz compleja A: de multiplicidad <: − 1. Tomando : = 1, 2, · · · , 8, las
soluciones correspondientes a las otras raíces complejas pueden darse como una combinación
lineal con coeficientes constantes funcionales de cosenos y senos.
Seguimos siendo guiados a lo largo de nuestro trabajo con ecuaciones lineales homogéneas de
segundo orden por la suposición informada de que la solución tiene forma G(C) = 4AC . Cuando
esta suposición y la correspondiente ecuación característica dan como resultado dos valores
reales distintos de A, hemos encontrado la solución general a la ecuación diferencial dada. Del
mismo modo, acabamosde mostrar que cuando la ecuación característica tiene una sola raíz
real, aún podemos encontrar la solución general para la ecuación diferencial. A continuación,
exploramos cómo, incluso en el caso complejo, podemos encontrar la solución general a través
de nuestra conjetura original, G(C) = 4AC .
Supongamos ahora que la ecuación auxiliar tiene el número complejo 0 + 18 (0, 1 real, 8 2 = −1,
1 ≠ 0) como una raíz no repetida. Entonces, dado que los coeficientes son reales, el número
complejo conjugado 0 − 18 también es una raíz no repetida. La parte correspondiente de la
solución general es
:14
(0+18)C + :24 (0−18)C ,
donde :1 y :2 son constantes arbitrarias. Las soluciones definidas por 4 (0+18)C y 4 (0−18)C son
funciones complejas de la variable real C. Es deseable reemplazar éstos por dos soluciones
verdaderamente linealmente independientes. Esto se puede lograr usando la fórmula de Euler,
48 \ = cos \ + 8 sin \,
que se mantiene para todos los \ reales. Usando esto, tenemos
:14
(0+18)C + :24 (0−18)C = :140C418C + :240C4−18C
= 40C (:1418C + :24−18C )
= 40C [:1(cos 1C + 8 sin 1C) + :2(cos 1C − 8 sin 1C)]
= 40C [(:1 + :2) cos 1C + 8(:1 − :2) sin 1C]
= 40C (21 sin 1C + 22 cos 1C),
donde 21 = 8(:1 − :2), 22 = :1 + :2 son dos nuevas constantes arbitrarias. Así, la parte de la
solución general correspondiente a las raíces complejas no repetidas 0 ± 18 es
40C (21 sin 1C + 22 cos 1C),
Tenga en cuenta que es precisamente la presencia de raíces complejas en la ecuación característica
que produce las funciones periódicas cos 1C y sin 1C en la solución.
Ejemplo 0.12
Resuelva la ecuación diferencial con coeficientes constantes:
G8E − G ′′′ − 4G ′′ + 4G ′ = 0.
14
CLASE 3
Solución Construimos la ecuación polinomial
<4 − <3 − 4<2 + 4< = 0,
cuyas raíces son <1 = −2, <2 = 0, <3 = 1, <4 = 2. La solución general tiene la forma
G(C) = 214−2C + 22 + 234C + 2442C . �
Ejemplo 0.13
Resuelva la ecuación diferencial con coeficientes constantes:
36G8E − 37G ′′ + 4G ′ + 5G = 0.
Solución Construimos la ecuación polinomial
36<4 − 37<2 + 4< + 5 = 0,
cuyas raíces son <1 = −1, <2 = −13 , <3 =
1
2 , <4 =
5
6 . La solución general tiene la forma
G(C) = 214−C + 224−
1
3 C + 234
1
2 C + 244
5
6 C . �
Ejemplo 0.14
Resuelva la ecuación diferencial con coeficientes constantes:
3G ′′′ + 5G ′′ + G ′ − G = 0; G(0) = 0, G ′(0) = 1, G ′′(0) = −1.
Solución Construimos la ecuación polinomial
3<3 + 5<2 + < − 1 = 0,
cuyas raíces son <1 = <2 = −1, <3 = 13 . La solución general tiene la forma
G(C) = 214−C + 22C4−C + 234
1
3 C .
Reemplazando las condiciones iniciales, generamos el sistema de ecuaciones
21 + 22 = 0
−21 + 22 +
1
3
23 = 1
21 − 222 +
1
9
23 = −1
siendo las raíces 21 = − 916 , 22 =
1
4 , 23 =
9
16 . La solución particular es
G(C) = − 9
16
4−C + 1
4
C4−C + 9
16
4
1
3 C =⇒ G(C) = − 1
16
(9 − 4C)4−C + 9
16
4
1
3 C . �
15
CLASE 3
BIBLIOGRAFÍA
J. García A., Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones, 1ra
edición/Editorial López 2020.
16
	0.1 Fórmula de Abel
	0.2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes