S07 s1 Ecuaciones lineales de orden superior no homogeneas con coeficinetes constantes (1)

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ECUACIONES DIFERENCIALES 
LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 
NO HOMOGÉNEAS CON 
COEFICIENTES CONSTANTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones diferenciales 
lineales no homogéneas de orden superior.”
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
DEFINICIÓN
MÉTODO DE 
VARIACIÓN DE 
PARÁMETROS
¿Qué es una ecuación diferencial 
lineal de orden superior?
En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es
aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden
obtenerse mediante combinaciones lineales de otras
soluciones.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan en:
✓ Mecánica y Electricidad.
✓ A problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
Entre otros.
1DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial lineal de orden superior no homogénea con 
coeficientes constantes puede escribirse de la forma
𝑎𝑛𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥)
Donde 𝑔(𝑥) es una función real.
Si 𝑔(𝑥) = 0 se dice que la ecuación lineal es homogénea.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
2 SOLUCIÓN
1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada 
𝑎𝑛𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1𝑦
′ + 𝑎0𝑦 = 0
y hallamos la solución complementaria
𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑦𝑛
2. Suponemos que la solución particular es de la forma 
𝑦𝑝 = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + 𝑢2(𝑥)𝑦2 +⋯+ 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛
2 SOLUCIÓN
Donde 𝑢1 𝑥 , 𝑢2 𝑥 ,… , 𝑢𝑛 𝑥 son funciones que cumplen con las
condiciones:
𝑢1′𝑦1 + 𝑢2′𝑦2 +⋯+ 𝑢𝑛′𝑦𝑛 = 0
𝑢1′𝑦1′ + 𝑢2′𝑦2′ + ⋯+ 𝑢𝑛′𝑦𝑛′ = 0
…
𝑢1′𝑦1
(𝑛−2) + 𝑢2′𝑦2
(𝑛−2) +⋯+ 𝑢𝑛′𝑦𝑛
(𝑛−2) = 0
𝑢1′𝑦1
𝑛−1 + 𝑢2′𝑦2
𝑛−1 +⋯+ 𝑢𝑛′𝑦𝑛
𝑛−1 = 𝑔(𝑥)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
2 SOLUCIÓN
3. Si resolvemos el sistema de ecuaciones, para encontrar las
funciones 𝑢𝑖, por el método de Cramer tenemos:
𝑊 =
𝑦1
𝑦1
′
… 𝑦𝑛
𝑦𝑛
′
. … ..
𝑦1
(𝑛−1)
… .
𝑦𝑛
(𝑛−1)
; 𝑊1 =
0
0
… 𝑦𝑛
𝑦𝑛
′
. … ..
𝑔(𝑥)
… .
𝑦𝑛
(𝑛−1)
;
𝑊𝑛 =
𝑦1
𝑦1
′
… 0
0
. … ..
𝑦1
(𝑛−1)
… .
𝑔(𝑥)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
2 SOLUCIÓN
Entonces 𝑢′1 𝑥 =
𝑊1
𝑊
; 𝑢′2 𝑥 =
𝑊2
𝑊
; …; 𝑢′𝑛 𝑥 =
𝑊𝑛
𝑊
4. Podemos expresar 
𝑦𝑝 = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + 𝑢2(𝑥)𝑦2 +⋯+ 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛
5. La solución general de la ecuación diferencial es 
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
3 EJEMPLO
Resolver 4𝑦′′ + 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 3𝑥
Solución:
1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada 𝑦′′ + 9𝑦 = 0
La ecuación auxiliar es: 𝑚2 + 9 = 0, cuyas raíces son 𝑚 = ±3𝑖
Entonces la solución complementaria es de la forma.
𝑦𝑐 = 𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 3𝑥
2. Suponemos que la solución particular es de la forma
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 + 𝑢2 𝑥 𝑦2
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 cos(3𝑥) + 𝑢2 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
3 EJEMPLO
3. Resolvemos 
𝑊 =
cos(3𝑥) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
−3𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 3cos(3𝑥)
; 𝑊1 =
0 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
csc(3𝑥)
4
3cos(3𝑥)
; 
𝑊2 =
cos(3𝑥) 0
−3𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
csc(3𝑥)
4
𝑊 = 3; 𝑊1 = −
1
4
; 𝑊2 =
cot(3𝑥)
4
Entonces 𝑢′1 𝑥 =
𝑊1
𝑊
= −
1
12
; 𝑢′2 𝑥 =
𝑊2
𝑊
=
1
12
𝑐𝑜𝑡(3𝑥)
Integrando cada una de las ecuaciones con respecto a x:
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
3 EJEMPLO
Entonces 𝑢1 𝑥 = −
𝑥
12
; 𝑢2 𝑥 =
1
36
ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥 )
Luego la solución particular es de la forma
𝑦𝑝 = −
𝑥
12
cos(3𝑥) +
1
36
ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es 
𝑦 = 𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
𝑥
12
cos(3𝑥) +
1
36
ln(𝑠𝑒𝑛 3𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
4 EJEMPLO
Resolver 𝑦′′′+4𝑦′ = sec(2𝑥)
Solución:
1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada 𝑦′′′ + 4𝑦′ = 0
La ecuación auxiliar es: 𝑚3 + 4𝑚 = 0, cuyas raíces son 𝑚 = 0; 𝑚 =
± 2𝑖
Entonces la solución complementaria es de la forma
𝑦𝑐 = 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐3
2. Suponemos que la solución particular es de la forma
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑢2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑢3(𝑥)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
4 EJEMPLO
3. Resolvemos 
𝑊 =
cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 1
−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2cos(2𝑥) 0
−4cos(2𝑥) −4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 0
; 𝑊1 =
0 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 1
0 2cos(2𝑥) 0
sec(2𝑥) −4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 0
; 
𝑊2 =
cos(2𝑥) 0 1
−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 0 0
−4cos(2𝑥) sec(2𝑥) 0
; 𝑊3 =
cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 0
−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2cos(2𝑥) 0
−4cos(2𝑥) −4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) sec(2𝑥)
𝑊 = 8; 𝑊1 = −2; 𝑊2 = −2tan(2𝑥); 𝑊3 = 2sec(2𝑥)
Entonces 𝑢′1 𝑥 =
𝑊1
𝑊
= −
2
8
𝑢′2 𝑥 =
𝑊2
𝑊
= −
2tan(2𝑥)
8
𝑢′3 𝑥 =
𝑊3
𝑊
= −
2𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
8
Integrando cada una de las ecuaciones con respecto a x:
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR
4 EJEMPLO
Entonces 
𝑢1 𝑥 = −
1
4
𝑥; 𝑢2 𝑥 = −
1
8
ln(𝑠𝑒𝑐 2𝑥 ); 𝑢3 𝑥 = −
1
8
ln(𝑠𝑒𝑐 2𝑥 + tan(2𝑥)); 
Luego la solución particular es de la forma
𝑦𝑝 = −
1
4
𝑥 cos 2𝑥 −
1
8
𝑙𝑛 sec(2𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −
1
8
𝑙𝑛 sec 2𝑥 + tan(2𝑥)
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es 
𝑦𝑐
= 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐3 −
1
4
𝑥 cos 2𝑥 −
1
8
𝑙𝑛 sec(2𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
−
1
8
𝑙𝑛 sec 2𝑥 + tan(2𝑥)
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Resolver la ecuación y′′ + 2y′ + y = 𝑒−𝑥𝑙𝑛𝑥
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar 
una ecuación 
diferencial lineal de 
primer orden.
2.Recordar el 
Wronskiano y la 
ecuación auxiliar.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones