S05 s1 - Material

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UNIDAD 01: SEMANA 5
CÁLCULO PARA LA TOMA DE 
DECISIONES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
¡Rompiendo el hielo!
RECUERDAS LAS CARACTERISTICAS DE ESTA ECUACIÓN:
ax
2
+ bx + c = 0
¡Rompiendo el hielo!
¿Cómo son las características de las raíces?
¿Cómo son las gráficas de su solución?
Recordando los aprendizajes
¿Qué tema vimos la sesión anterior?
Utiliza el chat para participar
Recordando los aprendizajes
En la segunda integral, se observa que en la expresión N
se debe de eliminar a todos los términos que contengan
la variable x, luego integrar respecto a y.
ECUACIÓN DIFERENCIAL 
DE PRIMER ORDEN
Método de Solución
Ecuación diferencial exacta
M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0Forma:
 M(x;y)dx + N(y)dy = CEsta dada:
Temario:
• Ecuación diferencial lineal homogénea de
orden superior, con coeficientes constantes.
• Ecuación característica o auxiliar.
• Problemas resueltos y propuestos.
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve las
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior
con coeficientes constantes.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
Utilidad de las ED de orden superior.
my''+by'+ky = 0 0 0y(0) = y ; y'(0) = v
Un cuerpo de masa m se une al techo mediante un resorte de constante k
y a un amortiguador de constante b. La masa se suelta desde y0 por
encima de la posición de equilibrio y con una velocidad descendente v0.
Mediante la segunda ley de Newton: La suma de fuerzas que actúan
sobre el cuerpo de masa m es dada por la ecuación de segundo orden.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan para
modelar varios fenómenos físicos como:
 Sistemas masa - resorte.
 Circuitos eléctricos.
Entre otros.
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN SUPERIOR.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma.
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una Ecuación Diferencial de la forma:
Es llamada Ecuación Diferencial lineal homogénea de orden n.
(n) (n-1)
n n-1 1 0a (x)y +a (x)y +...+a (x)y'+a (x)y = g(x)
(n) (n-1)
n n-1 1 0a (x)y +a (x)y +...+a (x)y'+a (x)y = 0
Datos/Observaciones
Ecuación diferencial lineal.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
Decimos que las funciones f1(x); f2(x); ...; fn(x) son linealmente independientes (LI) si 
c1f1(x) + c2f2(x) + … + cnfn(x) = 0 implica c1 = c2 = … = cn = 0.
Si existen c1; c2; c3; …; cn no todos nulos de modo que c1f1(x) + c2f2(x) + … + cnfn(x) =
0 decimos que las funciones con linealmente dependientes (LD)
WRONSKIANO.
Si las funciones f1(x); f2(x); …; fn(x) poseen al menos n - 1 derivadas. El determinante:
Se llama Wronskiano de las funciones f1(x); f2(x); …; fn(x) 
Si W(f1(x); f2(x); …; fn(x))  0 las funciones son linealmente independientes (LI)
1 2 n
' ' '
1 2 n
1 2 n
(n-1) (n-1) (n-1)
1 2 n
f f ... f
f f ... f
W(f (x); f (x); ...; f (x)) =
f f ... f
WRONSKIANO.
Ejemplo:
1. Verificar si las funciones:
f1(x) = cos(x) + sen(x); f2(x) = -2cos(x); f3(x) = e
x
Son linealmente independientes.
Solución.
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES.
Un conjunto y1(x); y2(x); y3(x); ...; yn(x) de n soluciones linealmente
independientes de la ED homogénea de n - ésimo orden es un conjunto
fundamental de soluciones.
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ED LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN SUPERIOR.
Sean y1(x); y2(x); ...; yn(x) un conjunto fundamental de soluciones de la ED
an(x)y
(n) + an-1(x)y
(n-1) + an-2(x)y
(n-2) + … + a1(x)y’ + a0(x)y = 0
Entonces y = c1y1(x) + c2y2(x) + ... + cnyn(x) es la solución general de la ED, donde c1; 
c2; c3; ...; cn son constantes arbitrarias.
Ejemplo:
La solución general de la ED lineal homogénea de orden 4 y de coeficientes
constantes ay(4) + by’’’ + cy’’ + dy’ + ey = 0 es de la forma: y = c1y1(x) + c2y2(x) + c3y3(x)
+ c4y4(x)
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
RESOLUCIÓN DE LA ED LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN 2.
