S07 s1 - Material (1)

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UNIDAD 01: SEMANA 7
CÁLCULO PARA LA TOMA DE 
DECISIONES
ECUACIONES DIFERENCIALES: MÉTODO DE 
VARIACIÓN DE PARAMETROS.
¡Rompiendo el hielo!
RESPONDE:
¿Qué sería un parámetro?
¡Rompiendo el hielo!
RESPONDE: ¿Qué sería un parámetro?
Es una variable o factor que debe ser considerado a la hora de analizar, criticar y
hacer juicios de una situación. A partir de un parámetro, una cierta circunstancia
puede comprenderse o ubicarse en perspectiva.
Sin embargo, dichos parámetros tiene un significado y contexto distinto dependiendo
en el área de aplicación.
Recordando los aprendizajes
¿Qué tema vimos la sesión anterior?
Utiliza el chat para participar
Recordando los aprendizajes
1. Resolver la ecuación homogénea asociada. Es decir hallar yc.
2. Suponemos que yp es de la misma naturaleza que g(x), pero los
coeficientes los hallamos después.
3. Como yp es solución de la ecuación diferencial, entonces debe satisfacerla.
Así podemos se puede encontrar los coeficientes yp.
ECUACIÓN DIFERENCIAL 
LINEAL NO HOMOGÉNEA
Método de Coeficientes 
Indeterminados
Solución dada: y = yc + yp
yc: Solución asociada
yp: Solución particular
Forma:
Pasos:
n n-1
n n-1 1 0n n-1
d y d y dy
a (x) +a (x) +...+a (x) +a (x)y = g(x)
dx dx dx
Temario:
• Ecuación diferencial lineal no homogénea de
orden superior con coeficientes variables.
• Método de variación de parámetros.
• Ejercicios resueltos y propuestos.
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve las
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden
superior con coeficientes constantes o variables usando el método
de variación de parámetros.
MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS.
Utilidad.
Tenemos un tanque inicialmente con 800 litros de
agua pura al cual le ingresa un flujo De solución
salina con concentración de 75 gramos por litro, a un
ritmo de 5 litros por minuto y salen 3 litros por
minuto. Deseamos conocer la ecuación de
concentración del tanque en función del tiempo.
Tiene por ecuación diferencial de la forma: x’(t) +
p(t)x(t) = q(t).
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
VARIACIÓN DE PARÁMETROS.
Sea la Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables:
Con soluciones homogéneas: y1(x) e y2(x); en donde.
El wronskyano de: y1(x) e y2(x), debe ser distinto de cero.
Lo cual quiere decir:
y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)
 
  
  
  
1 2
1 2
1 2
y y
W y (x);y (x) = det 0
y' y'
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
Entonces la solución particular de dicha ecuación diferencial:
Es de la forma:
En donde:
y1(x) y y2(x) son las ecuaciones homogéneas (f(x)  0) de dicha ecuación 
diferencial.
y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)
p 1 1 2 2y = u (x)y (x)+u (x)y (x)
Datos/Observaciones
Ecuaciones diferenciales
Además: u1(x) y u2(x) se calculan usando
 
2
1
1 2
y (x)f(x)dx
u (x) = - 
W y (x);y (x)
 
1
2
1 2
y (x)f(x)dx
u (x) = - 
W y (x);y (x)
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
1. Resuelve: y’’ + y = Sec(x)
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
2. Resuelve: y’’ + 4y = Csc(2x)
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
3. Resuelve: y’’ - 4y’ + 4y = e2x
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
4. Resuelve: y’’ - 3y’ + 2y = xe3x
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
5. Resuelve: xy’’ - (x + 1)y’ + y = x2e3x
Si sus soluciones homogéneas son: y1 = x + 1; y2 = e
x
Solución.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
6. Resuelve: y’’ + 9y = 2cos(3x)
Solución.
Datos/Observaciones
¿QUÉ NOS LLEVAMOS DE LA SESIÓN DE HOY?
1. Las ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes variables, tiene
una aplicación en los problemas de disolución.
2. La solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y
de coeficientes constantes no homogéneo, su solución particular es resuelto por el
método de Variación de parámetros.
3. El método de la solución particular es valido para cualquier función en su
segundo miembro de la ecuación diferencial y sus coeficientes pueden ser
constantes o variables.
Datos/Observaciones
FINALMENTE.
IMPORTANTE
1. Saber identificar la
forma de la solución
de la ecuación
diferencial.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia del 
concepto de 
ecuaciones 
diferenciales
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa la diapositiva
con anticipación y
este atento a las
clases.
2. Consulta en el FORO 
tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Respuesta:
Resuelve la siguiente ecuación diferencial: y’’ - 6y’ + 8y = x 4e6x
Solución.
Datos/Observaciones
MÉTODO DE VARIACIÓN DE 
PARAMETROS.