TP11-AM2 2021 MS

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Análisis Matemático II TP 11 2021 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 11 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 
CON COEFICIENTES CONSTANTES 
 
“Motus vita est; vita sapientia est interpretari “. 
(La vida es movimiento; interpretar la vida es sabiduría.) 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES 
CONSTANTES 
 
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior se pueden presentar: 
 
a) HOMOGENEAS O INCOMPLETAS 
 
0)x(ya)x´(ya.................)x(ya)x(ya 01
)1n(
1n
)n(
n =++++
−
− 
 
b) NO HOMOGENEAS O COMPLETAS 
 
 )x(f)x(ya)x´(ya.................)x(ya)x(ya 01
)1n(
1n
)n(
n =++++
−
− 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES 
CONSTANTES HOMOGENEAS 
 
Ejercicio 1: Analice la linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales 
 
 
a) 06
dx
dy5 
dx
yd
2
2
=++ y
 
c) x tan(y) +y`= x + cos (x) 
 
b) 06
dx
dy5y 
dx
yd 2
3
2
2
=++


 y
 
d) 0
dx
dy2l 
dx
yd 2
3
3
=




+





n 
 A) EDOLCC HOMOGENEAS 
 
Ejercicio 2: Encuentre la solución general (complementaria) 
 
 a) 05´6´´ =+− yyy 
 b) 03´´´3´´´ =+−− yyyy 
 c) 04´´ =− yy 
 d) 𝑦𝑦´´´ − 16𝑦𝑦´ = 0 
 e) 0´´ =−yy 
 f) 09´6´´ =++ yyy 
 g) 09´6´´ =+− yyy 
 h) 0´2´´ =+− yyy 
 i) 0´3´´3´´´ =−+− yyyy 
 j) 013´4´´ =+− yyy 
 k) 02´2´´ =++ yyy 
 l) 0´´´´´´ =−−+ yyyy 
 m) 016´´8 =+− yyy iv 
 n) 0´4´´12´´´9 =++ yyy 
 o) 0´´´´ =+ yy 
 p) 0´9´´´ =+ yy 
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Ejercicio 3: Resuelva con las condiciones iniciales propuestas: 
 a) 





=′
=
=+−
11(0)y
 7y(0)
 013´4´´ yyy
 
b) 





=′
=
=+−
1(0)y
 3y(0)
025´6´´ yyy
 c) 







−=
=′
=
=+
1)0´´(
0(0)y
 1y(0)
0´´2´´´3
y
yy
 
B) EDOCC NO HOMOGÉNEAS 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES 
CONSTANTES NO HOMOGENEAS 
 
La ecuación diferencial lineal no homogénea de enésimo orden con coeficientes constantes tiene la 
forma: 
)x(f)x(ya)x´(ya.................)x(ya)x(ya 01
)1n(
1n
)n(
n =++++
−
− 
 
Por el Teorema de la Solución General, la misma está dada por la suma de la función homogénea o 
complementaria que es la solución general de la ecuación homogénea asociada más una solución 
particular py de la ecuación general 
pc yyy += 
¿Cómo se puede encontrar la función py ? 
Para hallar py los Métodos más utilizados son: 
 


parámetros den variaciób)
adosindetermin escoeficient )a 
 
MÉTODO COEFICIENTES INDETERMINADOS 
 
Se aplica cuando x)(f presenta alguna de las siguientes formas: 
 





=
=
=
=
x 2cos f(x):ejemplo kx kx ; sen cosc) 
 e f(x):ejemplo ,onencialexp b) e
 x f(x):ejemplo en xpolinomio a) P(x) 
x)(f x2ax
2
 
 x 3xsene x f(x) 
1xe3 f(x) 
xx2cos f(x) 
x2sen e f(x) 
 ex f(x) 
 :ejemplopor,ess anteriore los cason lineal dcombinació es f(x) cuando aplicable es También 
x22
x
x2
x22
+=
−=
−=
+=
+=
 
MÉTODO COEFICIENTES INDETERMINADOS 
 
Ejercicio 4: Halle la solución general: 
 a) 1
2
1´4´´ +=+ xyy
 
g) xx eeyyy −+=++ ´´´2´´´ 
 b) 22222´´´ xxyyy ++=−+ h) )2(´4´´´ xseneyy
x +=+ 
 
 
 c) xeyy 316´´ =+ i ) 232´3´´ xeyyy x +=+−
 
 d) xeyyy =+− ´2´´ j ) xxyy 4)2cos( 84´´ −=+ 
 e) )2cos(´´´ xyy =− k) 
xxeyyy +=−+ 13´2´´ 
 f ) xsenxyy cos´´ +=+ l ) sen x 5´2´´
xeyyy =++ 
cy
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MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS 
 
La solución complementaria de la ecuación homogénea asociada a una ecuación diferencial no 
homogénea de segundo orden, se puede expresar como: 
 
)x(yC)x(yC)x(y 2211c += 
 
El Método de Variación de Parámetros consiste en proponer una solución particular de la forma: 
 
)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p += 
 
Para obtenerla se reemplazan las constantes 21 CyC por las funciones )x(uy)x(u 21 en la 
solución complementaria. Para hallar )x(uy )x(u 21 , se plantea un sistema de dos ecuaciones 
lineales que tiene como incógnitas las funciones )x´(u),x´(u 21 



=+
=+
 )(´´´´
0´´
2211
2211
xfyuyu
yuyu
 
Este sistema siempre es compatible determinado pues el conjunto{ })x(y);x(y 21 es linealmente 
independiente por ser su Wronskiano distinto de cero. Se resuelve aplicando la Regla de Cramer. 
 
2121
1
2
12
2
2
1
21
1
´´ W(x)dondedx 
W(x)
)().(y- )( 
W(x)
)().(y )´( 
 dx 
W(x)
)().(y- )( 
W(x)
)().(y )´(
yyyyxfxxuxfx
W
Wxu
xfxxuxfx
W
Wxu
−==⇒==
=⇒==
∫
∫
 Por ser los integrandos funciones continuas, estas integrales existen; sustituyendo )x(uy)x(u 21 
en la solución propuesta y se obtiene la solución buscada. Sumando las dos soluciones obtenemos la 
solución general. 
 
MÉTODO VARIACION DE PARAMETROS 
 
Ejercicio 5: Halle la solución general: 
a) y” +4y=csc(2x) e) )sec(2´2´´ xeyyy
x−=++ 
 b) )3sec(29´´ xyy =+ f ) 2
2
4´4´´
x
eyyy
x−
=++
 
c) y” + y =cot(x) g) 
2´2´´ −=+− xeyyy x 
 d) y” +y = csc(x) h) xeyyy
x=+− ´2´´ 
 
Ejercicio 6: Resolver por los Métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros 
 a) xeyy =− ´´´ 
 
EJERCICIOS DE APLICACION 
 
Ejercicio 7: Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo a la ley 0 9´ 10´´ =++ xxx . Desde 
un punto situado a 2 m a la derecha del origen, la partícula se proyecta hacia la izquierda con una 
velocidad de 20 m/s y consideramos t = 0 en ese punto. 
Determine el tiempo en que la partícula alcanza su posición 0=x . 
 
Ejercicio 8: La ecuación del movimiento de vibración de un cuerpo unido a un resorte es: 
 
Halle s en función de t (s es la elongación del resorte en el instante t), 
sabiendo 
016
2
2
=+ s
dt
sd
 Análisis Matemático II TP 11 2021 
 
 
 4 de 5 
que para y 1=
dt
ds
 
 
 
OPTATIVOS 
 
EDOL HOMOGÉNEAS (O INCOMPLETAS; sin perturbación) 
 
Ejercicio 9: Sean las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: 
 
a) y” + 3y’ + 2y = 0 
b) y” – y’ – 2y = 0 
c) y”’ + 3y” = -2y’ 
d) y”’ – 4y” + 3y’ = 2y 
 
