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CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES UNIDAD: 02Ecuaciones diferenciales de orden superior: Solución Particular METODO DE VARIACION DE PARAMETROS TEMA: Solución Particular: Método de Variación de Parámetros Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes o variables usando el método de Variación de parámetros. Logro de la Sesión Contenido general Ecuación diferencial lineal no homogénea de orden superior Con coeficientes variables Método de variación de parámetros Ejercicios resueltos y propuestos Datos/Observaciones UTULIDAD : Una aplicación del método de variación de Parámetros es el problema de Disolución . Tenemos un tanque inicialmente con 800 litros de agua pura al cual le ingresa un flujo De solución salina con concentración de 75 gramos por litro, a un ritmo de 5 litros por minuto y salen 3 litros por minuto. Deseamos conocer la ecuación de concentración del tanque en función del tiempo. Tiene por ecuación diferencial de la forma x’(t)+ p(t)x(t) = q(t). http://www.soloentendidos.com/wp-content/uploads/2017/02/ecuaciones-diferenciales-problema-solucion-tanque-disolucion.jpg Datos/Observaciones VARIACION DE PARAMETROS Sea la Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables: Con soluciones homogéneas : 𝑦1 𝑥 𝑒 , 𝑦2(𝑥) ; en donde El wronskyano de : 𝑦1 𝑥 y 𝑦2 𝑥 , debe ser distinto de cero Lo cual quiere decir: W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = det ( 𝑦1 𝑦2 𝑦1 , 𝑦2 , ) ≠ 0 𝑦 ,, + 𝑝 𝑥 𝑦 , + 𝑞(x)y = f(x) Datos/Observaciones VARIACION DE PARAMETROS 𝑦 ,,+𝑝 𝑥 𝑦 , + 𝑞(x)y = f(x) Es de la forma : Entonces la solución particular de dicha ecuación diferencial 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 𝑦2 𝑥 En donde: 𝑦1 𝑥 y 𝑦2 𝑥 son las soluciones homogéneas (f(x)≠ 0) de dicha ecuación diferencial Datos/Observaciones VARIACION DE PARAMETROS Además : 𝑢1 𝑥 y 𝑢2 𝑥 se calculan usando: 𝑢1 𝑥 −= 𝑦2 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑊 𝑦1 𝑥 ;𝑦2 𝑥 𝑢2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑊 𝑦1 𝑥 ;𝑦2 𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver : 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) RESOLUCION: Solución Homogénea: Ec.característica:𝑚2 + 1 = 0 , entonces las raíces son: 𝑚1 = 𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑚2 = −𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 Como: W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) −𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) = 1 ≠ 0 ,entonces: 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) Solución Particular : 𝑦𝑝=cos(x).𝑢1(𝑥) + sen(x).𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 𝑢1 𝑥 = −න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . sec 𝑥 1 𝑑𝑥 = −න tan 𝑥 𝑑𝑥 = -ln sec(𝑥) , luego también : 𝑢2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 .sec 𝑥 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑥 Entonces: 𝒚𝒑=- cos(x) ln 𝒔𝒆𝒄(𝒙) + xsen(x) Luego : 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 − cos(x) ln 𝒔𝒆𝒄(𝒙) + xsen(x) 2.- Resolver : 𝑦 ,, + 4𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(2𝑥) RESOLUCION: Solución Homogénea: Ec.característica: 𝑚2+4 = 0 , entonces las raíces son: 𝑚1 = 2𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 𝑚2 = −2𝑖, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑦2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Como: W 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡 cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2cos(2𝑥) = 2 ≠ 0 , entonces: 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) Solución Particular : 𝑦𝑝=cos(2x).𝑢1(𝑥) + sen(2x).𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 𝑢1 𝑥 = න −𝑠𝑒𝑛 2𝑥 . csc 2𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 2 න𝑑𝑥 = − 𝑥 2 𝑢2 𝑥 = න 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 . csc 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 2 නcot(2𝑥)𝑑𝑥 = = 1 4 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒚𝒑=- 𝒙 𝟐 cos(2x)+ 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) sen(2x) 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 ∶ 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) - 𝒙 𝟐 cos(2x)+ 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) sen(2x) 3.