Suponemos que las soluciones de esta ecuación son de la forma y = emx,
luego al sustituir en la ED se obtiene la ecuación auxiliar de la ED:
De donde:
Caso 1: Raíces reales distintas
La solución general es:
2am +bm+c = 0
ay''+by'+cy = 0
 1 2m x m xCF = e ;e
1 2m x m x
1 2y(x) = c e +c e
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
Caso 2: Raíces iguales
La solución general es:
Caso 3: Raíces complejas conjugadas
La solución general es:
Donde m1;2 =   i
 1 1m x m xCF = e ;xe
1 1m x m x
1 2y(x) = c e +c xe
   x xCF = e cos( x);e sen( x)
  x x1 2y(x) = c e cos( x)+c e sen( x)
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
2. Resuelve la ecuación diferencial:
2y’’ - 5y’ - 3y = 0
Solución.
3. Resuelve la ecuación diferencial:
y’’ - 10y’ + 25y = 0
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
4. Resuelve la ecuación diferencial:
y’’ + 14y’ + 49y = 0
Solución.
5. Resuelve la ecuación diferencial:
y’’ + 9y = 0
Solución.
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
RESOLUCIÓN DE LA ED LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN n.
Suponemos que las soluciones de esta ecuación son de la forma y = emx,
luego al sustituir en la ED se obtiene la ecuación auxiliar de la ED:
De donde:
Caso 1: Si todas las raíces son reales y distintas entonces generan n raíces
linealmente independiente
La solución general es:
n n-1
n n-1 1 0a m +a m +...+a m+a = 0
(n) (n-1)
n n-1 1 0a y +a y +...+a y'+a y = 0
1 2 n-1 nm x m x m x m xe ;e ;...;e ;e
1 2 nm x m x m x
1 2 ny(x) = c e +c e +...+c e
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
Caso 2: Si una raíz m1 tiene multiplicidad k entonces la raíz genera k soluciones
lineales independientes.
La solución general debe contener la combinación lineal:
Caso 3: Si una raíz m1 =  + i tiene multiplicidad k entonces m2 =  - i también
tiene multiplicidad k, luego m1 y m2 generan k soluciones linealmente
independientes respectivamente.
La solución general es:
1 1 1 1m x m x m x m x2 k-1e ;xe ;x e ; ... ;x e
1 1 1 1m x m x m x m x2 k-1
1 2 3 kc e +c xe +c x e +...+c x e
            x x k-1 x1 2 3 4 2k-1 2ke c cos x +c sen x + xe c cos x +c sen x +...+ x e c cos x)+ c sen x
      x x 2 x k-1 xe cos x;xe cos x;x e cos x; ... ;x e cos x
      x x 2 x k-1 xe sen x;xe sen x;x e sen x; ... ;x e sen x
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
6. Resuelve la ecuación diferencial:
y’’’ + 3y’’ - 4y = 0
Solución.
7. Resuelve la ecuación diferencial:
y(4) + 2y’’ + y = 0
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
8. Resuelve la siguiente ecuación diferencial: y’’’ - 2y’’ - y‘ + 2y = 0
Sujeta a las condiciones iniciales: y(0) = 2; y’(0) = -7; y’’(0) = -4
Solución.
Datos/Observaciones
¿QUÉ NOS LLEVAMOS DE LA SESIÓN DE HOY?
1. Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de sistemas
masa resorte amortiguador.
2. La solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y de
coeficientes constantes esta formado por una combinación lineal de soluciones
linealmente independientes
3. El método de la ecuación característica se aplica solo a ecuaciones diferenciales 
lineales de orden superior y de coeficientes constantes: … 
Datos/Observaciones
FINALMENTE.
IMPORTANTE
1. Saber identificar la
forma de la solución
de la ecuación
diferencial de acuerdo
a las raíces de la
ecuación auxiliar.
2. Recordar la solución
de ecuaciones
algebraicas.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia del 
concepto de 
ecuaciones 
diferenciales
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa la diapositiva
con anticipación y
este atento a las
clases.
2. Consulta en el FORO 
tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Respuesta:
Resuelve la siguiente ecuación diferencial: y’’’ + y’’ - 2y = 0
Sujeta a las condiciones iniciales: y(0) = -1; y’(0) = 0; y’’(0) = 1
Solución.
Datos/Observaciones
ECUACIONES DIFERENCIALES DE 
ORDEN SUPERIOR.