(Observe que ésta EDOL es homogénea, aunque el segundo miembro no es cero; ¿por qué?) 
 
e) y”’ + 3y” – 4y = 0 
f) y”’ – y” + 2y’ – 2y = 0 
g) y” + 4y = 0 
h) y” - 6y’ + 13 y = 0 
 
Ejercicio 10: Aplicación 
 
La ecuación diferencial del péndulo simple sin fricción ni perturbación externa, no por trillada es 
sencilla si la tomamos tal como es: 
 
y” + g/l sen(y) = 0, 
 
donde y representa el ángulo de oscilación, g = aceleración de la gravedad; l = longitud del hilo que 
sostiene la masa. 
 
Evidentemente ésta es una ecuación NO LINEAL. Se la resuelve con la simplificación sen (y) = y, que 
vale para y no mayor de 0,1 radianes (6 grados sexagesimales aproximadamente). 
 
En esta situación la ecuación “linealizada” es: y” + g/l y = 0. 
 
Resuelva esta ecuación. 
 
Plano de Fases 
 
Volvamos a la primera ecuación: y” + g/l sen(y) = 0 (1) 
 
Sea: y”(t) = w’(t), es decir: w(t) = y’(t) = velocidad angular 
 
y”(t) = w’(t) = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
 w, 
 
Que en (1) nos da: 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
 w + g/l sen (y) = 0. 
 
Separando variables, w dw = - g/l sen (y) dy. 
 
Haciendo g/l = k e integrando: ½ w2 = k . cos (y) + C 
 
Claramente ha quedado w = y’ en función de y. El plano (y, y’) se denomina “plano de fases” y a falta 
de una solución para la ecuación no lineal, nos permite una interpretación más acabada del 
problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t = 0 s = 2
 Análisis Matemático IITP 11 2021 
 
 
 5 de 5 
 
 
 
 
 
 
 
PLANO DE FASE-PÉNDULO SIMPLE SIN FRICCIÓN NI PERTURBACIÓN 
 
 y’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
Para C > K, líneas superiores e inferiores: oscilación como remolino, w no se anula en ningún 
momento; si C < K la masa oscila con |y| < , elipses. Con C = K la masa oscila con - 𝜋𝜋 ≤ y ≤ 𝜋𝜋 (líneas 
separatrices, sólo dibujadas donde señalan las flechas ). 
 
EDOL INHOMOGÉNEAS (O COMPLETAS; con perturbación) 
(Recordar que yg(x) = yh + yp; sólo buscamos yp) 
 
A- Método de Coeficientes Indeterminados (MCI) 
 
Ejercicio 11: Analizar si el MCI es aplicable y, si lo es, proceder a aplicarlo, 
 
a) y” + 3y’ + 2y = 2 x2 + 3x – 1 
 
b) y” – y’ – 2y = 3 e-x + 2x 
 
c) y” - 6y’ + 13 y = 2 e 3x cos (2x) 
 
d) y” + 3y’ + 2y = sh(x) 
 
e) y”’ – y” + 2y’ – 2y = 3 sen (2x) 
 
B- MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS (DE LAGRANGE) (MVP) 
 
En teoría, todas las ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por el MCI pueden ser encaradas 
por el MVP, por ser éste irrestricto. El problema del MVP puede presentarse en el paso de 
integración final, cuando se produce un integrando complicado de integrar. 
 
Ejercicio 12: resuelva por MVP: 
 
a) y” + 4y = cot (2x) 
 
b) y” + 2 y’ + y = e-x ln(x) 
 
c) y” + y = x cos(x) 
 
d) y” – 3y’ +2y = 1
1+𝑒𝑒−𝑥𝑥
 
 
 Análisis Matemático II TP 11 2021 
 
 
 6 de 5 
e) y” – 6 y’ + 13 y = 4
cos (2𝑥𝑥)