- Resolver : 𝑦 ,, - 4𝑦 , + 4𝑦 = 𝑒2𝑥 RESOLUCION : Solución Homogénea: Ec.Característica: 𝑚2 −4𝑚 + 4 = 0, entonces: (m -2)(m-2) = 0 𝑚1= 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 ; 𝑚2 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑦2 = 𝑥𝑒 2𝑥 Como: W 𝑦1; 𝑦2 = det 𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 = 𝑒4𝑥 ≠ 0 Entonces: 𝒚𝒉= 𝒄𝟏𝒆 𝟐𝒙 +𝒄𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 Solución Particular : 𝑦𝑝=𝑒 2𝑥.𝑢1(𝑥) + 𝑥𝑒 2𝑥.𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 𝑢1 𝑥 = − 𝑥𝑒2𝑥.𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥− = − 𝑥2 2 𝑢2 𝑥 = න 𝑒2𝑥 . 𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 = න𝑑𝑥 = 𝑥 ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒚𝒑=- 𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙 𝟐 + 𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙 = 𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙 𝟐 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 ∶ 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏𝒆 𝟐𝒙 +𝒄𝟐𝒙𝒆 𝟐𝒙 + 𝒙𝟐𝒆𝟐𝒙 𝟐 4.- Resolver : 𝑦 ,, - 3𝑦 , + 2𝑦 = 𝑥𝑒3𝑥 RESOLUCION : Solución Homogénea : 𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: (𝑚 − 1)(𝑚 − 2)=0 , luego: 𝑚1 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑦1= 𝑒 𝑥 𝑚2 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑦2 = 𝑒 2𝑥 Como: W 𝑦1; 𝑦2 = 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑒𝑥 2𝑒2𝑥 = 𝑒3𝑥 ≠ 0 , Entonces: 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒆 𝒙 + 𝒄𝟐𝒆 𝟐𝒙 Solución Particular: 𝑦𝑝=𝑒 𝑥.𝑢1(𝑥) + 𝑒 2𝑥.𝑢2 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ 𝑢1 𝑥 = −න 𝑒2𝑥 . 𝑥𝑒3𝑥 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = −න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = −( 𝑥 2 − 1 4 )𝑒2𝑥 𝑢2 𝑥 = 𝑒𝑥.𝑥𝑒3𝑥 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = x − 1 𝑒𝑥 ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝒚𝒑= - ( 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟒 )𝒆𝟑𝒙 + 𝐱 − 𝟏 𝒆𝟑𝒙 = - ( 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟒 )𝒆𝟑𝒙 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏𝒆 𝒙 + 𝒄𝟐𝒆 𝟐𝒙- ( 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟒 )𝒆𝟑𝒙 5.- Resolver: 𝑥𝑦 ,, - (x + 1)𝑦 , + 𝑦 = 𝑥2𝑒3𝑥 , Si sus soluciones homogéneas son:𝑦1 =x +1 ; 𝑦2=𝑒 𝑥 RESOLUCION: Solución Homogénea: Como : W 𝑦1; 𝑦2 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥 1 𝑒𝑥 =x𝑒𝑥 ≠ 0 ,Entonces: 𝒚𝒉= 𝒄𝟏(x +1) +𝒄𝟐𝒆 𝒙 Solución Particular: 𝑦𝑝= (𝑥 + 1)𝑢1(𝑥) + 𝑒 𝑥𝑢2(𝑥) En donde: 𝑢1 𝑥 = −න 𝑒𝑥 . 𝑥𝑒3𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = −න𝑒3𝑥𝑑𝑥 = −1 3 𝑒3𝑥 𝑢2 𝑥 = 𝑥+1 .𝑥𝑒3𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = (2𝑥+1) 4 𝑒2𝑥 ent𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑦𝑝= - (x +1) 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒙 + (𝟐𝒙+𝟏) 𝟒 𝒆𝟑𝒙 = (2x−1) 𝟏𝟐 𝒆𝟑𝒙 Luego: 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏(x +1) +𝒄𝟐𝒆 𝒙 + (2x−1) 𝟏𝟐 𝒆𝟑𝒙 6. Resolver : y’’+9y = 2cos(3𝑥) RESOLUCION: 7. Resolver : y’’-4y’+3y = x𝑒4𝑥 RESOLUCION: 8. Resolver : y’’-4y’+4y = 𝑒4𝑥cos(3𝑥) RESOLUCION: Datos/Observaciones EJERCICIO RETO Resolver la Ecuación diferencial : 𝑦′′ − 6𝑦′ + 8𝑦 = 𝑥4𝑒6𝑥 EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las ecuaciones: 1.- 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑐sc(𝑥) 2.- 𝑦 ,, + 16𝑦 =sec(4x) 3.- 𝑦 ,, −9𝑦 , + 8𝑦 = 𝑒𝑥 4.- 𝑦 ,, + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 5.- 𝑦 ,, − 5𝑦 , − 6𝑦 = 𝑥𝑒5𝑥 CONCLUSIONES: 1.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes variables ,tiene una aplicación en los problemas de disolución. 2.- La solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y de coeficientes constantes no homogéneo, su solución particular es resuelto por el método de Variación de parámetros. 3.- El método de la solución particular es valido para cualquier función en su segundo miembro de la ecuación diferencial y sus coeficientes pueden ser constantes o variables. Ecuación diferencial de orden superior
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